數(shù)學(xué)運(yùn)算講義資料

數(shù)學(xué)運(yùn)算講義

第一章數(shù)學(xué)運(yùn)算中常用基礎(chǔ)知識

第一節(jié)數(shù)的整除

知識點(diǎn)一數(shù)的整除特性

1、整除的定義

設(shè)a,beZ,且a，0,若存在加wZ,使得反加則我們稱b能被a整除，記作，a|b,

并且稱b是a的倍數(shù)，a是b的因數(shù)（或稱作約數(shù)）。（其中Z表示整數(shù)，表示“屬于"）

2整除的特性

①若a整除b,b整除c,則a整除q

②若a整除b,c整除d則ac整除bet

③若a整除b且a整除c,則a整除（bxRy）,其中5盧Z;

④a,b屬于自然數(shù)，若a整除h則aWb

⑤若a整除b且b整除a,則出th

入整除的檢定

被2整除特點(diǎn)：偶數(shù)

被3整除特點(diǎn)：每位數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)

被4（或25）整除特點(diǎn)：末兩位是4（或25）的倍數(shù)

被5整除特點(diǎn)：末位數(shù)字是0或5

被6整除特點(diǎn)：能同時(shí)被2和3整除

被7整除特點(diǎn)：若A）的末三位與A去掉末三位尾數(shù)后數(shù)之差是7（或11,13的倍數(shù)，則A

能被7（或11,13）整除。

被8（或125）整除特點(diǎn)：8（或125）整除末三位數(shù)；

被9整除特點(diǎn)：每位數(shù)字相加的和是9的倍數(shù)

被11整除特點(diǎn)：奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之間的差是11的倍數(shù)

例1:在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被入45整除，且使這個(gè)

數(shù)值盡可能的小，這個(gè)數(shù)是（）A865010B865020C865000D865230

例2有100元、10元、1元的紙幣共4張，將它們都換成5角的硬幣，剛好可以平分給7

個(gè)人，則總幣值的范圍是（）o

A（10A11。B（11g12。C(12g13。DQI卜22。

例3:若干學(xué)生住若干房間，如果每間住4人，則有20人沒地方住，如果每間住8人，則

有一間只有4人住，問共有多少學(xué)生？A30人B34人C40人D44人

例4某劇場共有100個(gè)座位，如果當(dāng)票價(jià)為10元時(shí)，票能售完，當(dāng)票價(jià)超過10元時(shí)，每

升高2元，就會(huì)少賣出5張票。那么當(dāng)總的售票收入為1360元時(shí)，票價(jià)為多少？（）

A12元B14元C16元D18元

例5:一張舊發(fā)票上寫有72瓶飲料，總價(jià)為x67.9y元，由于兩頭的數(shù)字模糊不清，分別用x

y表示，每瓶飲料的單價(jià)也看不清了，那么行。

A1B2C3D4

例6已知甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有1%是專業(yè)書，乙的書有125%是專

業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書？

A75B87C174D67

例7:一個(gè)袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占1/4后來又往袋子里放了10個(gè)紅球,

這時(shí)紅球占總數(shù)的2/3,問原來袋子里共有多少個(gè)球？（）

A8E6C4D2

例&一塊金與銀的合金重250克，放在水中減輕16克?，F(xiàn)知金在水中重量減輕1/19,銀

在水中重量減輕1/10,則這塊合金中金、銀各占的克數(shù)為

A100克，150克E150克，100克C170克，80克D190克，60克

例9植物園中，菊花與月季花的盆數(shù)比是31:5,蘭花與梅花的盆數(shù)比為40:9,月季花

與梅花的盆數(shù)之比為25:3,已知植物園中共有200盆蘭花，菊花總盆數(shù)為（）。

A2300B2320C2323D2325

知識點(diǎn)二同余特性

①余數(shù)的和能決定和的余數(shù)

②余數(shù)的積能決定積的余數(shù)

③余數(shù)的幕能決定得的余數(shù)

例1：數(shù)學(xué)競賽團(tuán)體獎(jiǎng)品是10000本數(shù)學(xué)課外讀物。獎(jiǎng)品發(fā)給前五名代表隊(duì)所在的學(xué)校。名

次在前的代表隊(duì)獲獎(jiǎng)的本數(shù)多，且每一名次的獎(jiǎng)品本數(shù)都是100的整數(shù)倍。如果第一名所得

的本數(shù)是第二名與第三名所得的本數(shù)之和，第二名所得的本數(shù)是第四名與第五名所得本數(shù)之

和，那么，第三名最多可以獲得多少本？（）

A1600E1800C1700D2100

例2有一食品店某天購進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為&Q16.2Q

2227公斤。該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)

