分類計數(shù)原理與分布計數(shù)原理

關(guān)于分類計數(shù)原理與分布計數(shù)原理第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日問題一：

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？1.1分類計數(shù)原理與分步計算原理第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日1.1分類計數(shù)原理與分步計算原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日對于分類計數(shù)原理，注意以下幾點.（1）從分類計數(shù)原理中可以看出，各類之間相互獨立，都能完成這件事，且各類方法數(shù)相加，所以分類計數(shù)原理又稱加法原理；（2）分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；（3）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的方法.1.1分類計數(shù)原理與分步計算原理第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日問題二：

從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？1.1分類計數(shù)原理與分步計算原理第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日分步計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.1.1分類計數(shù)原理與分步計算原理第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日對于分步計數(shù)原理，應(yīng)注意以下幾點.

（1）分步計數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟完成了，這件事才算完成；分步計數(shù)原理又叫乘法原理。（2）分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn)；（3）分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只需連續(xù)完成n個步驟后這件事才算完成.1.1分類計數(shù)原理與分步計算原理第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日從實際問題中如何判斷該用哪個定理？例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．

1）從中任取一本，有多少種不同的取法？

2）從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少不同的取法？

第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日自主思考：題號完成一件什么事？完成這件事可分幾類？每類方案中分別有幾種不同的方法？完成這件事共有多少種不同的方法？完成表格，歸納結(jié)論表一：書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．

1）從中任取一本，有多少種不同的取法？第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日自主思考：題號完成一件什么事？完成這件事可分幾步？每步中分別有幾種不同的方法？完成這件事共有多少種不同的方法？完成表格，歸納結(jié)論表二：書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．2）從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例題講解例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．

1）從中任取一本，有多少種不同的取法？

解：（1）從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取一本，有6種方法第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法．根據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是

6十5=11．

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法．第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日例題講解例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．

2）從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？

解（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法．根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是

N＝6X5＝30．

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有30種不同的方法第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日分步乘法

分類加法共同點區(qū)別一完成一件事情共有n類方案。完成一件事情,共分n個步驟。區(qū)別二每類中的任一種方法都能獨立完成這件事情。每步要而且只要拿出一種方法就可以完成一件事情。都是要解決完成一件事情的方法種數(shù)的問題。分類加法與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日［例2］電視臺在“歡樂大本營”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多種不同的結(jié)果？

怎樣聯(lián)合兩個定理解決問題？第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日解：分兩大類：（1）幸運之星在甲箱中抽，先定幸運之星，再在兩箱中各定一名幸運伙伴有：30×29×20=17400種結(jié)果；（2）幸運之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400種結(jié)果，因此共有不同結(jié)果17400+11400=28800種大家在綜合運用兩個原理時，既要會合理分類，又能合理分步，一般情形是先分類后分步.怎樣聯(lián)合兩個定理解決問題？第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日自主思考(1)由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個數(shù)字，共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這仍有5種選法，第三步確定個位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個數(shù)是

N=5X5X5=125．

答：可以組成125個三位數(shù)．第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日

練習(xí)：

(1)由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

(2)由數(shù)字0，l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日

（3）:如圖,要給下面A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上5種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？N=5×4×3×4=240ＡＢＣＤ注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法數(shù)第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日4張卡片的正、反面分別有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成多少個不同的三位數(shù)？解：分三個步驟：第一步：首位可放8－1=7個數(shù)；第二步：十位可放6個數(shù)；第三步：個位可放4個數(shù).根據(jù)分步計數(shù)原理，可以組成N=7×6×4=168個數(shù).hezuotanjiu第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日四個人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，共有多少種不同的方法？

我們可排出所有的分配方案：

（1）甲取得乙卡，然后類推，按甲、乙、丙、丁各取得的賀卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案為：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案為：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分類計數(shù)原理，共有3+3+3=9種.

另外，此題也可分步解決：第一步：甲取一張，有3種取法；第二步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余兩人中任一人取，有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法.由分步計數(shù)原理得不同取法有3×3×1×1=9種.第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日知識方法思想分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理歸納與類比分類法、分步法特殊到一般化歸轉(zhuǎn)化小結(jié)升華

第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日感悟

計數(shù)原理入門徑，

何時相加何時乘？

分類相加無重漏，

分步相乘步驟整.第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日

要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時用加法，

分步時用乘法，其次要注意怎樣分類和分步，以后會進一步學(xué)習(xí)

在計算完成事件的方法種數(shù)時，何時用加法原理？何時用乘法原理？

這兩個原理分別是怎樣敘述的？它們的根本區(qū)別是什么？（口答）一件工作可以用兩種方法完成．有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成．選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？

在讀書活動中，一個學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任選一本，共有多少種不同的選法？

從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通．從甲地到丙地共有多少種不同的走法？一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同

（1）從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？

（2）從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？課堂小結(jié)

第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期日

練習(xí)題：

1。有兩個口袋，分別裝有5個小球和4個小球，所有這些小球的顏色互不相同，（1）從兩口袋中任取一個，有多少種不同的取法。（2）從兩口袋中各取一個，有多少種不同的取法。

2。從3名男生和2名女生中選出優(yōu)秀學(xué)生3人，要求其中至少有1名女生，那么有多少中不同的選法？

3。有大小兩個正方體，在它們的6個表面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6。將兩個正方體擲在桌面上，向上一面的兩個數(shù)的和為偶數(shù)的情形有多少種？

4。三面不同顏色的旗幟，可以升一面、兩面，頁可以三面一起升，那么可以表示多少種不同的信號？5。平面上有10個點，無