2019-2020學(xué)年黑龍江省鶴崗市第一高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年黑龍江省鶴崗市第一高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知一直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，且斜率為1，則的值為（）A．-6 B．-4 C．4 D．6【答案】D【解析】由題意利用直線的斜率公式列方程，求得的值．【詳解】解：∵一直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，且斜率為1，，則，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．2．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】先根據(jù)拋物線的方程求出的值，再根據(jù)拋物線的簡單性質(zhì)即可得到．【詳解】由，知＝4，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為（）A．5 B．3 C．4 D．1【答案】A【解析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識和目標(biāo)函數(shù)的幾何意義截距，通過平移直線即可求z的最大值．【詳解】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直線y=﹣3x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣3x+z，經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=﹣3x+z的截距最大，此時z最大．由得A（2，﹣1），此時z的最大值為z=3×2﹣1=5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想．解答的步驟是有兩種方法：一種是：畫出可行域畫法，標(biāo)明目標(biāo)函數(shù)幾何意義，得出最優(yōu)解．另一種方法是：由約束條件畫出可行域，求出可行域各個角點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)，驗證，求出最優(yōu)解．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則線段的長度為（）A．1 B．2 C．8 D．4【答案】C【解析】先求出直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式求線段的長度．【詳解】解：由已知拋物線的焦點(diǎn)為，故直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立，消去得，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓錐曲線相交的弦長公式，考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題．5．已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的?？贾R點(diǎn)，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.6．兩圓，，則兩圓公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)已知，分析兩個圓的位置關(guān)系，可得答案．【詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，

圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4，

則圓心距為：，

故兩圓相交，

故兩圓的公切線的條數(shù)是2條，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．7．已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，，為這兩條曲線的一個交點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義，可得到的和，的差的絕對值，兩式結(jié)合可求得的值．【詳解】解：∵橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，，兩式平方相減可得，，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線定義，正確運(yùn)用定義是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8．橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是2，是的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A．4 B．8 C．3 D．2【答案】A【解析】根據(jù)橢圓的定義得，由于中，是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得，故選A．9．圓上到直線之距離為的點(diǎn)有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】試題分析：圓的方程配方得，圓心，半徑為；所以圓心到直線的距離為，作出草圖由圖可知,圓上到直線的距離為的點(diǎn)有3個，故選C.【考點(diǎn)】1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.點(diǎn)到直線的距離.10．已知為拋物線上一個動點(diǎn)，直線：，：，則到直線、的距離之和的最小值為().A． B． C． D．【答案】A【解析】已知直線：為拋物線準(zhǔn)線，那么根據(jù)拋物線性質(zhì)得到到的距離就是到焦點(diǎn)F(1,0)距離,過焦點(diǎn)F（1，0）作的垂線交拋物線于P（該點(diǎn)即為要求的點(diǎn)），垂足為點(diǎn)D，則就是到直線、的距離之和的最小值.故選A.11．斜率為2的直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左右兩支都相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)已知直線的斜率，求出漸近線的斜率范圍，推出的關(guān)系，然后求出離心率的范圍．【詳解】依題意，斜率為2的直線l過雙曲線的右焦點(diǎn)且與雙曲線的左右兩支分別相交，結(jié)合圖形分析可知，雙曲線的一條漸近線的斜率必大于2，即，因此該雙曲線的離心率．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．12．橢圓的左焦點(diǎn)為,直線與橢圓相交于點(diǎn),當(dāng)?shù)闹荛L最大時,的面積是A． B． C． D．【答案】D【解析】先確定周長最大時的取值，再求解三角形的面積.【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，的周長為，則.因為，所以;此時，故的面積是故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用橢圓的定義求解最值問題.利用定義式實現(xiàn)兩個焦半徑之間的相互轉(zhuǎn)化是求解關(guān)鍵.二、填空題13．已知雙曲線＝1的右焦點(diǎn)為(3，0)，則該雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】由題意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故該雙曲線的離心率e＝＝.14．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【詳解】∵，∴，解得-3＜m＜5，且m≠1，∴實數(shù)m的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用，易錯點(diǎn)忽視分母相等時為圓．15．已知，，是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，則的面積為________．【答案】1【解析】根據(jù)所給的雙曲線的方程，化為標(biāo)準(zhǔn)式，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理求得，再由三角形的面積公式，求得的面積．【詳解】解：∵雙曲線，

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，

，

設(shè)，

由雙曲線的定義可知：

①，

∵，，

由勾股定理可知：②，

把①平方，然后代入②，求得，

∴的面積為，

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查根據(jù)勾股定理，雙曲線的定義及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．16．拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則________．【答案】6【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形得到的方程，求出即可．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

準(zhǔn)線方程為：，

準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得：，

解得，

因為為等邊三角形，

所以，

即有，

解得，

故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題．三、解答題17．已知兩直線：和.（1）求兩直線的交點(diǎn)；（2）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）解方程組可得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由題意可得所求直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求解，再化為一般式即可．試題解析：（1）解方程組，得，∴兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）設(shè)所求直線為，∵，∴，∴直線的方程為，即．18．分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A(,-2),B(-2,1)；（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)M(,1).【答案】(1);(2).【解析】試題分析：(1)由題意利用待定系數(shù)法設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1，結(jié)合題意列出方程組可得橢圓方程為：；(2)由題意可得：橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓C的方程為:，利用待定系數(shù)法可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.試題解析：（1）設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），根據(jù)題意可得：，解得，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.（2）由橢圓,可以知道焦點(diǎn)在x軸上,,,,則橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為:和,設(shè)橢圓C的方程為:,把代入方程,得,

即,

或(舍),

橢圓C的方程為:.點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．19．設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．（1）當(dāng)與軸垂直，且點(diǎn)在軸上方時，求直線的方程；（2）求的值．【答案】（1）（2）0【解析】（1）當(dāng)時，代入求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線的方程；

（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式即可求得的值．【詳解】解：（1）由已知，代入，得，又點(diǎn)在軸上方時，，直線，即直線；（2）設(shè)，聯(lián)立消去得：，設(shè)，∴，顯然成立，，故．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，對計算能力要求較高，屬于中檔題．20．已知直線及圓．（1）求直線所過定點(diǎn)；（2）求直線被圓截得的最短弦長及此時直線的方程．【答案】（1）直線l恒過點(diǎn)（2）最短弦長為，直線l的方程為【解析】（1）根據(jù)題意，將直線的方程變形可得，將該方程看成是關(guān)于的一次方程，令的系數(shù)和常數(shù)部分為0，可得的值，即可得答案；

（2）設(shè)過定點(diǎn)為，根據(jù)題意，當(dāng)時，直線被圓所截得的弦長最短，由直線垂直的斜率關(guān)系可得直線的斜率，結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程，由弦長公式求出最短弦的長度即可得答案；【詳解】（1）證明：直線l化為，因為直線恒過定點(diǎn)，，解得，則直線所過定點(diǎn)為；（2）設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A、B，由（1）知l過定點(diǎn)在圓內(nèi)，且與過此點(diǎn)的圓的半徑垂直時，被圓所戴的弦長最短，此時圓心到直線的距離為，所以，即最短弦長為，又，則直線的斜率，則直線的方程為，即．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由拋物線的定義可得，即可求出，進(jìn)而可得拋物線的方程；

（2）由題意易知：直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入即可解出．【詳解】解：（1）已知拋物線過點(diǎn)，且則，∴，故拋物線的方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，，得，，，又，則，，或，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，綜上：的值為-8．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系研究直線與拋物線相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22．已知橢圓的離心率為，并且短軸長為2，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，若，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)條件得的方程，解方程