天食品店購進(jìn)了（）公斤面包。

A44B45C50D52

例3:三位采購員定期去某商店，小王每隔8天去一次，大劉每隔10天去一次，老楊每隔

16天去一次，三熱年星期二第一次在商店相會(huì)，下次相會(huì)是星期幾？

A星期一B星期三C星期五D星期日

例4:2008年H月18日是星期二，再過200goM天后是星期幾？

A星期一B星期二C星期三D星期五

例5:某次數(shù)學(xué)競賽共有10道選擇題，評分辦法是答對一道得4分，答錯(cuò)一道扣1分，不

答得0分。設(shè)這次競賽最多有明中可能的成績，則N應(yīng)等于多少？

A45E47C49D51

例6:某單位以箱為單位向困難職工分發(fā)救濟(jì)品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人

分5箱，則余下148箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，則余下20箱。由

此推知該單位共有困難職工（）o

A61人B54人C56人D48人

例7:有紅、黃、白三種球共160to如果取出紅球的1/3,黃球的1A白球的1Z5,則還

剩120個(gè)；如果取出紅球的S,黃球的1/4白球的則剩116個(gè)，問原有黃球幾個(gè)？

A48B40C60D20

知識點(diǎn)三剩余定理

例1：有物不知其數(shù)，三個(gè)一數(shù)余二，五個(gè)一數(shù)余三，七個(gè)一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何？

例2有一個(gè)三位數(shù)能被7整除，這個(gè)數(shù)除以2余1除以3余2,除以5余4除以6余5.

這個(gè)數(shù)最小是多少？（）

A105B119C137D359

例3:自然數(shù)PW足下列條件：P除以10的余數(shù)為9,除以9的余數(shù)為&除以8的余數(shù)為

%如果10（X改1000,則這樣的P有幾個(gè)？

A不存在R1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)

例4:在1000以內(nèi)，除以3余2,除以7余3,除以11余4的數(shù)有多少個(gè)？

A5B6C7D4

第二節(jié)數(shù)的拆分

1、約數(shù)與倍數(shù)

例1:把144張卡片平均分成若干盒，每盒在10張到40張之間，則共有（）種不同的分

法。

A4B5C6D7

例290張多米諾骨牌整齊地排成一列，依順序編號1、2.3,……90,第一次拿走所有奇

數(shù)位置上的骨牌，第二次再從剩余骨牌中拿走所有奇數(shù)位置上的骨牌，依此類推，請問最后

剩下的一張骨牌的編號是多少？

A32B64C88D16

2.質(zhì)因數(shù)與質(zhì)因數(shù)分解

例1:將1T＞九個(gè)自然數(shù)分成3組，每組三個(gè)數(shù)，第一組三個(gè)數(shù)之積是4&第二組三個(gè)數(shù)之

積是45,三組數(shù)字之和最大是多少？

例22000X1999X1998X1997X1996…….X3X2X1,問該式子在項(xiàng)乘后有幾個(gè)零。

把若干個(gè)自然數(shù)1、2,?……連乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末53位恰好都是零，

那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？（）

A100B150C300D220

例3:五個(gè)一位正整數(shù)之和為30,其中兩個(gè)數(shù)為1和&而這五個(gè)數(shù)和乘積為2520,則其余

三個(gè)數(shù)為

A6.69B4,69C5,7,9口5,&8

例4:已知ABC三個(gè)自然數(shù)，其和為22,其積是B的55倍，且上BeG則B的值是

A5B7C6D11

例5:張大伯賣白菜，開始定價(jià)是每千克5角錢，一點(diǎn)都賣不出去，后來每千克降低了幾分

錢，全部白菜很快賣了出去，一共收入2226元，則每千克降低了幾分錢？

A3B4C6D8

例6四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是1680,則這四個(gè)數(shù)的和是多少？

例7:將1T）九個(gè)自然數(shù)分成三組，每組三個(gè)數(shù)，第一組三個(gè)數(shù)之積是48,第二組三個(gè)數(shù)之

積是45,三組數(shù)字中數(shù)字之和最大是多少？

A15E17C18D20

3.最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)

例1:甲每5天進(jìn)城一次，乙每9天進(jìn)城一次，丙每12天進(jìn)城一次，某天三人在城里相遇,

那么下次相遇至少要（）。

A60天B180天

C540天D1620天

例2兩個(gè)三位數(shù)的最大公約數(shù)為29,他們的最小公倍數(shù)是4959,那么這兩個(gè)三位數(shù)的差

是多少？

4約數(shù)的個(gè)數(shù)

例1：學(xué)校準(zhǔn)備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個(gè)長方形，有多少種不同的拼法？

A52B36C28D12

例21440的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為L

例3:將450拆分成若干連續(xù)自然數(shù)的和，共有幾種拆法？

例4一間教室，共有100盞燈。有一個(gè)人，先將這一百盞滅著的燈貼上序號，從1貼到100,

第一輪，他按下所有貼有1的倍數(shù)序號燈的開關(guān)，第二輪，他又按下了所有貼有2的倍數(shù)序

號燈的開關(guān)，……，經(jīng)過一百輪后，請問，教室里總共亮著多少盞燈。

A5B10C15D20

第三節(jié)數(shù)的奇偶

奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)，這里要注意零也是整數(shù)。

性質(zhì)1：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)

