《大學物理》課件 28簡諧波

波動的一般概念

聲波、水波、電磁波都是物理學中常見的波，它對應一種物質波。波即可以是運動狀態(tài)的傳遞而非物質自身運動，也可以是物質本身的運動結果，甚至把波直接看作一種粒子。第二部分波動各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，聲波需要介質才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作粒子—光子的運動。但它們都有類似的數(shù)學描述(波動方程或波函數(shù))。機械振動在彈性介質中的傳播稱為機械波。下面以機械波為例,介紹波的一些物理概念。第28講簡諧波第30講波的疊加原理波的干涉第31講多普勒效應第29講波的反射折射和衍射電磁波聲波（略講自學）第二部分波動第28講簡諧波本講主要內容：一、機械波的形成和傳播二、波動的描述三、平面簡諧行波的波函數(shù)四、波動方程波的傳播速度五、波的能量能流密度一、機械波的形成和傳播機械波產生的條件1.彈性介質:彈性介質是指由彈性力組合的連續(xù)介質。具有彈性的介質2.波源:彈性力：有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性介質中只有正彈性力而沒有切彈性力。波源處質點的振動通過彈性介質中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波。機械波是實際上是介質中大量質元參與的集體振動.12345678910111213

t=045678910111213123t=T/478910111213654321t=T/26543211378101112t=T正是通過媒質各部分之間相互作用，才能把機械振動傳播出去。機械波的傳播1.

各質點僅在各自的平衡位置附近振動。不論波源自身是作自由振動還是受迫振動，空間的某點的振動都是在波源策動下進行的，都是受迫振動，因而振動頻率應于波源頻率相同。波的傳播也就是相位的傳播4.凡是相位差為2kπ的各質點，步調一致，為同相位。Tuλ機械波的特征2.各質點之間以彈性力相互作用著，回復力的作用使質點的振動狀態(tài)（相位）由近及遠地傳播。3.各質點的振動狀態(tài)的差別僅在于，后開始振動的質點比先開始振動的質點，在步調上落后一段時間。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向垂直，

這種波稱為橫波。如繩波,電磁波.橫波和縱波如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。疏密波!如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。疏密波!如果在波動中，質點的振動方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。如聲波。橫波和縱波是波的兩種基本類型。水面波兼有橫,縱波特點水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進行研究。無論橫波或縱波只是振動狀態(tài)的傳播，彈性介質中的各質點僅在各自的平衡位置附近振動,并不隨波逐流.波長——振動相位相同的兩個相鄰波陣面之間的距離為一個波長或振動在一個周期中傳播的距離。用表示。波長描述了波在空間上的周期性。波的周期用T表示。波的頻率用

表示。頻率—單位時間內質點振動的次數(shù)波動的頻率，等于介質中質點的振動頻率。波速—單位時間某種一定的振動狀態(tài)(或振動相位)所傳播的距離稱為波速.也稱相速。

波速取決于波傳播的空間。二、波動的描述波的特征量電磁波波速為，機械波波速取決于媒質的彈性模量和密度。注意：1.波的T或等于波源的T或。2.波速與質點的振動速度的區(qū)別。個——表示波在空間中的周期性——表示波在時間上的周期性通過波速聯(lián)系起來.t+t時刻的波形波傳播方向t時刻的波形能描述任一質點（位置為x)在任一時刻t的振動狀態(tài)波函數(shù)具有時間周期性（T)波函數(shù)具有空間周期性（)波函數(shù)球面波波面波線波前平面波波前波的幾何描述1.波陣面（或相面、波面）—某時刻介質內振動相位相同的點組成的面稱為波面。2.波射線（或波線)—波的傳播方向稱之為波射線或波線。3.波前—某時刻處在最前面的波陣面。在各向同性均勻介質中，波線與波陣面垂直!簡諧波（余弦波或正弦波）是一種最簡單最重要的波。其它復雜的波是由簡諧波合成的結果。三、平面簡諧行波波函數(shù)設有一平面余弦行波，在無吸收均勻無限大介質中沿X軸傳播，波速為u。下面要用數(shù)學表達式描述波線上每一質點在每一時刻的位移，這樣的函數(shù)y=f(x,t)

稱為行波的波動方程。以橫波為例說明平面簡諧波的波動方程(質點在y方向振動)。平面簡諧波函數(shù)

已知：則

P點t時刻的位移相當于O點t-t'時刻的位移。各質點的振動狀態(tài)的差別僅在于，后開始振動的質點比先開始振動的質點，在步調上落后一段時間。——平面簡諧波的波函數(shù)利用關系式及（k稱為波數(shù)）并略去角標P平面簡諧波的波動表達式可寫成多種形式

掌握建立波函數(shù)的方法！平面簡諧波的波動表達式給出波線上任一點處（距原點x處）在任一時刻t的位移。求原點振動位移——得到x處的振動狀態(tài)即為波函數(shù)（1）當x

一定時，給出

x

處的振動曲線。(2)當t一定時,給出給定時刻的y--x曲線即波形圖。

t時刻

x2

處質點相位落后x1波具有時間周期性（T)波具有空間周期性（)T注意：x前負號的意義波函數(shù)的物理意義——各質點相位逐一落后！t+t時刻的波形(3)當t和x都變化時，波函數(shù)描述了波形的傳播。波傳播方向t時刻的波形平面簡諧波的波動表達式給出波線上任一點處（距原點x處）在任一時刻t的位移。如果波沿ox軸

