2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第一冊學(xué)案：3.3 冪函數(shù)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊學(xué)案：3.3冪函數(shù)含解析3。3冪函數(shù)【素養(yǎng)目標(biāo)】1．通過具體實例，理解冪的概念．（數(shù)學(xué)抽象)2．會畫簡單冪函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象得出這些函數(shù)的性質(zhì)．(直觀想象)3．理解常見冪函數(shù)的基本性質(zhì)．(邏輯推理）【學(xué)法解讀】以五種常見的冪函數(shù)為載體，學(xué)生應(yīng)自己動手在同一個平面直角坐標(biāo)系下畫出這五種冪函數(shù)的圖象,通過觀察比較研究其圖象和性質(zhì),進(jìn)而研究一般冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)．必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點1冪函數(shù)的概念函數(shù)__y＝xα__叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．思考1:冪函數(shù)的解析式有什么特征？提示:①系數(shù)為1；②底數(shù)x為自變量;③冪指數(shù)為常數(shù)．知識點2冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)五個冪函數(shù)的圖象：(2）冪函數(shù)的性質(zhì)：冪函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up4（\f(1，2)）y＝x－1定義域RRR[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0)減__增____增__x∈(0，＋∞）減;x∈(－∞，0)減公共點都經(jīng)過點（1,1）思考2：當(dāng)α>0時，冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)有什么共同特征？提示:圖象都是從左向右逐漸上升．基礎(chǔ)自測1．下列函數(shù)為冪函數(shù)的是(D）A．y＝2x4 B．y＝2x3－1C．y＝eq\f（2，x） D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系數(shù)為2,故A不是冪函數(shù)；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是冪函數(shù)；y＝eq\f（2，x）＝2x－1，x－1的系數(shù)為2，故C不是冪函數(shù)，故只有D是冪函數(shù)．2．(2019·安徽太和中學(xué)高一期中測試)已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點（2,2eq\r(2))，則f（4)的值為(B)A．4 B．8C．2eq\r(2） D．eq\f(1，2）[解析］設(shè)f(x）＝xα，∴2eq\r（2)＝2α，∴α＝eq\f（3，2)?！鄁（x)＝xeq\s\up4(\f(3,2）).∴f(4)＝4eq\s\up4(\f(3，2））＝（22）eq\s\up4(\f(3，2))＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是冪函數(shù),則m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由題意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝1，2n－4＝0）），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝1,,n＝2.）)∴m＋n＝3。4．已知α∈｛－2，－1，－eq\f（1，2），eq\f（1，2），1,2，3｝,若冪函數(shù)f（x)＝xα為奇函數(shù),且在（0，＋∞）上遞減，則α＝__－1__。[解析］∵α∈｛－2，－1,－eq\f(1，2)，eq\f(1,2）,1，2,3｝，且函數(shù)f（x）＝xα為奇函數(shù),∴α＝－1，1，3，又∵f（x）＝xα在（0，＋∞)上遞減，∴α＝－1.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一冪函數(shù)的概念例1已知函數(shù)f（x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m為何值時，f(x）是：（1)正比例函數(shù)；（2）反比例函數(shù);(3）二次函數(shù)；(4）冪函數(shù)．［分析］本題將正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)放在一起考查，要注意區(qū)別它們之間的不同點,根據(jù)各自定義:（1）正比例函數(shù)y＝kx(k≠0）；(2）反比例函數(shù)y＝eq\f（k，x)(k≠0);(3）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0）;(4)冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù)），轉(zhuǎn)化為系數(shù)和指數(shù)的取值問題．［解析](1)若f(x）為正比例函數(shù),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0)），∴m＝1.（2）若f（x）為反比例函數(shù),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0)），∴m＝－1。（3）若f(x)為二次函數(shù)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0)）,∴m＝eq\f(－1±\r(13),2).（4)若f(x）為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1,∴m＝－1±eq\r(2）。