性質(zhì)2偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

性質(zhì)3:奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)

性質(zhì)4奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)

性質(zhì)5:偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

性質(zhì)6奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

例1:10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為85,在這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)

字之和為多少？

例2書店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年卡，小華花了幾張一元錢，正好

買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年卡花去多少錢？

例3:同時(shí)仍出AB兩顆色子（其上面的數(shù)都為LZ3,45,⑥，問兩顆色子出現(xiàn)的數(shù)

字的積為偶數(shù)的情形有幾種？

例4:某次測驗(yàn)有道50判斷題，每做對一題得3分，不做或做錯(cuò)一題倒扣1分，某學(xué)生共

得82分，問答對題數(shù)和答錯(cuò)題數(shù)包括不做）相差多少？0

A33E39G17D16

例5:某年級有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總

人數(shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個(gè)班共有多少人?

A177B176C266D265

第四節(jié)算式等式

例1:口、△、。分別代表三個(gè)數(shù)字，如果口然工），則下列哪一個(gè)結(jié)論不正確？

A口2PB△<]OCAO/OD口=0松

例2一個(gè)兩位數(shù)除以一個(gè)一位數(shù)，商仍是兩位數(shù)，余數(shù)是&問：被除數(shù)、除數(shù)、商以及

余數(shù)之和是多少？

A98E107C114D125

例3:減數(shù)、被減數(shù)與差三者之和除以被減數(shù)，商是多少（）。

A0E1C2D減數(shù)與差之和

例4兩個(gè)整數(shù)相除，商是5,余數(shù)是11,被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是99,求被除數(shù)是

多少？

A120B41C67D71

例5:兩個(gè)數(shù)的差是2345,兩數(shù)相除的商是&求這兩個(gè)數(shù)之和。

A2353B2896C3015D3456

例6:甲、乙兩數(shù)之和加上甲數(shù)是220,加上乙數(shù)是17Q甲、乙兩數(shù)之和是多少（）。

A50B130C210D390

例7：小張?jiān)谧鲆坏莱}時(shí)，誤將除數(shù)45看成54,結(jié)果得到的商是3,余數(shù)是％問正確

的商和余數(shù)之和是：

A11B18C26D37

例&一個(gè)人到書店購買了一本書和一本雜志，在付錢時(shí)，他把書的定價(jià)中的個(gè)位上的數(shù)字

和十位上的看反了，準(zhǔn)備付21元取貨。售貨員說：“您應(yīng)該付39元才對。”請問書比雜志貴

多少錢？

A20B21

C23D24

例9有四個(gè)自然數(shù)ABGQ它們的和不超過400,并且A除以B商是5余5,A除以C

商是6余6A除以D商是7余%那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是：（）

A216B108C314D348

例1Q一個(gè)三位數(shù)除以43,商是a,余數(shù)是b,則"的最大值是（）。

A957B64C56D33

第五節(jié)排列組合

D題型概述

這節(jié)課，我們來學(xué)習(xí)公務(wù)員考試中一個(gè)比較特殊的知識排列組合，說它特殊，

是因?yàn)樗难芯繉ο螵?dú)特，研究問題的方法和我們以前學(xué)習(xí)的不同，知識系統(tǒng)也相對獨(dú)立！

而且還是我們以后學(xué)習(xí)簡單概率問題的一個(gè)基礎(chǔ)。并且從最近幾年的公務(wù)員考試形勢來看，

這部分考題的難度有逐年上升的趨勢！而且，題型也越來越靈活！

所以，我們就從最基本的問題開始，相對系統(tǒng)的來說下這部分的內(nèi)容！

【復(fù)習(xí)基本原理】

首先，我們先來一個(gè)例題。

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4個(gè)

班次，汽車有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共

有多少種不同的走法？

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m種不同的方法，

在第二類辦法中有m種不同的方法，……，在第n類辦法中有m種不同的方法，那么完成

這件事共有：

種不同方法。

再看下面一道例題：

問題2由A村去引寸的道路有3條，由B村去用的道路有2條.從州寸經(jīng)B村去C

村，共有多少種不同的走法？

乘法原理：做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，在第一個(gè)步驟中有m種不同的方法，

在第二個(gè)步驟中有m種不同的方法，……，在第n個(gè)步驟中有m種不同的方法，那么完成

這件事共有：

bHnXmx???xm

種不同的方法。

【區(qū)別】：運(yùn)用加法原理的前提條件是，做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何

一種方法都可以完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的；運(yùn)用乘法原理的

前提條件是，做一件事有n個(gè)驟，只要在每個(gè)步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就

能完成此事，就是說，完成這件事的各個(gè)步驟是相互依存的。

簡單的說，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題，每次得到的是最后結(jié)果，

要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問題，每次得到的該步結(jié)果，就要用

乘法原理。

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

D從中任取一本，有多少種不同的取法？

2從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？

例2由數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許

重復(fù)）？

【基本概念】

【排列】

從n個(gè)不同元素中，任取min<n）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）枝照、二定的順

