平面及其方程

關于平面及其方程第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一一、平面方程特征：①②如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量．第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一1.點法式平面方程有三種表達形式：第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一——

平面的點法式方程注②平面上的一定點反之，不垂直，，即點M的坐標一定不滿足(3.1).所以(3.1)式是平面的方程.確定平面方程的二要素：①(可不唯一)第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一解取例1

所求平面方程為化簡得(方法1)第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一則共面，故所求平面方程為亦即(方法2)第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一2.一般式三元一次方程平面方程證()()代入(3.2),便可化為(3.1).——

平面的一般式方程法向量:第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一例2一些特殊平面方程(1)平面

通過坐標原點；(2)平面平行于坐標軸；(缺少x項)第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標面：類似地，可討論平面平行于y軸、z軸的情形.(3)平面平行于坐標面；類似地，可討論平面平行于其它坐標面的情形.第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一設平面為由平面過原點知所求平面方程為解例3

(方法1)第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一O

?

P(6,-3,2)點P(6,-3,2)，O(0,0,0)法向量：所求平面方程：(方法2)第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一故可取法向量：解化簡得所求平面方程為：例4第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一設平面為將三點坐標代入得解3.截距式

例5

第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一代入所設方程得——平面的截距式方程第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

求平行于平面6x+y+6z+5=0而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.設平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解例6第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一化簡得令代入體積式所求平面方程為第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.二、兩平面的夾角第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一按照兩向量夾角余弦公式有——兩平面夾角余弦公式第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一兩平面位置特征：事實上，第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

研究以下各組里兩平面的位置關系：解兩平面相交，夾角例7第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一兩平面平行但不重合．兩平面重合第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一例8解所求平面的法向量為：第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一解三、點到平面的距離

例9第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一——點到平面距離公式第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一例10解第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點到平面的距離公式.點法式方程.一般式方程.截距式方程.（注意兩平面的位置特征）內(nèi)容小結第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一備用題

例3-1解(方法1)因為所求平面過x

軸