演示文稿常系數(shù)線性微分方程

演示文稿常系數(shù)線性微分方程當(dāng)前1頁，總共60頁。（優(yōu)選）常系數(shù)線性微分方程當(dāng)前2頁，總共60頁。一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式當(dāng)前3頁，總共60頁。-----特征方程將其代入上方程,得故有特征根1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求法當(dāng)前4頁，總共60頁。有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根得齊次方程的通解為有一對(duì)共軛復(fù)根得齊次方程的通解為當(dāng)前5頁，總共60頁。有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為當(dāng)前6頁，總共60頁。解特征方程為解得故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為當(dāng)前7頁，總共60頁。2.n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).當(dāng)前8頁，總共60頁。特征根為故所求通解為解特征方程為:例3解方程:例4解方程:解特征方程為:特征根為故所求通解為當(dāng)前9頁，總共60頁。練習(xí)求方程的通解：答案：當(dāng)前10頁，總共60頁。二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程則(1)通解結(jié)構(gòu)難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二.二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法則有特解:當(dāng)前11頁，總共60頁。上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.注意的特解:當(dāng)前12頁，總共60頁。例寫出下列方程的特解形式:解1.特征方程為:解2.特征方程為:當(dāng)前13頁，總共60頁。解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例4當(dāng)前14頁，總共60頁。例5解特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解不代入方程,得原方程通解為:例6解原方程通解為:當(dāng)前15頁，總共60頁。則特解為:當(dāng)前16頁，總共60頁。解例5寫出下列方程的特解形式:特征根的特解的特解當(dāng)前17頁，總共60頁。解對(duì)應(yīng)齊方通解代入原方程:例6是特征方程的單根,比較系數(shù)得:通解為:當(dāng)前18頁，總共60頁。四、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)當(dāng)前19頁，總共60頁。2.非齊次方程求特解:當(dāng)前20頁，總共60頁。當(dāng)前21頁，總共60頁。解特征方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為例9解方程原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為代入初始條件.有當(dāng)前22頁，總共60頁。04考題補(bǔ)充題當(dāng)前23頁，總共60頁。當(dāng)前24頁，總共60頁。例5解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為當(dāng)前25頁，總共60頁。原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為當(dāng)前26頁，總共60頁。例6解代入方程，得故方程的通解為當(dāng)前27頁，總共60頁。當(dāng)前28頁，總共60頁。當(dāng)前29頁，總共60頁。解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.二、歐拉方程的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．當(dāng)前30頁，總共60頁。作變量變換將自變量換為用D表示對(duì)自變量t的求導(dǎo)運(yùn)算則當(dāng)前31頁，總共60頁。將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個(gè)方程的解后，把換為，即得到原方程的解.一般地，例8求的通解．解作變量變換當(dāng)前32頁，總共60頁。四、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)當(dāng)前33頁，總共60頁。原方程化為即或(1)其特征方程設(shè)特解:通解:當(dāng)前34頁，總共60頁。2.非齊次方程求特解:當(dāng)前35頁，總共60頁。解例10則由牛頓第二定律得解此方程得當(dāng)前36頁，總共60頁。3.歐拉方程解法思路:變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換注意：歐拉方程的形式．當(dāng)前37頁，總共60頁。當(dāng)前38頁，總共60頁。當(dāng)前39頁，總共60頁。當(dāng)前40頁，總共60頁。當(dāng)前41頁，總共60頁。當(dāng)前42頁，總共60頁。當(dāng)前43頁，總共60頁。當(dāng)前44頁，總共60頁。當(dāng)前45頁，總共60頁。當(dāng)前46頁，總共60頁。當(dāng)前47頁，總共60頁。當(dāng)前48頁，總共60頁。當(dāng)前49頁，總共60頁。當(dāng)前50頁，總共60頁。當(dāng)前51頁，總共60