序排成一?列，叫做從n個(gè)不同八;素中取Hlm個(gè)元素的一個(gè)磔砌

1.什么叫不同的排列？

2.什么叫相同的排列？

【排列數(shù)】

從n個(gè)不同元素中，任取m初4〃）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m

元素的排列數(shù)，用符號表示.其中p：=n（n-D（n-4…（cnH）

例題：由數(shù)字1、23.4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

【組合】

從n個(gè)不同元素種取出m（m<n）個(gè)元素拼成一組，稱為從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元

素的一個(gè)組合

【組合數(shù)】

從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m

元素的組合數(shù)，用符號表示.其中C："=n(n-1)(n-2)???(n-mFl)/rl

【經(jīng)典例題】

L某鐵路線上有25個(gè)車站，那么應(yīng)該為這條路線準(zhǔn)備多少種不同的車票原價(jià)?

2.判斷下列各命題是排列問題還是組合問題：

(1)從五種不同的水稻良種中，選出3種：

①分別種在土質(zhì)一樣的三塊田里作試驗(yàn)，有多少種方法？是問題.

②分別種在土質(zhì)不同的三塊田里作試驗(yàn)，有多少種方法？是問題.

②從50件不同的產(chǎn)品中抽出5件來檢查，有多少種不同的抽法？是問題.

6)五個(gè)人中互送照片一張，共送了多少張照片？是問題.

⑷平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)：

①過其中任意兩點(diǎn)作直線，一共可以作多少條直線？是問題.

②以其中一點(diǎn)為端點(diǎn)，并過另一點(diǎn)的射線有多少條？是問題.

⑥①從5本不同的書中選出2本借給某人，有多少種不同的借法？是一問題.

②若從5本不同的書中選出2本分別借給甲、乙兩人，又有多少種不同的借法？

是問題.

(7)6個(gè)人站成一排，有多少種不同的排列方法？是_______問題

練習(xí)：

1.從7名同學(xué)中選3人去完成3種不同的工作，每人完成一種,有多少種不同的選派方法?

2.從7名同學(xué)中選3人去某地參加一個(gè)會(huì)議........................()

3.從6名同學(xué)中選4人，參加4<100m接力賽，有多少種不同的參賽方案……()

【附加知識點(diǎn)】

D組合數(shù)性質(zhì)：

_?-?n=m

J〃一

%二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識：

(a+b)11=C>n+C：a，+…+C：bn

基本思維方法

一、排隊(duì)模型

6個(gè)人站成一排，有多少種排法？

1、優(yōu)先法

甲不站在兩端，有多少種排法？〃堆先法〃

2分類法

甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排列方法？

人捆綁法

甲乙必須相鄰，有多少種排法？少姻綁〃

4插空法

甲乙必須分開，有多少種排法？/備相空〃

'對稱法

甲必須在乙的左邊，有多少種不同的排列方法？

（插入08國家插入新節(jié)目問題）”雌一〃

二、插板法

例：10臺(tái)電腦分給3所學(xué)校，每所學(xué)校至少分一湎臺(tái)，有多少種分法？

三、平均分堆問題

D.平均分堆到指定位置

例題1：將8個(gè)蘋果平均分給4個(gè)小朋友，問有多少種不同的分配方法？

2）.平均分堆不到指定位置

例題1:將8個(gè)蘋果平均分成4堆有多少種分法？

練習(xí)

1.某單位有3名職工和6名實(shí)習(xí)生需要被分派到ARC三個(gè)地區(qū)進(jìn)行鍛煉，每個(gè)地區(qū)分配

1名職工和2名實(shí)習(xí)生，則不同的分派方案有多少種？

A90B180C270D540

四、特殊排列組合問題

D錯(cuò)位重排問題

例題：4只小鳥飛入4個(gè)不同的籠子里去，每只小鳥都有自己的一個(gè)籠子（不同的鳥，籠子

也不同），每個(gè)籠子只能飛進(jìn)一只鳥。若都不飛進(jìn)自己的籠子里去，有（）種不同的飛

法

A16E15C12D9

0傳球問題

3隨堂練習(xí)

L由數(shù)字L2.3,45,6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

2.在一場象棋循環(huán)賽中，每位棋手必須和其他棋手對奕一局，且同一對棋手只奕一次。這

次比賽共弈了36局棋，問棋手共有幾位？

A6B7C8D9

3.4只小鳥飛入4個(gè)不同的籠子里去，每只小鳥都有自己的一個(gè)籠子（不同的鳥，籠子也

不同），每個(gè)籠子只能飛進(jìn)一只鳥。若都不飛進(jìn)自己的籠子里去，有（）種不同的飛法

A16B15C12D9

4.有10粒糖，如果每天至少吃一粒，吃完為止。求有多少種不同的吃法？

A488B512C218D256

5.某單位今年新進(jìn)了3個(gè)工作人員，可以分配到3個(gè)部門，但每個(gè)部門至多只能接收2個(gè)

