數(shù)學(xué)28.2解直角三角形教案

28.2解角角【究標(biāo)．目與求能合運(yùn)用直角三角形的股定理與邊角關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．知與技能直角三角形中的角角關(guān)系關(guān)系關(guān)系解直角三角形，能運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．．情、度價(jià)觀過(guò)解直角三角形的應(yīng)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，激勵(lì)學(xué)生多接觸社會(huì)、解生活并熟悉一些生產(chǎn)和生活中的實(shí)際事物．【究導(dǎo)教宮在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據(jù)是直角三角中各元素之間的一些相等關(guān)系，如下圖：角角關(guān)系：角互余，即A+＝90°邊邊關(guān)系：勾股定理，即

a2b2c

2

；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即解直角三角形能的情況納起來(lái)只有下列兩種情形已兩條(一直角邊和一斜邊兩知條邊和一個(gè)銳一直角邊和一銳角斜和一銳角這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際題的基本方法是：把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)(角三角)是去實(shí)際事物的具體內(nèi)容事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖點(diǎn)、、角)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．借助生活常識(shí)以及課本中一些概如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角義也有助于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)．當(dāng)需要求解的三角形不是直角三形時(shí)當(dāng)高斜形為直角三角形再求解．在解直角三角形的過(guò)程中會(huì)近似計(jì)算沒(méi)有特殊要求外長(zhǎng)四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到′例在△ABC中，，據(jù)下列條件解直角角形．(1)c＝10，，求a，(2)

2

，求，∠A∠B思與巧求直角三角形的方法多種多先求ab以A依據(jù)都是直角三角形中的各元素的關(guān)系求時(shí)了計(jì)簡(jiǎn)確般量選擇正、余弦，盡量使用乘法，盡量用含有已知量的關(guān)系式，盡量避免使用中間數(shù)據(jù)．解∠A＝90°-45°(2)

22246

66

所以

A30例如，CD是斜的高，

2

，

22

,，，∠B(精到1′)思與巧在Rt△ABC，僅已知一條角邊BC長(zhǎng)，不能直接求解．注意到BC和在一個(gè)Rt△，因可先解這個(gè)直角三角形．

解在eq\o\ac(△,Rt)BCD用計(jì)算器求得∠B＝54°44于是∠＝90°-∠B＝35°16在eq\o\ac(△,Rt)ABC，例氣測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在某港口正東方向400km，正在向正西北方向轉(zhuǎn)移，距臺(tái)風(fēng)中心的內(nèi)將受影響，問(wèn)港口A否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影思與巧如19—48，是要求出A到移動(dòng)路線BC的距是大300kmRt△ABC中，∠ACB＝90°∠ABC＝45°，AB＝400km，AC可．解在Rt△ABC，由于

所以AC∠ABC＝400×sin45°所以港口A將這次臺(tái)風(fēng)的影．例如幢物的水平距離為56較的建筑物的頂部看較低的建筑物的底部的俯角是，從較低建筑物的頂部看較高建筑物頂部的仰角是，兩幢建筑物的高精確到．1m)思與巧如，AB表幢建物AB⊥BD，CDD＝56．5m根據(jù)俯角、仰角的意義，∠DAE＝42°∠ACF＝22°，eq\o\ac(△,Rt)ABD、Rt△ACF都解．解在，∠ADB＝∠DAE＝42°BD＝56.5(m)AB∠ADB＝56.5×tan42°≈50.9(m)在eq\o\ac(△,Rt)ACF，AF≈22.8(m)所以CD＝28.1(m)答：兩幢建筑物的高度分別為50.9m，28.1m例如水庫(kù)攔水壩的背水坡壩寬2m由原來(lái)的改1已知壩高6m，長(zhǎng)50m：(1)加寬部分橫斷面AFEB的(2)完成這一工程需要多少土?思與巧只求出梯形AFEB下底EB，作AG⊥BC，F(xiàn)H，足為、H，根據(jù)坡度的意義，可以求出坡的水長(zhǎng)．解作AG⊥BC，F(xiàn)H垂足分別為，題意得HG＝AF＝2(m)．AG＝6(m)在eq\o\ac(△,Rt)ABG，因?yàn)樗訠G＝12(m)在eq\o\ac(△,Rt)FEH，因?yàn)樗訣H＝2．5×6

