高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)?高等數(shù)學(xué)?期末考試知識點函數(shù)與極限1．中學(xué)函數(shù)的復(fù)習(xí)：根本初等函數(shù)的性質(zhì)例：求以下函數(shù)的定義域：。例：判斷以下函數(shù)的奇偶性：。2．?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限的計算〔1〕四那么運算法那么設(shè)，那么；；。例：求以下極限〔2〕兩個重要極限及無窮小與有界量的乘積a)第一個重要極限。b)第二個重要極限。c)無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。例：求以下極限〔3〕利用等價無窮小求極限求極限表達式中的無窮小因子可無條件用其等價無窮小代換，和與差的項不能無條件直接代換。當(dāng)時，有。例：求以下極限3．函數(shù)的連續(xù)性與間斷點在點連續(xù)的三個條件：1〕在有定義；2)存在〔等價于與存在且相等〕；3〕。不滿足以上三個條件之一的點就稱為函數(shù)的間斷點：在間斷點如果左、右極限都存在，那么稱為第一類間斷點。除第一類間斷點外的其他間斷點均稱為第二類間斷點。例：考察函數(shù)在點處的連續(xù)性。例：當(dāng)為何值時，函數(shù)在點處的連續(xù)性。例：求函數(shù)的間斷點，并判斷間斷點的類型。附：關(guān)于根本定義的判斷題：判斷以下說法是否正確有界數(shù)列一定收斂；〔錯〕函數(shù)在點處有極限，那么函數(shù)在點極必連續(xù)；(錯)時,與是等價無窮小量；〔對〕假設(shè)，那么必在點連續(xù)；〔錯〕設(shè)在點處連續(xù)，那么；〔對〕函數(shù)在點連續(xù)；〔對〕是函數(shù)的間斷點；〔對〕是一個無窮小量；〔錯〕當(dāng)時，與是等價的無窮小量；〔錯〕假設(shè)存在，那么在處有定義；〔錯〕假設(shè)與是同一過程下兩個無窮大量，那么在該過程下是無窮小量；〔錯〕是一個復(fù)合函數(shù)；〔錯〕函數(shù)在點連續(xù)；〔錯〕是函數(shù)的間斷點；〔對〕以零為極限的變量是無窮小量；〔對〕導(dǎo)數(shù)與微分1．導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義左導(dǎo)數(shù)：。右導(dǎo)數(shù)。在一點處可導(dǎo)的充分必要條件是在此點的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：一點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在該點處的切線斜率。例：，求極限；。例：判斷函數(shù)在點處的可導(dǎo)性。例：求函數(shù)在點處的切線方程和法線方程。2．導(dǎo)數(shù)的計算〔1〕導(dǎo)數(shù)公式與四那么運算法那么根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可當(dāng)作公式直接用。；。例：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔2〕復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是由和復(fù)合而成，那么或。例：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔3〕隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對數(shù)求導(dǎo)法a)方程兩端同時對求導(dǎo)。b)遇到含有的表達式，將看成中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)。對冪指函數(shù)型或同時含有指數(shù)、乘積與商運算的函數(shù)利用取對數(shù)轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，有時求導(dǎo)較為方便。例：求由以下方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例：求由方程確定的隱函數(shù)在點處的切線方程。例：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。〔3〕高階導(dǎo)數(shù)例：求以下函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：3．微分及其應(yīng)用〔1〕微分的定義及計算公式：例：求函數(shù)在點處當(dāng)時的微分。例：求以下函數(shù)的微分：?！?〕微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)函數(shù)在一點處自變量的改變量較小時，函數(shù)的改變量近似等于該點處的微分，即。由此可知當(dāng)與的距離很小時有。特別地，假設(shè)取，那么當(dāng)很小時有。例：求函數(shù)的近似值。例：一球殼的內(nèi)直徑為10厘米，球殼厚度為厘米，求此球殼體積的近似值。附：關(guān)于根本定義的間斷題：間斷以下說法是否正確假設(shè)在處可導(dǎo)，那么一定存在；(對)函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)；(錯)假設(shè)在上連續(xù)，那么在內(nèi)一定可導(dǎo)；(錯)函數(shù)在點可導(dǎo)；(錯)假設(shè)那么；(對)(錯)假設(shè)在點不可導(dǎo)，那么在不連續(xù)；(錯)微分中值定理及應(yīng)用1．微分中值定理羅爾定理：假設(shè)函數(shù)：1〕在上連續(xù)；2〕在可導(dǎo)；3〕，那么至少存在一點使。拉格朗日定理：假設(shè)函數(shù)：1〕在上連續(xù)；2〕在可導(dǎo)，那么至少存在一點使。以上兩個定理其實說明了滿足條件的曲線上至少存在一點處的切線平行于連接曲線兩個端點的弦。例：驗證以下函數(shù)在所給區(qū)間上是否滿足拉格朗日定理的條件？如滿足，求出定理中的。例：證明以下不等式2．微分中值定理的應(yīng)用之一：洛必達法那么1〕型：設(shè)，，那么。2〕型：設(shè)，，那么。以上1),2)中可換成x的任何一個變化過程。例：求以下極限3．微分中值定理的應(yīng)用之二：單調(diào)性，極值；凹凸性，拐點；函數(shù)作圖。例：討論以下函數(shù)的單調(diào)性，極值；凹凸區(qū)間，拐點，并作圖。例：要用同一種材料造一個圓柱形油罐，體積為，問怎樣設(shè)計才能使所用材料最省。例：要用同一種材料造一個底為正方形，容積為的長方體開口容器，問怎樣設(shè)計才能使所用材料最省。附：關(guān)于根本定義的間斷題：間斷以下說法是否正確曲線在點沒有切線；(錯)函數(shù)可導(dǎo)，極值點必為駐點；(對)函數(shù)的極值只可能發(fā)生在駐點和不可導(dǎo)點處；(對)(錯)假設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，那么至少存在一點，使得；(錯)假設(shè)，，那么是的極大值；(對)函數(shù)在上滿足拉格朗日定理的條件；(對)假設(shè)是函數(shù)的極值點，那么；(錯)函數(shù)在上的極大值一定大于極小值；(錯)當(dāng)很小時，；(對)(錯)曲線的拐點是；(對)函數(shù)在點處取得極大值，那么或不存在；(對)是可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件；(錯)曲線沒有拐點；(對)因為在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，所以在內(nèi)必有最大值；(錯)不定積分1．不定積分的定義與性質(zhì)假設(shè)，那么稱是的一個原函數(shù)。的所有原函數(shù)稱為的不定積分，記為。不定積分的性質(zhì)：1〕；2〕。3〕；4〕例：，求。例：，且，求。2．不定積