人，問：共有幾種不同的分配方案？

A12種B16種C24種D以上都不對

6.恰有兩為數(shù)字相同的三位數(shù)共有（）個(gè)

A458B327C243D90

7.一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對順序不變，再添進(jìn)去2個(gè)新節(jié)

目，有多少種安排方法？

A20B12C6D4

第二章常用方法

第一節(jié)遞推法

1）建立遞推思維

例1.一種揮發(fā)性藥水，原來有一整瓶，第二天揮發(fā)后變?yōu)樵瓉淼?/2;第三天變?yōu)榈诙?/p>

的2/3；第四天變?yōu)榈谌斓腣4請問第幾天時(shí)藥水還剩下/30瓶？（）

A5天B12天C30天D100天

例2某公共汽車從起點(diǎn)站開往終點(diǎn)站，途中共有13個(gè)停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站

開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的第一站。

為了使每位乘客都有座位，那么，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個(gè)座位？（）

A48B52C56D54

例區(qū)有兩個(gè)容器，第一個(gè)容器中有1升水，第二個(gè)容器是空的。將第一個(gè)容器中的水的4

倒入第二個(gè)容器中，然后將第二個(gè)容器里的水的心倒回第一個(gè)容器中，然后再將第一個(gè)容

器里的水的3倒入第二個(gè)容器中，……如此進(jìn)行下去，倒了1993次后，第一個(gè)容器里有

多少水？

例4有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)，第一個(gè)到會(huì)的女生同每個(gè)男生握過手，第二個(gè)到會(huì)的女生

只差1個(gè)男生沒握過手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差2個(gè)男生沒握過手，如此等等，最后一個(gè)到

會(huì)的女生和7個(gè)男生握過手，那么這50名學(xué)生中有幾名男生？

例5.若干個(gè)同樣的盒子排成一排，小明把五十多個(gè)同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一只

盒子沒有裝棋子，然后他外出了，小光從每個(gè)有棋子的盒子里各拿了一個(gè)棋子放在空盒

內(nèi)，再把盒子重新排了一下。小明回來后仔細(xì)查看了一下，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過這些盒子

和棋子。問共有多少個(gè)盒子。

A20B5C9D11

例6.一個(gè)整數(shù)除以2余L用所得的商除以5余4,再用所得的商除以6余L用這個(gè)整數(shù)