21mbba21mbba所以EB＝15+2-12所以

S

AFEB

1122

25621m

2答：加寬部分橫斷面AFEB的面為，成這一工程需要1方．例海有條，船乙的南，甲船以每小時(shí)里的度沿北偏東60°方航行，乙船沿正東方向每小時(shí)20海里速航，船會(huì)不會(huì)相為什么思與巧根意畫(huà)出圖形，如圖19，知、兩的線能為直角三角形中60°對(duì)的直角邊斜邊，兩船同時(shí)出發(fā)，在相同的時(shí)間內(nèi)所走路程的比如果正好等于60°的弦就會(huì)相撞否則不會(huì)．解如為船的速度為每小時(shí)海船度為每小時(shí)海里以船與甲船所走路程的比為1又

12所以不會(huì)發(fā)生相撞．例某改變城市交通狀況大街拓寬工程中伐掉一棵樹(shù)面上事先劃定以圓心徑AB等圓形危險(xiǎn)區(qū)某工人站在離點(diǎn)3m遠(yuǎn)D測(cè)得樹(shù)的頂部A點(diǎn)仰角為，底部B的為30°，如圖—52，距離B點(diǎn)8m遠(yuǎn)保護(hù)物是否在危險(xiǎn)區(qū)?思與巧本的實(shí)質(zhì)是要計(jì)算大樹(shù)的高，如果大于m明保護(hù)物在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，否則不在．由于大樹(shù)不在哪一個(gè)角三角形中，根據(jù)條件，C作CE⊥AB，可把AB放在Rt△ACE和eq\o\ac(△,Rt)中行求解解答過(guò)CCE，為E.由題意可知CE在eq\o\ac(△,Rt)CEB，在eq\o\ac(△,Rt)ACE，所以AB＝AE+BE＜8(m)所以距離B點(diǎn)遠(yuǎn)護(hù)物不危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)．【究活】提問(wèn)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)可以解斜三角(三角形或鈍角三)嗎?探準(zhǔn)銳角ABC(知和∠．鈍角知∠，C對(duì)邊為a，b，c)如探過(guò)直角三角形中的邊邊關(guān)系角角系是解直角三角形依據(jù)們只有在直角三角形中才成立想用它們來(lái)解斜三角形斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，轉(zhuǎn)化的方法一般是作高如圖—53甲可作⊥BC于D，這樣構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)ACD△ACD中＝∠C＝sin∠C因＝a，以BD＝-cos∠Ceq\o\ac(△,Rt)ABD，

tanB

bCabcosC

，得出B進(jìn)而求出∠A＝180°-∠B-∠C，

2

2

bC

2

abcosC

2

2

2

2abcosC

CC1

同樣方法，圖乙中，可以過(guò)作AB，解eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)．eq\o\ac(△,Rt)CDB探評(píng)“斜直是用直三形識(shí)解斜三角形的根本方法其做法是通過(guò)作斜三角形的一條高斜形化為兩個(gè)直角三角形據(jù)分別在兩個(gè)直角三角形中做文章．例如公路上、B兩距l(xiāng)km測(cè)得城鎮(zhèn)C處偏東35°，在B處的北偏西40°向．求城鎮(zhèn)C到A、處距離分是?思與巧弄楚兩個(gè)方向角是解決問(wèn)的第一步，根據(jù)題意∠＝35°∠＝4＝lkm發(fā)現(xiàn)△ABC是角三角形，故通過(guò)“化斜為直”轉(zhuǎn)化作CD⊥AB，如圖19則∠ACD＝∠l＝35°∠BCD＝＝40°是Rt△ACD與eq\o\ac(△,Rt)BCD都無(wú)直接求解，因而可利用CD是這直角三角形的公共邊以及AD＝AB＝lkm的件，設(shè)法列方程求解．解