余數(shù)問題ABC級學(xué)生版

知識框知識框架-、 帶余除法的定義及性質(zhì)1、定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（厚0），若有a:b=q……r，也就是a=bxq+r,0<r<b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：（1）當(dāng)r=0時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商（2）當(dāng)r中0時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數(shù)。這個圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。2、余數(shù)的性質(zhì)⑴被除數(shù)=除數(shù)x商+余數(shù)；除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）+商；商=（被除數(shù)-余數(shù)）+除數(shù)；⑵余數(shù)小于除數(shù).二、 三大余數(shù)定理：.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為2.余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23-16=7除以5的余數(shù)等于2,兩個余數(shù)差3MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版 Page1of14—1=2.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時時，補上除數(shù)再減。例如：23,14除以5的余數(shù)分別是3和4,23-14=9除以5的余數(shù)等于4,兩個余數(shù)差為3+5—4=4.余數(shù)的乘法定理。與b的乘積除以c的余數(shù)，等于。,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23x16除以5的余數(shù)等于3x1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23x19除以5的余數(shù)等于3x4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么a與b除以m的余數(shù)也相同.棄九法原理在公元前9世紀(jì)，有個印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗算式1234+1898+18922+678967+178902=8899231234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們在求一個自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計算，只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九法原理：任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0,但是顯然算式是錯誤的。MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版 Page2of14

但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式謎問題。四、 同余定理1、定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：。三b（modm），左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。2、重要性質(zhì)及推論：（1）若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除例如：17與11除以3的余數(shù)都是2，所以（1711）能被3整除.（2）用式子表示為：如果有a三b（modm），那么一定有a—b=mk,k是整數(shù)，即m1（a—b）3、余數(shù)判別法當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩的.建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出W被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)凡使得：N與R對于除數(shù)m同余.由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù).1）整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)；2）整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；3）整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；4）整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；5）整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減）；6）整數(shù)N被7,11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7,11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7,11或13除的余數(shù).1）重難點理解余數(shù)性質(zhì)時，要與整除性聯(lián)系起來，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能夠被除數(shù)整除了.在一些題目中因為余數(shù)的存在，不便于我們計算，去掉余數(shù)，回到我們比較熟悉的整除性問題，那么問題就會變得簡單了店例題精講MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page3of14【例1】1013除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是12.求出符合條件的所有的兩位數(shù).【鞏固】一個兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)?！纠?】有一個三位數(shù)，其中個位上的數(shù)是百位上的數(shù)的3倍。且這個三位數(shù)除以5余4,除以11余3。這個三位數(shù)是_【鞏固】一個自然數(shù)，除以11時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時所得到的商是余數(shù)的3倍，這個自然數(shù)是 .【例3】甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù).MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page4of14【鞏固】當(dāng)1991和1769除以某個自然數(shù)n，余數(shù)分別為2和1.那么，n最小是多少?【例4】222…2除以13所得余數(shù)是【例4】" V '2000個"2"【鞏固】77777【鞏固】77777除以41的余數(shù)是多少？^ /1996個7【例5】著名的斐波那契數(shù)列是這樣的：1、【例5】著名的斐波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少?【鞏固】有一列數(shù)：1，3,9,25,69,189,517,…其中第一個數(shù)是1，第二個數(shù)是3,從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)之和的2倍再加上1,那么這列數(shù)中的第2008個數(shù)除以6,得到的余數(shù)是 .MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page5of14【例6】將從【例6】將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次寫成一個多位數(shù)：A=13579111315171921則數(shù)a共有位，數(shù)a除以9的余數(shù)是___?！眷柟獭繉?2345678910111213……依次寫到第1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是.【例7】有一個整數(shù)，用它去除70,110,160所得到的3個余數(shù)之和是50,那么這個整數(shù)是【鞏固】用自然數(shù)n去除63,91,129得到的三個余數(shù)之和為25,那么n=MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù)MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版 Page6of14【例8】在圖表的第二行中，恰好填上89?98這十個數(shù)，使得每一豎列上下兩個因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3.因敏89909192939495969798很被【鞏固】求478x296x351除以17的余數(shù).【例9】求1?2008的所有自然數(shù)中，有多少個整數(shù)a使2a與a2被7除余數(shù)相同?【鞏固】今天是星期四，10100天之后將是星期幾?MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版 Page7of14【例10】22008+20082除以7的余數(shù)是多少？【鞏固】Q1【鞏固】Q130+303113除所得的余數(shù)是多少?【例11】3個三位數(shù)乘積的算式abcxbcaxcab=234235286（其中a>b>c），在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的abc是多少?【鞏固】有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10，第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8,求兩個三位數(shù)的和。MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page8of14【例12】某個兩位數(shù)加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,這個兩位數(shù)是【鞏固】有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33.求這個數(shù)是多少?【例13】有一個大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【鞏固】有一個整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個整數(shù)是幾?MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版 Page9of14

【例14】一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是a5、2a、a，求這個自然數(shù)和a的值.【鞏固】有3個吉利數(shù)888,518,666,用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10，則這個自然數(shù)是【例15】一個大于10的自然數(shù)，除以5余3,除以7余1，除以9余8,那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？【鞏固】一個大于10的數(shù)，除以3余1,除以5余2,除以11余7,問滿足條件的最小自然數(shù)是多少?MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page10of14課堂檢測課堂檢測【隨練1】3782除以某個整數(shù)后所得的商恰好是余數(shù)的21倍，那么除數(shù)最小可能是 【隨練2】6666…667的余數(shù)是多少？" V '1995個6【隨練3】有一列數(shù)排成一行，其中第一個數(shù)是3,第二個數(shù)是10，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和，那么第1997個數(shù)被3除所得的余數(shù)是多少？【隨練4】商店里有六箱貨物，分別重15,16,18,19,20，31千克，兩個顧客買走了其中的五箱.已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是 千克.MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.MSDC模塊化分級講義體系 六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page11of14【隨練5】求3199的最后兩位數(shù).glue；家庭作業(yè)【作業(yè)1】在大于2009的自然數(shù)中，被57除后，商與余數(shù)相等的數(shù)共有 個.【作業(yè)2】有三個自然數(shù)a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。則c除以b，得到的余數(shù)是 。【作業(yè)3】有兩個自然數(shù)相除，商是17,余數(shù)是13，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113，則被除數(shù)是多少？MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.MSDC模塊化分級講義體系六年級奧數(shù).數(shù)論.余數(shù)問題（ABC級）.學(xué)生版Page12of14【作業(yè)4】已知a=20082008…2008，問：a除以13所得的余數(shù)是多少？2008個2008【作業(yè)5】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？【作業(yè)6】六張卡片上分別標(biāo)上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另一個人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是 .（第五屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽）【作業(yè)7】求2461x135x6047