名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊(cè) 函數(shù)的奇偶性

第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.3函數(shù)的奇偶性教學(xué)設(shè)計(jì)通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；借助計(jì)算機(jī)觀察圖象、抽象概括、歸納數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)數(shù)與形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能：理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的生質(zhì)；學(xué)會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性；2.過程與方法：通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，參透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.3.情態(tài)與價(jià)值：通過函數(shù)的奇偶性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括歸納問題的能力.【核心素養(yǎng)】1.數(shù)學(xué)抽象：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及對(duì)稱性；2.邏輯推理：判斷函數(shù)奇偶性的步驟；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：判斷函數(shù)的奇偶性；4.直觀想象：奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性；【教學(xué)重點(diǎn)】1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義2.掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法與步驟。3.學(xué)會(huì)利用奇偶性應(yīng)用，證明函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)，某直線對(duì)稱.【教學(xué)難點(diǎn)】1.判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性特征解決問題；2.函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用.提問學(xué)生：源于生活，那么我們現(xiàn)在在學(xué)習(xí)的函數(shù)圖象，是否也會(huì)具有對(duì)稱的特性呢？是否也體現(xiàn)了圖象對(duì)稱的美感呢？函數(shù)的奇偶性初中時(shí)我們學(xué)習(xí)過有關(guān)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的知識(shí)，而且已經(jīng)知道，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（一x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（一x，-y）.例如，（一2，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（2，3），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（2，-3）【嘗試與發(fā)現(xiàn)】填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量x互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖像應(yīng)具有的特征。填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量x互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖像應(yīng)具有的特征。x-3-2-1123f(x)=x2g(x)=不難發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)組x相一x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，即f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，g(x)===g(x)一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），則稱y=f（x）為偶函數(shù)。如果y=f（x）是偶函數(shù)，其圖像具有什么特征呢？我們知道，點(diǎn)P（x，f（x））與Q（-x，f（-x））都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點(diǎn)，按照偶函數(shù)的定義，點(diǎn)Q又可以寫成Q（-x，f（x）），因此點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，所以偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)。如下圖所示是嘗試與發(fā)現(xiàn)中兩個(gè)函數(shù)的圖像.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】按照類似的方式得到奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)圖像的特征：按照類似的方式得到奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)圖像的特征：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x），則稱y=f（x）為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.奇函數(shù)的圖像特征也可按照下述方式得到：點(diǎn)P（x，f（x））與Q（一x，f（-x））都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點(diǎn)，如果y=f（x）是奇函數(shù)，則點(diǎn)Q又可以寫成Q（一x，一f（x）），因此點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)。如下圖所示是奇函數(shù)f（x）=x3和g（x）=的圖像.如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)或是奇函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)具有奇偶性.可以看出，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）=x2n是偶函數(shù)，函數(shù)g（x）=x2n-1是奇函數(shù)【典型例題】例1例判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x+1；（4）f（x）=x2，x∈[-1，3]解（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x∈R時(shí)，一x∈R.又因?yàn)閒（-x）=（-x）+（-x）3+（-x）5=-（x+x3+x5）=-f（x），所以函數(shù)f（x）=x+x3+x5是奇函數(shù)。（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x∈R時(shí)，一x∈R.又因?yàn)閒（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），所以函數(shù)f（x）=x2+1是偶函數(shù)（3）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x∈R時(shí)，一x∈R又因?yàn)閒（-1）=0，f（1）=2，所以f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），因此函數(shù)f（x）=x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（也可說成f（x）是非奇非偶函數(shù)）。