負向傳播，則波動表式為

u波傳播方向x前正號的意義(4)質點振動的速度則x處質點振動的速度為v是波動傳到x處，質點的運動速度，是x,t的函數(shù)；u是波的傳播速度，取決于媒質的力學性質，與x,t無關?！豿

軸正方向各質點相位逐一超前！例一平面簡諧波在介質中以速度u=20m/s沿直線傳播波沿ox軸負向傳播，已知傳播路徑上某點A的振動表式為y=3cos

4

t.求（1）如以A點為坐標原點，寫出波動表式；（2）如以距A點5m處的B點為坐標原點，寫出波動表式;（3）以A點為坐標原點，寫出傳播方向上點B，點C,點D的振動表式。8m5m9mCDABux思考：1）以A為坐標原點,和B為坐標原點，波函數(shù)是否一樣？2）以A為坐標原點,和B為坐標原點，C,D的振動表達式是否一樣？解：因為波沿x軸負向傳播，x

正軸各點的相位均超前A點。（1）點A的振動表式為以A點為坐標原點，則距原點x

處的質點的相位為（t+x/u),

波函數(shù)為（2）求B點為坐標原點的波函數(shù)（方法1）B點的相位落后于A點的

相位8m5m9mCDABux方法2以A點為坐標原點的波動函數(shù)為以

B點為坐標原點時，作一坐標變換x→(x-5).點B的振動表式為則

B點為坐標原點的波函數(shù)為8m5m9mCDABux則以

B點為坐標原點的函數(shù)為（3）以A點為坐標原點，則B，C,D點的振動表式為8m5m9mCDABux無論以那點為坐標原點，B,C,D的振動表達式都是一樣.Ao

t=0t時刻例:一沿x軸正向傳播的平面簡諧波在t=0時刻的波形圖如右圖,振幅為A,角頻率為。求：（1）O點的振動表式；（2）P點的振動表式；

(3)寫出波動表式。解：（1）求O點的初相。圖中的波形是t=0時刻各點的位移。O點的振動方程Ap(2)求

P點的初相。(3)寫出波動方程。(2)求

P點的初相?；颍篜點相位比O點落后3/2,則P點的初相為（/2-

3/2）=-。

P點的振動方程Apt=0t我們畫出原點的振動曲線，與t=0時刻的波形曲線比較：O點的振動方程同樣我們可以由某點的振動曲線，所給出的信息寫出波動方程。O點的振動曲線注意：某一時刻的波形線和振動曲線的區(qū)別！例

：一平面簡諧波沿x軸正向傳播,振幅A=10cm，圓頻率當t=1.0s時，x=10cm處a質點的振動狀態(tài)為，此時x=20cm處b質點的振動狀態(tài)為設該波波長.求波動方程。解：波動方程一般表式為yab0t=1.0s當t=1.0s時聯(lián)立得波動方程為yab0t=1.0s例：已知如圖所示的兩個時刻的波形曲線：寫出該波的波函數(shù)。解：先求O點的振動方程Ao

t=0t=2s120m

t=0t=2s120m求出角頻率求出波速該波的波函數(shù)：+

四、波動方程波的傳播速度具有普適性，即對任一一維平面波都成立。亦可推出上式注意波動方程由以弦上橫波為例建立波動方程xx+dxT(x)T+dTxy波速僅與傳播的介質有關的量。dT波的傳播速度彈性介質內傳播的彈性波傳播速度決定于媒質的力學性質，具體說決定于媒質的密度和彈性模量。理論上證明：E為介質的彈性模量；ρ為媒質的體密度彈性形變的內容很多，所以彈性模量也有不同的名稱。結論：任何物理量只要滿足上述方程，則它一定按波的形式傳播。而且對時間偏導數(shù)的

系數(shù)的倒數(shù)就是波速的平方。長變切變楊氏模量切變模量A.對于固體：當固體發(fā)生拉伸和壓縮形變時，則傳播縱波：可傳播的縱波波速當固體發(fā)生切變時，則傳播橫波：可傳播的橫波波速在彈性軟繩和弦線中傳播的橫波其傳播速度為T為介質中的張力一般來說同種材料楊氏模量比切變模量大。因此縱波波速大于橫波波速此時液體和氣體的體積發(fā)生變化——容變體變彈性模量B.對于液體和氣體：因為不能發(fā)生切變，所以不能傳播橫波，只能傳播縱波。一般來說同種材料楊氏模量比切變模量大。因此縱波波速大于橫波波速在一根很長的細桿中傳播著縱波,某一時刻的波形曲線如圖,試分析圖中A、B、C、D、.…各點哪些對疏部，哪些對應波的密部。yxBAECDFGHIxAECGIBDFH密部疏部密部疏部疏部y=o的各點相對形變最大，對應疏部和密部；y最大的各點相對形變?yōu)榱悖鞘璨亢兔懿康姆纸缇€；五、波的能量能流密度以平面余弦彈性縱波在棒中傳播為例。設棒中平面簡諧波的波動表式為體積元振動速度為機械波的能量是媒質中各質元振動能量(動能加勢能）的總和。體積元動能波的能量應變=y/x體積元的相對形變彈性勢能楊氏模量彈性勢能正比于相對形變體積元總機械能討論：

體積元的，，都隨t作周期性變化，同時達到最大值，又同時達到最小值。體積元的機械能不守恒。在行波的傳播過程中，體積元的動能和勢能的時間關系相同，同相且大小相同。B點同時波峰處點最大，