第11章解三角形綜合復(fù)習-2022學年蘇教版高中數(shù)學必修第二冊同步教案（學生版+教師版）

編號：020課題:§11解三角形復(fù)習課目標要求1、理解并掌握解余弦定理．2、理解并掌握正弦定理．3、會判斷三角形的形狀．4、理解并掌握余弦定理、正弦定理解決實際應(yīng)用問題.學科素養(yǎng)目標解三角形是高中數(shù)學的重要教學內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學中，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學，不但可以提高學生的解題能力，而且還對學生的數(shù)學思路的發(fā)展有幫助.重點難點重點：判斷三角形的形狀；難點：余弦定理、正弦定理解決實際應(yīng)用問題．教學過程基礎(chǔ)知識點1.本章知識結(jié)構(gòu)簡圖2.三角形正弦定理:____________________,其中_________為三角形外接圓直徑.余弦定理：_________________________________________________________________.面積定理（1）：_____________________________________，其中h是三角形的高.★射影定理_____________________________________________________________.考點整合·素養(yǎng)提升題組訓練一利用余弦定理解題題1.如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=________.題2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且.(1)求c和sinA的值;(2)求sin(2A-B)的值.【方法技巧】1.已知兩邊a,b及其夾角C的求解步驟(1)由，求邊c;(2)由正弦定理求a,b中較小邊所對的銳角;(3)由內(nèi)角和定理求第三角.2.已知三邊的求解步驟(1)由余弦定理求最大邊所對的角;(2)由正弦定理求其余兩個銳角.題組訓練二利用正弦定理解題題3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,則邊c的大小是 ()A.B.C.D.題4.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,且,則A=________,若角A為鈍角,則的取值范圍為________.題5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,________,且.現(xiàn)從:①,②,③這三個條件中任選一個,將題目補充完整,并判斷這樣的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面積S;若不存在,請說明理由.【方法技巧】1.已知兩角A,B及一邊b的求解步驟(1)利用C=π-A-B求出角C;(2)由正弦定理得求出邊a;(3)由正弦定理得求出邊c.2.已知兩邊a,b及一邊對角A的求解步驟(1)由正弦定理得sinB=;(2)利用sinB的值及具體題意判斷解的情況;(3)利用C=π-A-B求出角C;(4)由正弦或余弦定理求邊c.其中(2)中運用正弦定理解三角形時,解不確定,可結(jié)合三角形中大邊對大角的性質(zhì)去判斷解的個數(shù).題組訓練三判斷三角形的形狀題6.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(k為非零實數(shù)),則下列結(jié)論正確的是 ()A.當k=5時,△ABC是直角三角形B.當k=3時,△ABC是銳角三角形C.當k=2時,△ABC是鈍角三角形D.當k=1時,△ABC是鈍角三角形題7.(多選題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,①若A>B,則sinA>sinB;②若sin2A=sin2B,則△ABC一定為等腰三角形;③若sin2A+sin2B=sin2C,則△ABC為直角三角形;④若△ABC為銳角三角形,則sinA>cosB.以上結(jié)論中正確的有 ()A.① B.②C.③ D.④【方法技巧】1.判斷三角形形狀的常用方法(1)化邊為角;(2)化角為邊.總之,要根據(jù)條件,正確選擇公式、定理.2.常見的思考方向(1)是否兩邊(或兩角)相等;(2)是否三邊(或三角)相等;(3)是否有直角、鈍角.3.解三角形中的常用結(jié)論(1)在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,,cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,(3)在△ABC中,,,.題組訓練四利用余弦定理、正弦定理解決實際應(yīng)用題題8.如圖所示,為了測量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 ()A.海里 B.海里C.海里 D.海里題9.如圖所示,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=500m,則山高MN=________m.編號：020課題:§11解三角形復(fù)習課目標要求1、理解并掌握解余弦定理．2、理解并掌握正弦定理．3、會判斷三角形的形狀．4、理解并掌握余弦定理、正弦定理解決實際應(yīng)用問題.學科素養(yǎng)目標解三角形是高中數(shù)學的重要教學內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識，綜合性較強.在解三角形的教學中，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三角形問題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學，不但可以提高學生的解題能力，而且還對學生的數(shù)學思路的發(fā)展有幫助.重點難點重點：判斷三角形的形狀；難點：余弦定理、正弦定理解決實際應(yīng)用問題．教學過程基礎(chǔ)知識點1.本章知識結(jié)構(gòu)簡圖2.三角形正弦定理:,其中為三角形外接圓直徑.余弦定理：面積定理（1）：，其中h是三角形的高.★射影定理_考點整合·素養(yǎng)提升題組訓練一利用余弦定理解題題1.如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=________.