（4）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閇一1，3]，而3∈[-1，3]，但一3?[一1，3]，所以函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)。例（1）（4）說明，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D，但一x0?D，即函數(shù)f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例2已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，且0∈D，求證：f（0）=0.證明因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），所以2f（0）=0，因此f（0）=0.二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用因?yàn)楹瘮?shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖像具有的對(duì)稱性，所以利用函數(shù)的奇偶性能簡化函數(shù)性質(zhì)的研究。如果知道一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么其定義域能分成關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分，得出函數(shù)在其中一部分上的性質(zhì)和圖像，就可得出這個(gè)函數(shù)在另一部分上的性質(zhì)和圖像【嘗試與發(fā)現(xiàn)】已知已知函數(shù)f（x）滿足f（5）=-3，分別在條件“f（x）是偶函數(shù)”與“f（x）是奇函數(shù)”下求出f（-5）的值顯然，如果f（x）是偶函數(shù)，則f（-5）=f（5）=-3；如果f（x）是奇函數(shù)，則f（-5）=-f（5）=3.【典型例題】例3已知函數(shù)f（x）滿足f（5）<f（3），分別在下列各條件下比較f（-5）與f（-3）的大?。海?）f（x）是偶函數(shù)；（2）f（x）是奇函數(shù)。解（1）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），因此f（-5）=f（5），f（-3）=f（3），從而由條件可知f（-5）<f（-3）.因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），因此f（-5）=-f（5），f（-3）=-f（3），又由條件可知-f（5）>-f（3），從而f（-5）>f（-3）.例3說明，當(dāng)f（x）具有奇偶性時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性會(huì)有一定規(guī)律.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=g（x）是奇函數(shù)，且它們的部分圖像如已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=g（x）是奇函數(shù)，且它們的部分圖像如下圖所示，補(bǔ)全函數(shù)圖像，并總結(jié)出當(dāng)函數(shù)具有奇偶性時(shí)，函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律。不難看出，如果y=f（x）是偶函數(shù)，那么其在x>0與x<0時(shí)的單調(diào)性相反；如果y=f（x）是奇函數(shù)，那么其在x>0與x<0時(shí)的單調(diào)性相同。例4研究函數(shù)的性質(zhì)，并作出函數(shù)圖像.解要使函數(shù)表達(dá)式意義，需有x≠0，因此函數(shù)的定義域?yàn)镈={x∈R|x≠0}，從而可知函數(shù)的圖像有左右兩部分.設(shè)則對(duì)任意x∈D，都有一x∈D，而且所以函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)的兩部分圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.下面研究函數(shù)在區(qū)間（0，+oo）上的性質(zhì)及圖像.因?yàn)閤1，x2∈（0，+oo）時(shí)，有所以在（0，+oo）上是減函數(shù)又因?yàn)閤∈（0，+oo）時(shí)，>0，所以函數(shù)圖像在右邊的部分一定在第一象限。列出部分函數(shù)值如下表所示，然后可以描點(diǎn)作圖。x12341再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可以得出函數(shù)的圖像如下圖所示，而且函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，函數(shù)是偶函數(shù)，在（一∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是（0，+co）.利用研究奇偶函數(shù)的類似方法還可以研究更一般的函數(shù)圖像的對(duì)稱性.【典型例題】例5求證：二次函數(shù)f（x）=x2+4x+6的圖像關(guān)于x=-2對(duì)稱.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】初中時(shí)，我們就在觀察圖像的基礎(chǔ)上總結(jié)出過這個(gè)結(jié)論，但當(dāng)時(shí)開沒有給出嚴(yán)格的證明.為了證明函數(shù)的圖像關(guān)于x=0（即y軸）對(duì)稱，只需證明x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，那么該怎樣證明函數(shù)的困像關(guān)于x=-2對(duì)稱呢？初中時(shí)，我們就在觀察圖像的基礎(chǔ)上總結(jié)出過這個(gè)結(jié)論，但當(dāng)時(shí)開沒有給出嚴(yán)格的證明.為了證明函數(shù)的圖像關(guān)于x=0（即y軸）對(duì)稱，只需證明x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，那么該怎樣證明函數(shù)的困像關(guān)于x=-2對(duì)稱呢？如下圖所示，已知數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)稱，而且點(diǎn)A的坐標(biāo)是-2+h，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是-2-h證明任取h∈R，因?yàn)閒（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6=h2+2，f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6=h2+2，所以f（-2+h）=f（-2-h），這就說明函數(shù)的圖像關(guān)于x=-2對(duì)稱。由例5可知，要證明函數(shù)圖像關(guān)于垂直于x軸的直線對(duì)稱并不難，但怎樣才能找到對(duì)應(yīng)的對(duì)稱軸呢？以例5所示的二次函數(shù)為例，注意到f（x）=x2+4x+6=（x+2）2+2，由此就容易得到f（-2+h）=f（-2-h），從而可知f（x）圖像的對(duì)稱軸為x=-2.【探索與研究】（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么其值域具有什么特點(diǎn)？（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么其值域具有什么特點(diǎn)？（2）怎樣才能證明函教的圖像關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱？一般地，怎樣證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱？在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是奇偶性概念