除以60,余數(shù)是多少？

A19B21C49D29

例7.李明從圖書館借來一批圖書，他先給了甲5本和剩下的1/5,然后給了乙4本和剩下

的1/4又給了丙3本和剩下的1/3,又給了丁2本和剩下的1/2,最后自己還剩2本。

李明共借了多少本書？

A30B40C50D60

0簡單重復(fù)操作問題

例L袋子里有若干個(gè)球，小明每次拿出其中的一半再放回一個(gè)球，一共這樣做了五次，袋

中還有3個(gè)球，問原來袋中有多少個(gè)球？

A18E34C66D158

例2一個(gè)箱子中有若干個(gè)玩具，每次拿出其中的一半再放回去一個(gè)玩具，這樣共拿了5次,

箱子里還有5個(gè)玩具，箱子原有玩具的個(gè)數(shù)為

A76E98C100D120

例3.有一堆棋子（棋子數(shù)大于1）,把它們四等分后剩一枚，拿去三份零一枚，將剩下的棋

子再四等分后還是剩一枚，再拿去三份零一枚，將剩下的棋子四等分還是剩一枚。問原來至

少多少枚棋子？

A23B37C65D85

例4從裝有100克濃度為10%的鹽水瓶中倒出10克鹽水后，再向瓶中倒入10克清水，這

樣算一次操作，照這樣進(jìn)行下去，第三次操作完成后，瓶中鹽水的濃度為：

A7%B7.12%C7.22%D7.29%

例5.從裝滿100克濃度為80%的鹽水杯中倒出40克鹽水再倒入清水將杯倒?jié)M，這樣反復(fù)三

次后，杯中鹽水的濃度是：

A17.28%B28.洸C11.52%D4眺

3分組分堆問題

例1.有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟

挑的太多。就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5

塊，這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？

A18B16C14D12

例2三筐蘋果共重120斤，如果從第一筐中取出15斤放人第二筐，從第二筐中取出8斤放

人第三筐，從第三筐中取出2斤放入第一筐，這時(shí)三筐蘋果的重量相等，問原來第二筐中有

蘋果多少斤？

A33斤B34斤C40斤D53斤

例3.食堂買來一批面粉，第一天吃這些面粉總量的1/10,第二天吃了余下面粉總量的1/9,

以后7天，每天吃去當(dāng)天面粉總量的1/區(qū)以……,1^,1/2最后，第十天吃了

4袋，正好吃完。這批面粉原來共有多少袋？

例4.父親把所有財(cái)物平均分成若干份后全部分給兒子們，其規(guī)則是長子拿一份財(cái)物和剩下

的十分之一，次子拿兩份財(cái)物和剩下的十分之一，三兒子拿三份財(cái)物和剩下的十分之一，以

此類推，結(jié)果所有兒子拿到的財(cái)物都一樣多，請問父親一共有幾個(gè)兒子？（）

A6E8C9D10

例5.甲、乙、丙三堆棋子共98粒。小文先從甲堆里分棋子給乙、丙兩堆，使乙、丙兩堆

棋子數(shù)各增加一倍；再把乙堆的棋子照上面那樣分配給甲、丙兩堆；最后又把丙堆的棋子仍

4

照上面那樣分配給甲、乙兩堆。結(jié)果甲堆的棋子是丙堆旗子的乙堆棋子是丙堆棋子的

22

—o原來丙堆有多少粒棋子？（）A6B16C30D32

第二節(jié)數(shù)學(xué)歸納法

1.在一張正方形的紙片上，有900個(gè)點(diǎn)，加上正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，共有904個(gè)點(diǎn)。這些

點(diǎn)中任意3個(gè)點(diǎn)不共線，將這紙剪成三角形，每個(gè)三角形的三個(gè)點(diǎn)是這904個(gè)點(diǎn)中的點(diǎn)，每

個(gè)三角形都不含這些點(diǎn)?？梢约舳嗌賯€(gè)三角形？

2.用1條直徑和1條弦最多可以把圓分成4份（不一定相等），用2條直徑與1條弦最多可

以把圓分成7份……問：用20條直徑與1條弦最多可以把圓分成多少份？

3.有一樓梯共10級，如規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要登上第10級，共有多少種不同

走法？

A89E55C34D78

4小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級或三級臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有

16級臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

A54B64C57D37

5.53+63+73+…+2（）3=?

6.一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有10把鑰匙和10把鎖，最多要試驗(yàn)多少次就能配好全部的

鑰匙和鎖？

A45B55C36D54

7.ARGDE這5個(gè)小組開展撲克牌比賽，每兩個(gè)小組之間都要比賽一場，到現(xiàn)在為止，

捶且已經(jīng)比賽了4場,B組已經(jīng)比賽了3場，C組已經(jīng)比賽了2場，建且已經(jīng)比賽1場。問E

組比了幾場？

A0B1C2D3

&有1993個(gè)人和1993斤面粉。第1個(gè)人拿走了全部面粉的口第2個(gè)人拿走了余下面粉

的第3個(gè)人拿走了再余下的口……第1992個(gè)人拿走了前面拿走后剩下面粉的

1/4993,最后剩下的都被第1993個(gè)人拿走了。那么第1993個(gè)人拿走了多少斤面粉？

第三節(jié)尾數(shù)法

1）四則運(yùn)算末位數(shù)字尾數(shù)法的應(yīng)用

1.1!+246!-M!+5!+?-100Q尾數(shù)是幾？

2.1+2毋訃??…書1=2005003,則自然數(shù)IK

A2000B2001

C2002D2003

2）嘉的尾數(shù)

:0fl

3.產(chǎn)7轉(zhuǎn)。。7+52°"+7-40°,的值的個(gè)位數(shù)是：

A5R6C8D9

3）尾數(shù)法的擴(kuò)展應(yīng)用

4&8&88&8888??…，如果把前88個(gè)數(shù)相加，那么它們的和的末三位數(shù)是多少？

4）奇偶性的應(yīng)用

5.若&y,z是三個(gè)連續(xù)的負(fù)整數(shù)，并且心丫力則下列表達(dá)式中正奇數(shù)的是:

Ayz—xB&-2Cx—yzDxfy+^）

第四節(jié)特值法

1.如果%,見，…,48為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差標(biāo)°，則有，…

Aaias')a4a5B(a4a5Catas)a4a5Daq=a4a

2.如圖所示，矩形ABCD的面積為1,ERGH分別為四條邊的中點(diǎn)，I是FE上任一動(dòng)

點(diǎn)，問陰影部分的面積為多少？

3.如下圖，將凸四邊形A0O資各邊都延長一倍至A、8、C、

D，連接這些點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形ABCD，若四邊形A

BCD的面積為30平方厘米，那么四邊形ABO洶面積是多少?

4.兩人合養(yǎng)一群羊，共NN。到一定時(shí)間后，全部賣出，平均每只羊恰好賣了N元。兩人

商定平分這些錢。由甲先拿10元錢，再由乙拿10元錢，甲再拿10元，乙再拿10元，……

最后，甲拿過之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么，甲應(yīng)該給乙多少元？（）。

A8B2C4D6

第五節(jié)列表法

1.幼兒園里五個(gè)小朋友ARCD和E聚在一起玩一種叫“三人玩”的游戲，其規(guī)則如

下：游戲的每一圈只能三個(gè)人玩；每個(gè)人都必須玩三圈；沒有人可以連續(xù)兩圈不玩；沒有人

可以連續(xù)玩三圈?，F(xiàn)在，如果AB和D玩第一圈，BE玩第三圈，那么哪個(gè)小朋友不

可能玩第四圈，而只能玩第五圈？

AABCCDDE

2.爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí)，妹妹是9歲;

