數(shù)學建模差分方程

數(shù)學建模差分方程第一頁，共44頁。差分方程模型在實際中許多變量是離散變化的，如人口.商品件數(shù).生產(chǎn)周期等，而離散的運算具有可操作性，差分方程正是聯(lián)系連續(xù)變量與離散的一座橋梁（如摩爾.庫侖）。差分方程主要用來解決離散型問題。第二頁，共44頁。在本節(jié)我們將介紹差分方程的求解方法以及在實際中的應用。差分方程是處理離散性問題的一種方法，在實際中有廣泛的應用，它和微分方程是相輔相成的，對連續(xù)性數(shù)據(jù)的處理也可以采用離散的方法，這時也可以用差分方程。第三頁，共44頁。１．差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性設有未知序列，稱為k階差分方程，若有，滿足：則稱是差分方程的解包含k個任意常數(shù)的解稱為的通解為已知條件時，稱其為的初始條件通解中的任意常數(shù)都有初始條件確定的解稱為的特解第四頁，共44頁。形如：稱為k階線形差分方程，其中為已知的系數(shù)，且若差分方程中的，則稱差分方程為k階齊次線性差分方程，否則，稱為k階非齊次線性差分方程若有常數(shù)a是差分方程的解，即則稱a是差分方程的平衡點第五頁，共44頁。若已知，則形如的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn)，下面給出一些理論上容易求解的特殊差分方程的解及其簡單應用。一階常系數(shù)線形差分方程：的通解為：第六頁，共44頁。二階常系數(shù)線形差分方程：當時，它有一特解，當時，且時，它有一特解，不管哪種情形，是方程的平衡點，設方程的特征方程第七頁，共44頁。其解為：（1）當是兩個不同實根時，方程的通解為：（2）當是兩個相同實根時，方程的通解為：（3）當是一對共軛復根時，方程的通解為：易知，當且僅當特征方程的任意特征根時，平衡點是穩(wěn)定的第八頁，共44頁。二階方程的上述結果可以推廣到k階線形方程，即k階線性方程平衡點穩(wěn)定的條件是特征方程的根均滿足：（即均在復平面上的單位圓內(nèi)）差分方程的求解方法和微分方程相似，為什么會這樣呢？？？第九頁，共44頁。下面僅簡單介紹一階非線性差分方程：的平衡點的穩(wěn)定性其平衡點由代數(shù)方程解出，為分析其平衡點的穩(wěn)定性，將方程的右端在點作Taylor展開只取一次項近似為：（7）是（6）的近似線性方程，也是的平衡點，關于線性方程平衡點穩(wěn)定的條件上面已給出。第十頁，共44頁。而當時，方程與的平衡點的穩(wěn)定性相同，于是得到：（1）當時，對于非線性方程，是穩(wěn)定的。（2）當時，對于非線性方程，是不穩(wěn)定的。第十一頁，共44頁。1市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型2減肥計劃——節(jié)食與運動3差分形式的阻滯增長模型4按年齡分組的種群增長差分方程建模舉例第十二頁，共44頁。1市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第十三頁，共44頁。蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關系生產(chǎn)者的供應關系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第十四頁，共44頁。xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第十五頁，共44頁。在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第十六頁，共44頁。~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結果解釋第十七頁，共44頁。經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直第十八頁，共44頁。模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第十九頁，共44頁。方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第二十頁，共44頁。2減肥計劃——節(jié)食與運動背景多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第二十一頁，共44頁。模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第二十二頁，共44頁。某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。第二十三頁，共44頁。確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第二十四頁，共44頁。第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第二十五頁，共44頁。第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第二十六頁，共44頁。第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第二十七頁，共44頁。運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型第二十八頁，共44頁。3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運動運動(內(nèi)容同前)第二十九頁，共44頁。3差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關)離散形式x(t)~某種群t時刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點第三十頁，共44頁。離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點第三十一頁，共44頁。(1)的平衡點x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性第三十二頁，共44頁。01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*穩(wěn)定x*

不穩(wěn)定另一平衡點為x=0不穩(wěn)定第三十三頁，共44頁。01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性第三十四頁，共44頁。初值x0=0.2數(shù)值計算結果b<3,xb=3.3,x兩個極限點b=3.45,x4個極限點b=3.55,x8個極限點0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第三十五頁，共44頁。倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第三十六頁，共44頁。倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第三十七頁，共44頁。倍周期收斂的進一步討論出現(xiàn)4個收斂子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡點及其穩(wěn)定性需研究時有4個穩(wěn)定平衡點2n倍周期收斂,n=1,2,…bn~2n倍周期收斂的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不穩(wěn)定b>3.57,不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂第三十八頁，共44頁。的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b第三十九頁，共44頁。4按年齡分組的種群增長不同年齡組的繁殖率和死亡率