離散傅立葉變換

離散傅立葉變換有限長序列的傅里葉分析一、四種信號傅里葉表示1.T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點：離散非周期譜2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非周期譜3.離散非周期信號頻譜特點：周期為2的連續(xù)譜4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周期為N的離散譜為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級數(shù)（DFS）表示。一個周期為N的周期序列，即

，k為任意整數(shù)，N為周期周期序列不能進行Z變換，因為其在n=-到+都周而復始永不衰減，即z平面上沒有收斂域。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。

離散傅里葉級數(shù)（DFS）周期為N的正弦序列其基頻成分為：

K次諧波序列為：

但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續(xù)傅氏級數(shù)的不同之處，即

因此

將周期序列展成離散傅里葉級數(shù)時，只需取k=0到(N-1)這N個獨立的諧波分量，所以一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)只需包含這N個復指數(shù)，

利用正弦序列的周期性可求解系數(shù)。將上式兩邊乘以，并對一個周期求和

上式中[]部分顯然只有當k=r時才有值為1,其他任意k值時均為零,所以有

或寫為

1)可求N次諧波的系數(shù)

2）也是一個由N個獨立諧波分量組成的傅立葉級數(shù)

3）為周期序列，周期為N。時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是一個周期序列。

是一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對，這種對稱關系可表為：

習慣上：記，

DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內容（一個周期內信號的變化情況），其它的內容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質的聯(lián)系。則DFS變換對可寫為DFS[·]——離散傅里葉級數(shù)變換IDFS[·]——離散傅里葉級數(shù)反變換。DDFS的幾個主要特性：假設都是周期為N的兩個周期序列，各自的離散傅里葉級數(shù)為：

1）線性

a,b為任意常數(shù)

2）序列移位

證因為 及 都是以N為周期的函數(shù)，所以有

由于 與 對稱的特點，同樣可證明

3）共軛對稱性

對于復序列其共軛序列滿足證:同理:進一步可得共軛偶對稱分量

共軛奇對稱分量

4）周期卷積若

則

或周期卷積證：這是一個卷積公式，但與前面討論的線性卷積的差別在于，這里的卷積過程只限于一個周期內（即m=0~N-1），稱為周期卷積。例：、，周期為N=7,寬度分別為4和3，求周期卷積。結果仍為周期序列，周期為N。

由于DFS與IDFS的對稱性，對周期序列乘積，存在著頻域的周期卷積公式，若則

我們知道周期序列實際上只有有限個序列值有意義，因此它的許多特性可推廣到有限長序列上。一個有限長序列x(n)，長為N，

為了引用周期序列的概念，假定一個周期序列，它由長度為N的有限長序列x(n)延拓而成，它們的關系：

離散傅里葉變換（DFT）周期序列的主值區(qū)間與主值序列：對于周期序列，定義其第一個周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。x(n)與的關系可描述為：

數(shù)學表示：

RN（n）為矩形序列。符號（（n））N

是余數(shù)運算表達式，表示n對N求余數(shù)。例：是周期為N=8的序列，求n=11和n=-2對N的余數(shù)。因此頻域上的主值區(qū)間與主值序列：

周期序列的離散付氏級數(shù)也是一個周期序列，也可給它定義一個主值區(qū)間，以及主值序列X(k)。數(shù)學表示：

再看周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換（DFS）公式：

這兩個公式的求和都只限于主值區(qū)間（0~N-1），它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個新的定義——有限長序列離散傅里葉變換定義。

長度為N的有限長序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)仍是一個長度為N的有限長序列，它們的關系為：

x(n)與X(k)是一個有限長序列離散傅里葉變換對，已知x(n)就能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也就唯一地確定x(n)，實際上x(n)與X(k)都是長度為N的序列（復序列）都有N個獨立值，因而具有等量的信息。有限長序列隱含著周期性。1.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFT2.循環(huán)位移(Circularshiftofasequence)

循環(huán)位移定義為離散傅里葉變換的性質DFT頻域循環(huán)位移特性DFT時域循環(huán)位移特性3.對稱性(symmetry)周期共軛對稱(Periodicconjugatesymmetry)定義為周期共軛反對稱(Periodicconjugateantisymmetry)定義為當序列x[k]為實序列時，周期偶對稱序列滿足當序列x[k]為實序列時，周期奇對稱序列滿足對稱特性當x[k]是實序列時4.循環(huán)卷積h[(-n)N]h[(1-n)N]h[(2-n)N]h[(3-n)N]卷積定理序列DFT與z變換的關系x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔取樣設序列x[k]的長度為N][mX????IDFT][kx?????變換Z)(zX(內插公式)問題提出:實際需要：LTI系統(tǒng)響應y[k]=x[k]h[k]可否利用DFT計算線性卷積？例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},N=4一、兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算線性卷積線性卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示若x[k]的長度為N，h[k]的長度為M，則L=N+M-1點循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。直接計算與由DFT間接計算結果比較若x1[k]為M

點序列,x2[k]為L

點序列，L>Mx1[k]L

x2[k]中哪些點不是線性卷積的點?問題討論0

k

M-2不是線性卷積的結果，即前(M-1)個點與線性卷積不一樣。線性卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示

x1[k]L

x2[k]k=0~M-2,前M-1個點不是線性卷積的點k=M-1~L-1,L-M+1個點與線性卷積的點對應線性卷積L~L+M-2后M-1點沒有計算

則L點循環(huán)卷積結論若x1[k]為M

點序列,x2[k]為L

點序列，L>M長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計算的缺點：(1)信號要全部輸入后才能進行計算，延遲太多(2)內存要求大(3)算法效率不高解決問題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法1.重疊相加（overlapadd）將長序列x[k]分為若干段長度為L的序列其中y0[k]的非零范圍y1[k-L]的非零范圍序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點數(shù)L+M-2-L+1=M-1依次將相鄰兩段的M-1個重疊點相加，即得到最終的線性卷積結果。重疊相加法分段卷積舉例方法：(1)將x[k]長序列分段，每段長度為L；(2)各段序列xn[k]與M點短序列h[k]循環(huán)卷積；(3)從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結果。2.重疊保留法(overlapsave)前M-1個點不是線性卷積的點因yn[k]=xn[k]Lh[k]故分段時，每段與其前一段有M-1個點重疊。--x[k(M1)]M-1--L(M1)L-1x0[k]x1[k]2L-Mk第一段前需補M-1個零例已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}試分別利用重疊相加和保留法計算線性卷積,取L=5。y[k