當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí)，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？

A34B39C40D42

3.5年前甲的年齡是乙的三倍，10年前甲的年齡是丙的一半，若用y表示丙當(dāng)前的年齡，

下列哪一項(xiàng)能表示乙的當(dāng)前年齡？

y5yy-10

A-+5B—+10C--------D5

633

第六節(jié)代入法與排除法

1.一個(gè)三位數(shù)，各位上的數(shù)的和是15,百位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的差是5,如顛倒百位與

個(gè)位上的數(shù)的位置，則所成的新數(shù)比原數(shù)的3倍少3%求這個(gè)三位數(shù)（）。

A196B348C267D429

2.1999年，一個(gè)青年說“今年我的生日已經(jīng)過了，我現(xiàn)在的年齡正好是我出生年份的四個(gè)

數(shù)字之和”，這個(gè)青年是哪年生的？

A1975B1976C1977D1978

2.有10個(gè)連續(xù)奇數(shù)，第1個(gè)數(shù)等于第10個(gè)數(shù)的VH,求第1個(gè)數(shù)？

A5B11C13D15

3.裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒裝11個(gè)，小盒每盒裝8個(gè)，要把89個(gè)產(chǎn)品

裝入盒內(nèi)，要求每個(gè)盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個(gè)？

A3.7R46C5.4D63

4.某鞋業(yè)公司的旅游鞋加工車間要完成一出口訂單，如果每天加工50雙，要比原計(jì)劃晚3

天完成，如果每天加工60雙，則要比原計(jì)劃提前2天完成，這一訂單共需要加工多少雙旅

游鞋？

A1200雙B1300雙C1400雙D1500雙

5.已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們都小于2002,其中最小的自然數(shù)能被13整除，中間的一個(gè)

自然數(shù)能被15整除,。最大的一個(gè)自然數(shù)能夠被17整除。那么最小的一個(gè)自然數(shù)是（）

A1664B1524C1734D1756

6.小明家的電話號碼是7位數(shù)。將前四位數(shù)組成的數(shù)與后三位數(shù)組成的數(shù)相加得9534,將

前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2523b那么小明家的電話號碼是？

A6939189B7531770C8901633D9332202

7、某汽車銷售商銷售AB兩種汽車，A種汽車的售價(jià)20萬元每輛，B種汽車的售價(jià)是5

萬元每輛,上季度A種汽車銷售金額的一半和B種汽車銷售金額的小合計(jì)5000萬元，R種

汽車銷售金額的一半和喇汽車銷售金額的小合計(jì)3500萬元，問該汽車銷售商上季度銷

售抽丫汽車、B種汽車各多少輛？

A500100B400200C300360D480120

&1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙

二人2000年的年齡分別是多少歲？

A34歲，12歲E32歲，8歲C36歲，12歲D34歲，10歲

女某次考試中，小林的準(zhǔn)考證號碼是三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字是百位

數(shù)字的4倍，三個(gè)數(shù)字的和是13,則準(zhǔn)考證號碼是：

A.148B.418C.841D.814

10.一本100多頁的書，被人撕掉了4張，剩下的頁碼總和為8037,則該書最多有多少頁？

A134B136

C138D140

第七節(jié)十字交叉法

十字交叉法主要用于解決加權(quán)平均值的問題，也就是兩個(gè)部分的“平均值”混合形成一個(gè)新

的平均值的問題，這里的“平均值”可以是濃度、平均分、產(chǎn)量、價(jià)格、利潤等等。

一、方法精析

?基本要點(diǎn)：

找出各個(gè)部分和總體的“平均值"，各個(gè)“平均值”間的數(shù)量比

?解題步驟：

L找出各部分的“平均值”及總體的“平均值”

2平均值間交叉作差，寫出部分對應(yīng)量或?qū)?yīng)量的比，得到十字豎式

3.利用比例關(guān)系解答

如：部分1（量圓、部分2（量B混合，量A的平均值為a,量B的平均值為h混合后的

平均值為r（平均值可以為濃度，價(jià)格，成績等等，心的，利用十字交叉法有：

平均值交叉作差后對應(yīng)量

第一部分aI）A

\/

總體平均值r

/\

第二部份ba-rB

r-b_A

得到等式：a~r］（部分的平均值對總體的平均值交叉作差后得到的比與對應(yīng)量的比相

等）。

二、它的實(shí)質(zhì)：

是某溶液相對于混合后溶液，溶質(zhì)的增加；是某溶液相對于混合后溶液，溶質(zhì)的減少；由于

溶質(zhì)不變，這2個(gè)肯定是相等的.

例如：一個(gè)50%的溶液x克和一個(gè)30%的溶液'克混合成36%的溶液（x+丁）克,

問x：y=?

506x

366:14=x:y,得出6y=14x

3014y

其中6相當(dāng)于溶質(zhì)的增加濃度，14相當(dāng)于溶液的減少濃度，6y就是增加的溶質(zhì)，14x

就是減少的溶質(zhì)..