【解析】因為AB⊥AC,AB=,AC=1,由勾股定理得,同理得BD=,所以BF=BD=,在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,由余弦定理得,所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得.答案:題2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且.(1)求c和sinA的值;(2)求sin(2A-B)的值.【解析】(1)由余弦定理,得,又,所以ac=9,解得a=3,c=3,在△ABC中,由正弦定理得，所以.(2)因為a=c,則A為銳角,所以，所以，所以.【方法技巧】1.已知兩邊a,b及其夾角C的求解步驟(1)由，求邊c;(2)由正弦定理求a,b中較小邊所對的銳角;(3)由內(nèi)角和定理求第三角.2.已知三邊的求解步驟(1)由余弦定理求最大邊所對的角;(2)由正弦定理求其余兩個銳角.題組訓練二利用正弦定理解題題3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,則邊c的大小是 ()A.B.C.D.【解析】選D.因為b=2,B=120°,C=45°,所以，即.題4.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,且,則A=________,若角A為鈍角,則的取值范圍為________.【解析】由及0<A<π,得，或.由角A為鈍角得.由正弦定理得，所以.由，得.所以，又，所以，所以.故的取值范圍為.答案:或題5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,________,且.現(xiàn)從:①,②,③這三個條件中任選一個,將題目補充完整,并判斷這樣的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面積S;若不存在,請說明理由.【解析】若選條件①.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4.因為,所以,解得或不妨取易知b>a>c,且a+c>b,所以這樣的△ABC存在,其面積.若選條件②.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4,因為,所以.解得易知a>b>c,且b+c>a,所以這樣的△ABC存在,其面積.若選條件③.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a,又a=3,所以b+c=4,因為A+B=,所以,即,解得易知c>a>b,且a+b>c,所以這樣的△ABC存在,其面積.綜上所述,選條件①時,;選條件②時,;選條件③時,.【方法技巧】1.已知兩角A,B及一邊b的求解步驟(1)利用C=π-A-B求出角C;(2)由正弦定理得求出邊a;(3)由正弦定理得求出邊c.2.已知兩邊a,b及一邊對角A的求解步驟(1)由正弦定理得sinB=;(2)利用sinB的值及具體題意判斷解的情況;(3)利用C=π-A-B求出角C;(4)由正弦或余弦定理求邊c.其中(2)中運用正弦定理解三角形時,解不確定,可結(jié)合三角形中大邊對大角的性質(zhì)去判斷解的個數(shù).題組訓練三判斷三角形的形狀題6.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(k為非零實數(shù)),則下列結(jié)論正確的是 ()A.當k=5時,△ABC是直角三角形B.當k=3時,△ABC是銳角三角形C.當k=2時,△ABC是鈍角三角形D.當k=1時,△ABC是鈍角三角形【解析】選ABC.當k=5時,，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=5m,b=3m,c=4m(m>0),顯然△ABC是直角三角形;當k=3時,，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=3m,b=3m,c=4m(m>0),顯然△ABC是等腰三角形,,說明C是銳角,故△ABC是銳角三角形;當k=2時,，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=2m,b=3m,c=4m(m>0),,說明C是鈍角,故△ABC是鈍角三角形,當k=1時,，根據(jù)正弦定理不妨設(shè)a=m,b=3m,c=4m(m>0),此時a+b=c,不能構(gòu)成三角形,故結(jié)論錯誤.題7.(多選題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,①若A>B,則sinA>sinB;②若sin2A=sin2B,則△ABC一定為等腰三角形;③若sin2A+sin2B=sin2C,則△ABC為直角三角形;④若△ABC為銳角三角形,則sinA>cosB.以上結(jié)論中正確的有 ()A.① B.②C.③ D.④【解析】選ACD.對于①,因為A>B,所以a>b,由正弦定理可知,sinA>sinB,即①正確;對于②,因為sin2A=sin2B,所以A=B或2A+2B=π.若A=B時,△ABC為等腰三角形;若2A+2B=π,則A+B=,此時△ABC為直角三角形,故②不正確;對于③,sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得,a2+b2=c2,故△ABC為直角三角形,即③正確;對于④,因為△ABC為銳角三角形,所以A+B>,則A>-B,顯然,因為函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增,所以,即sinA>cosB,故④正確.【方法技巧】1.判斷三角形形狀的常用方法(1)化邊為角;(2)化角為邊.總之,要根據(jù)條件,正確選擇公式、定理.2.常見的思考方向(1)是否兩邊(或兩角)相等;(2)是否三邊(或三角)相等;(3)是否有直角、鈍角.3.解三角形中的常用結(jié)論(1)在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,,cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,(3)在△ABC中,,,.題組訓練四利用余弦定理、正弦定理解決實際應(yīng)用題題8.如圖所示,為了測量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 ()A.海里 B.海里C.海里 D.海里【解析】選A.連接AB,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得，解得，在Rt△DC