［歸納提升］形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1）系數(shù)為1，(2）指數(shù)為一常數(shù)，（3)后面不加任何項．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)．【對點練習(xí)】?有下列函數(shù)：①y＝3x2；②y＝x2＋1;③y＝－eq\f(1,x）；④y＝eq\f(1,x);⑤y＝xeq\s\up4(\f（2,3））；⑥y＝x3.其中,是冪函數(shù)的有__④⑤⑥__(只填序號)．［解析]①中，x2的系數(shù)為3，故不是冪函數(shù);②中,y＝x2＋1不是xα的形式，故不是冪函數(shù);③中，y＝－eq\f（1，x)＝－x－1，系數(shù)是－1,故不是冪函數(shù)；④中，y＝eq\f(1，x)＝x－1是冪函數(shù)；⑤中，y＝xeq\s\up4（\f（2,3）)是冪函數(shù);⑥中，y＝x3是冪函數(shù)．題型二冪函數(shù)的圖象例2函數(shù)y＝xα與y＝αx（α∈{－1，1，eq\f（1,2),2，3})的圖象只可能是下面中的哪一個(C)[分析］逐個分析函數(shù)圖象，也可給α分別取已知數(shù)值，研究兩個函數(shù)在同一個坐標(biāo)系的圖象形狀．[解析］A中直線對應(yīng)函數(shù)y＝x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y＝x－1,1≠－1,故A錯；B中直線對應(yīng)函數(shù)為y＝2x，曲線對應(yīng)函數(shù)為y＝xeq\s\up4（\f（1，2))，2≠eq\f（1,2）,故B錯；C中直線對應(yīng)函數(shù)為y＝2x，曲線對應(yīng)函數(shù)為y＝x2，當(dāng)x＝2時，22＝2×2，故C對；D中直線對應(yīng)函數(shù)為y＝－x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y＝x3，－1≠3。故D錯．［歸納提升]解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小,相關(guān)結(jié)論為：①在（0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越靠近x軸;②在(1,＋∞）上,指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸．(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象來判斷．【對點練習(xí)】?(1)函數(shù)y＝xeq\s\up4(\f(5，3））的圖象大致是（B）(2)當(dāng)α∈｛－1，eq\f(1，2）,1，3｝時,冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第__二、四__象限．[解析］(1)函數(shù)y＝xeq\s\up4(\f(5,3)）＝eq\r（3，x5）是定義域為R的奇函數(shù)，且此函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除A，C．另外，因為y＝（eq\f(1,2))eq\s\up4（\f（5,3)）＝eq\f(1,2）×(eq\f(1，2)）eq\s\up4(\f(2,3))＜eq\f（1，2），y＝1eq\s\up4(\f（5,3)）＝1，y＝2eq\s\up4（\f（5，3))＝2×2eq\s\up4（\f(2，3）)＞2，所以當(dāng)x∈(0，1)時，函數(shù)y＝xeq\s\up4（\f(5,3))的圖象在直線y＝x的下方；當(dāng)x∈（1，＋∞)時,函數(shù)y＝xeq\s\up4（\f（5,3）)的圖象在直線y＝x的上方．故選B．（2)冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象分布在第一、三象限,y＝xeq\s\up4(\f（1，2))的圖象分布在第一象限．所以冪函數(shù)y＝xα(α＝－1,eq\f（1，2)，1，3）的圖象不可能經(jīng)過第二、四象限．題型三冪函數(shù)簡單性質(zhì)的應(yīng)用角度1比較冪的大小例3比較下列各題中兩個數(shù)的大?。海?）2。3eq\s\up4（\f(3,4）），2。4eq\s\up4（\f(3，4）)；(2)（eq\r（2)）－eq\s\up4(\f(3,2)），（eq\r(3))－eq\s\up4(\f(3,2））；(3）(－0。32)eq\s\up4（\f(6，5）)，0。35eq\s\up4(\f（6，5)）。[分析］[解析]（1）∵y＝xeq\s\up4(\f(3，4）)為[0，＋∞）上的增函數(shù)，且2.3<2。4，∴2.3eq\s\up4(\f（3,4))<2.4eq\s\up4（\f（3,4)）。(2）∵y＝x－eq\s\up4（\f(3,2))為（0，＋∞)上的減函數(shù),且eq\r(2)〈eq\r(3)，∴(eq\r(2))－eq\s\up4(\f（3,2))>（eq\r(3))－eq\s\up4(\f（3,2)).（3）∵y＝xeq\s\up4（\f(6,5））為R上的偶函數(shù)，∴(－0。31)eq\s\up4(\f(6，5））＝0.31eq\s\up4（\f(6,5））.又函數(shù)y＝xeq\s\up4(\f(6,5))在[0，＋∞)上單調(diào)遞增,且0.31<0.35，∴0。31eq\s\up4（\f(6，5））<0。35eq\s\up4（\f(6，5）），即（－0.31）eq\s\up4(\f（6,5))〈0。35eq\s\up4(\f(6，5））.[歸納提升]比較冪值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．對于第(3）小題,當(dāng)要比較的兩數(shù)的底數(shù)不在同一單調(diào)區(qū)間上時,應(yīng)先利用函數(shù)的奇偶性等性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使得要比較的兩數(shù)的底數(shù)在同一單調(diào)區(qū)間上，再比較．角度2已知單調(diào)性求參數(shù)例4(2020·湖南省長沙市聯(lián)考)已知冪函數(shù)y＝（m2＋m－5)xm2－2m－3,當(dāng)x∈（0,＋∞）時，y隨x的增大而減小，求此冪函數(shù)的解析式．