三、具體問題：

一、平均數(shù)問題

1.某車間進(jìn)行季度考核，整個(gè)車間平均分是85分，其中2/3的人得80分以上含80分），

他們的平均分是90分，則低于80分的人的平均分是多少？

A68B70C75D78

2.小明前三次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均分?jǐn)?shù)是88分，要想平均分?jǐn)?shù)達(dá)到90分以上，他第四次測驗(yàn)

至少要多少分？

A98分B96分C94分D92分

3.某班男生比女生人數(shù)多80%一次考試后，全班平均成績?yōu)?5分，而女生的平均分比男

生的平均分高20%則此班女生的平均分是：

A84分E85分C86分D87分

4在一次法律知識競賽中，甲機(jī)關(guān)20人參加，平均80分，乙機(jī)關(guān)30人參加，平均70分,

問兩個(gè)機(jī)關(guān)參加競賽的人總平均分是多少？

A76B75C74D73

二、濃度問題

1.有濃度為甥勺鹽水若干克，蒸發(fā)了一些水分后濃度變成再加入300克4%勺鹽水后,

濃度變?yōu)?變的鹽水，問最初的鹽水多少克？

A200克B300克C400克D500克

推廣到3個(gè)的情況：

2.把濃度為2叱3燃口5穌勺溶液混合在一起，得到濃度為36%勺溶液50升。已知濃度為

3呢勺溶液用量是濃度為2期勺溶液用量的2倍，濃度為勺溶液用量是多少升？

A18R8G10D20

解析：設(shè)5仍的溶液有了,2如勺溶液有）

5%16%X

3%36%6%2y

2叱1物丁

根據(jù)十字交叉法的實(shí)質(zhì)：16%<>抬%<2y=14%<x

x+2y+y=50

解出：x=20,y=l°

三、雞兔同籠

1.某零件加工廠按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工資，工人每做出一個(gè)合格零

件能得到工資10元，每做一個(gè)不合格零件將被扣除5元，已知某人一天共做了12個(gè)零件，

得工資90元，那么他在這一天做了多少個(gè)不合格零件？

A2B3C4D6

2足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分；平一場得1分；負(fù)一場得0分。一個(gè)隊(duì)打了14

場，負(fù)5場，共得19分，那么這個(gè)隊(duì)勝了幾場？

A3B4C5D6

3.為節(jié)約用水，某市決定用水收費(fèi)實(shí)行超額超收，標(biāo)準(zhǔn)用水量以內(nèi)每噸2.5元，超過標(biāo)準(zhǔn)

的部分加倍收費(fèi)。某用戶某月用水15噸，交水費(fèi)625元，若該用戶下個(gè)月用水12噸，則

應(yīng)交水費(fèi)多少錢？

A425元B47.5元C50元D55元

四、平均速度

1.小王登山，上山的速度是每小時(shí)4kn）到達(dá)山頂后返回，速度為每小時(shí)6附設(shè)山路長為

9kn）小王的平均速度為（）kn）4i

A4.8B5

C4.4D4.6

五、工程問題

1.甲、乙合做一項(xiàng)工程,24天完成。如果甲隊(duì)做6天，乙隊(duì)做4天，只能完成工程的

兩隊(duì)單獨(dú)做完成任務(wù)各需要多少天?

2.某工程由小張、小王兩人合作剛好可在規(guī)定的時(shí)■間內(nèi)完成。如果小張的工作效率提高

20%,那么兩人只需用規(guī)定時(shí)間的力0就可完成工程；如果小王的工作效率降低25%,那

么兩人就需延遲2.5小時(shí)完成工程。問規(guī)定的時(shí)間是：

A20小時(shí)B24小時(shí)C26小時(shí)D30小時(shí)

六、比例變化

1.某高校2006年度畢業(yè)學(xué)生7650名，比上年度增長2%其中本科生畢業(yè)數(shù)量比上年度減

少2%而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A3920人B4410C4900人D5490人

1.解析：2005年畢業(yè)生人數(shù)為76581.02=7500人，2005年本科生和研究生比例可以用十

字交叉法得到。

2005年本科生：-210-2=8

2

2005年研究生：IO//2-(-3M

8^2

所以，2005年該校畢業(yè)的本科生和研究生的比例為Zi,所以，這所高校今年畢業(yè)的本

2

科生有7500X1+2x(1—劫=4900人。

七、利潤利率

1.一批商品，按期望獲得5跳勺利潤來定價(jià)，結(jié)果只銷掉7崛商品，為了盡快把剩下的商

品全部賣出，商店決定按定價(jià)打折扣出售，這樣所獲得的全部利潤是原來期望利潤的82%

則打了多少折出售？

A八折B八五折C九折D九五折

【答案】A

【解析】混合利潤問題采用十字交叉法，在這里“平均值”就是利潤，計(jì)算出全部利潤為：

5(%<82^41%找出已知的平均值和對應(yīng)量，寫成下圖：

獲得5仍利潤的部分：50%(21%7