數(shù)列的極限及運(yùn)算同濟(jì)大學(xué)高數(shù)(第七版)上冊(cè)

數(shù)列的極限及運(yùn)算同濟(jì)大學(xué)高數(shù)(第七版)上冊(cè)第一頁(yè)，共24頁(yè)。割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，將其面積記為A1；再作內(nèi)接正十二邊形，將其面積記為A2；作內(nèi)接二十四邊形，將其記為A3；依此類推，內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An第二頁(yè)，共24頁(yè)。正十二邊形的面積正

形的面積當(dāng)n越大時(shí)，An的面積與圓的面積的差別也就越?。划?dāng)n→∞時(shí)，內(nèi)接正多邊形的面積就無(wú)線接近于圓，這就是極限的概念.正六邊形的面積第三頁(yè)，共24頁(yè)。二、數(shù)列極限的定義數(shù)列是整標(biāo)函數(shù):在幾何上：例如：1、數(shù)列的定義

數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1，x2，x3，…xn，…第四頁(yè)，共24頁(yè)。兩個(gè)數(shù)的接近程度可用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值來(lái)度量！問(wèn)題：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(n)能否無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)值？“無(wú)限接近”意味著什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它？第五頁(yè)，共24頁(yè)。第六頁(yè)，共24頁(yè)。2、數(shù)列極限的定義推論第七頁(yè)，共24頁(yè)。收斂數(shù)列的幾何意義：第八頁(yè)，共24頁(yè)。具體方法：思考：如何根據(jù)極限定義驗(yàn)證數(shù)列極限？用定義驗(yàn)證數(shù)列極限,關(guān)鍵是如何由任意給定的ε>0

，尋找N！注：該定義并未提供如何求數(shù)列極限，但可以去驗(yàn)證數(shù)列的極限！第九頁(yè)，共24頁(yè)。例1證第十頁(yè)，共24頁(yè)。例2證第十一頁(yè)，共24頁(yè)。注:放大的原則：第十二頁(yè)，共24頁(yè)。例3證第十三頁(yè)，共24頁(yè)。例4證第十四頁(yè)，共24頁(yè)。三、

收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（唯一性）證第十五頁(yè)，共24頁(yè)。定理2（有界性）證推論2推論1證明之前函數(shù)有界性的概念第十六頁(yè)，共24頁(yè)。證推論3第十七頁(yè)，共24頁(yè)。定理3（保號(hào)性）證推論

第十八頁(yè)，共24頁(yè)。

子數(shù)列的概念定義

第十九頁(yè)，共24頁(yè)。定理4證推論

此推論常用于證明某個(gè)數(shù)列是發(fā)散的！例如數(shù)列第二十頁(yè)，共24頁(yè)。四、數(shù)列極限的運(yùn)算法則注：前兩項(xiàng)可推廣到有限個(gè)收斂數(shù)列的情形！第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。無(wú)窮多個(gè)收斂數(shù)列這是錯(cuò)誤的.例