[分析］先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，然后根據(jù)該冪函數(shù)在(0，＋∞）上單調(diào)遞減進(jìn)行檢驗．［解析]∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是冪函數(shù),∴m2＋m－5＝1，即（m－2）（m＋3）＝0，∴m＝2或m＝－3。當(dāng)m＝2時，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是冪函數(shù)，且滿足當(dāng)x∈（0，＋∞)時,y隨x的增大而減小;當(dāng)m＝－3時,m2－2m－3＝12,y＝x12是冪函數(shù),但不滿足當(dāng)x∈(0，＋∞)時，y隨x的增大而減小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0）．[歸納提升]本題根據(jù)冪函數(shù)的定義可求出m有兩個值，求出m的值后，一定要根據(jù)題目要求對m的值進(jìn)行檢驗．【對點練習(xí)】?比較下列各組數(shù)的大小:（1)1。10.1,1。20。1.(2）0。24－0.2，0。25－0。2。［解析］(1)由于函數(shù)y＝x0.1在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增,又因為1.1〈1.2,所以1.10。1<1.20.1.(2）由于函數(shù)y＝x－0.2在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減,又因為0。24〈0.25，所以0。24－0。2〉0。25－0。2。誤區(qū)警示用冪函數(shù)的單調(diào)性解題時忽略了不同單調(diào)區(qū)間的討論例5已知冪函數(shù)y＝xm2－2m－3（m∈N＊)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0,＋∞)上是減函數(shù)，求滿足（a＋1）－eq\s\up7(\f（m,3)）〈（3－2a)－eq\s\up7(\f（m,3))的a的取值范圍．[錯解］∵函數(shù)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1〈m<3。∵m∈N*，∴m＝1,2。又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．又∵22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，∴m＝1.又∵y＝x－eq\s\up4（\f（1,3)）是減函數(shù),由(a＋1）－eq\s\up7(\f(m,3）)<(3－2a)－eq\s\up7(\f（m,3)），得a＋1>3－2a。解得eq\f（2,3）<a。[錯因分析]該解法中將函數(shù)值大小轉(zhuǎn)化為自變量大小時忽略了定義域以及單調(diào)區(qū)間的限制．只有在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)才可以在函數(shù)值大小與自變量大小之間實現(xiàn)自由轉(zhuǎn)化．[正解］∵函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－2m－3〈0，解得－1<m<3.∵m∈N＊，∴m＝1，2。又∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．又∵22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，∴m＝1.又∵y＝x－eq\s\up4（\f（1,3）)在(－∞，0)，（0，＋∞)上均為減函數(shù)，由（a＋1）－eq\s\up7(\f(m，3）)〈（3－2a)－eq\s\up7（\f(m，3））,得a＋1〉3－2a>0或3－2a<a＋1〈0或a＋1〈0<3－2a。解得a<－1或eq\f（2,3）<a<eq\f（3，2).［方法點撥］解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出m的值后，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象建立關(guān)于a的不等式．在這里極易出現(xiàn)認(rèn)為函數(shù)在(－∞，0）和（0，＋∞)上為減函數(shù)，則函數(shù)必在定義域內(nèi)是減函數(shù)的認(rèn)知誤區(qū)，從而誤用性質(zhì)產(chǎn)生錯誤的結(jié)果．學(xué)科素養(yǎng)新定義題新定義問題都要按照定義要求，變形為普通的運算表達(dá)的函數(shù)形式，再使用相關(guān)方法獲得結(jié)論．考查邏輯推理及直觀想象素養(yǎng)．例6定義函數(shù)f（x)＝max｛x2，x－2},x∈(－∞，0)∪（0,＋∞)，求f（x）的最小值．[分析］按定義用分段函數(shù)表示f(x),使用圖象求解．［解析］因為f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪（0，＋∞)，所以f（x）總是取x2和x－2中最大的一個值．令x2〉x－2，得x2>1,所以x〉1或x<－1。令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，所以f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2x〉1,x－2－1≤x<0或0<x≤1，,x2x〈－1））函數(shù)f(x）的圖象如圖所示：由圖可知f(x）在x＝－1與x＝1時取最小值1.所以函數(shù)f（x)的最小值為1.課堂檢測·固雙基1．在函數(shù)y＝eq\f(1，x2）,y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中,冪函數(shù)的個數(shù)為（B）A．0 B．1C．2 D．3［解析］顯然，根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有y＝eq\f（1,x2）＝x－2是冪函數(shù)．2．冪函數(shù)y＝xα（α∈R）的圖象一定不經(jīng)過(A）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限［解析]∵α∈R，x>0,∴y＝xα>0，∴圖象不可能經(jīng)過第四象限,故選