六年下冊(cè)奧數(shù)試題- 分解質(zhì)因數(shù) 全國(guó)通用

第講知網(wǎng)

分解質(zhì)數(shù)（1如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。（2）一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘表示，叫做分解質(zhì)因數(shù)。如把12分質(zhì)因數(shù)得，這時(shí)稱和3是12的因數(shù)。（3算術(shù)基本定理：任何大于的數(shù)都能表示成質(zhì)數(shù)的積。（4如果把相同的質(zhì)因數(shù)合并為它的冪，則任一大于1的數(shù)N只惟一地表示成：（其中質(zhì)數(shù)；，，是自然數(shù)們別是，，的指數(shù)），則上式稱為N標(biāo)準(zhǔn)分解式。（5分解質(zhì)因數(shù)的方法主要是短除法。（在小學(xué)階段）試除時(shí)一般從最小質(zhì)數(shù)開(kāi)始。重·點(diǎn)質(zhì)數(shù)與互質(zhì)的區(qū)別數(shù)是指約數(shù)只有1和本身的自然數(shù)兩數(shù)的共同約數(shù)只，這樣兩個(gè)數(shù)的關(guān)系稱為互質(zhì)。學(xué)指已知約數(shù)的個(gè)數(shù)求原自然數(shù)屬于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的逆向問(wèn)題首先把約數(shù)個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，逆推求出原自然數(shù)，再?gòu)闹姓业椒项}目要求的一個(gè)。經(jīng)例[例將八個(gè)數(shù)14、、7539143、169分兩組，每組四個(gè)數(shù)，并且每組四個(gè)數(shù)的乘積相等，應(yīng)該怎樣分？思剖要使兩組數(shù)的乘積相等就使組中的質(zhì)因數(shù)一樣且相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)相同為此，我們先將八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：14=2×33=3×35=5×30=2×3×575=3×5×539=3×通過(guò)觀察各式可知八個(gè)數(shù)中因711各兩個(gè)因數(shù)3各四個(gè)，所以每組中應(yīng)該是、7、有一個(gè)3、13各兩個(gè)。

解答首先將14=27分在第一組，另外兩個(gè)含有質(zhì)因數(shù)27數(shù)××35=5×就應(yīng)分在第二組。這樣，在第二組中不僅有2與7還有兩個(gè)，所以另外兩個(gè)質(zhì)因數(shù)5就應(yīng)分在第一組，即75=35×5歸第一組中。其次，將169=13×13分第組，含有13的外兩個(gè)數(shù)×和×13應(yīng)分在第二組。由于質(zhì)因數(shù)11只有兩個(gè)，因而含有的另一個(gè)數(shù)33=3就分在第一組。在上述分組過(guò)程中沒(méi)有考慮過(guò)質(zhì)因數(shù)3，所以，應(yīng)核對(duì)一下兩組中的質(zhì)因數(shù)，結(jié)果是各含有兩個(gè)，所以分組結(jié)果是正確的，即第一組有1475，169，；第二組有，，39，。利用八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的式子，容易驗(yàn)證兩組數(shù)的乘積相等。說(shuō)明：在上述分組過(guò)程中，當(dāng)然也可以將1分第二組，那么在一組33在第二組，因此，還可得到另外的一種分組方法：第一組：，，，；第二組：35，30，169，33[例在射箭運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員每射一箭的環(huán)數(shù)只能是下列數(shù)之0l35、、、9、10其中0環(huán)表示脫靶。現(xiàn)在甲、乙兩名動(dòng)員各射了5箭，每人箭得到的環(huán)數(shù)的積都是。但是，甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)，求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？思路剖析兩人箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764顯然，每箭的環(huán)數(shù)都不是0和，每箭的環(huán)數(shù)都是的約數(shù)，將1764分質(zhì)因數(shù)：×3×3×7×因?yàn)椤?，×都大?0而每箭的環(huán)數(shù)都是小于自然數(shù)，所以甲、乙二人5箭中必有兩箭射中的環(huán)數(shù)是，其他3箭中的環(huán)數(shù)必是×××3的數(shù)，且這些約數(shù)應(yīng)小于×23寫3個(gè)于的然數(shù)之積有面五種能：××3××4×9=1××=2××3×6=3×4即這箭射中的環(huán)數(shù)有五種可能l，49l，6；2，，；，36；，3，4解答對(duì)應(yīng)這五種情況，箭射中的環(huán)數(shù)有下面五種情況：，，1，4，，總環(huán)數(shù)=28，，1，6，，總環(huán)數(shù)=27，，2，2，，總環(huán)數(shù)=27，，2，3，，總環(huán)數(shù)=25，，3，3，，總環(huán)數(shù)=24總環(huán)數(shù)中只有24與之是4根據(jù)題意，甲的總環(huán)數(shù)是24乙的總環(huán)數(shù)是28。

［例3把拆成若干個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和，如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大，問(wèn)幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？思剖由以往的經(jīng)驗(yàn)可知，如果若干個(gè)數(shù)的和一定，那么拆的數(shù)越多（不能有1則積越大，并可推出拆出的數(shù)（除外）越多，積越大。假設(shè)37拆的是五個(gè)質(zhì)數(shù)的最小的五個(gè)質(zhì)數(shù)和為于37，所以能拆成五個(gè)質(zhì)數(shù)的和。那么為什么不從始加起呢？不難發(fā)現(xiàn)，五個(gè)質(zhì)數(shù)中，如有一個(gè)為偶數(shù)的四個(gè)必為奇數(shù)和為偶數(shù)與個(gè)質(zhì)數(shù)的和也必為偶，是奇數(shù)，所以不能取從開(kāi)始的個(gè)最小質(zhì)數(shù)，當(dāng)取、5、11這個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)和就大于37了所以六個(gè)以上質(zhì)數(shù)的和更不可能為37假設(shè)把37拆成是四個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和，而四個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)取，否則四個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)，不可能得到和為37，這樣剩下三個(gè)數(shù)的和為37－，的方法有下列幾種：相應(yīng)的積為2×7×5×23=161037=2+5+11+19相應(yīng)的積為×5×37=2+5+13+17相應(yīng)的積為×5×37=2+7+11+17相應(yīng)的積為×7×37=2+3+13+19相應(yīng)的積為×3×在這五組不同的拆分方法中，不難發(fā)現(xiàn)×××的乘積最大，并且我們發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)數(shù)是符合條件的相差最小的數(shù)，更證明了在和一定的情況下，拆成的數(shù)越多（l除外），越接近，則乘積越大這一經(jīng)驗(yàn)性常識(shí)。這樣，把37拆三個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和。兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)的和的乘積均不會(huì)大于2618所以也不必再試驗(yàn)了。解答當(dāng)把37拆2、7、、17這個(gè)數(shù)的和時(shí)，乘積最大，為37=2+7+11+17××11×17=2618答：這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別為、7、17［例］已知a（b+c）=209請(qǐng)?jiān)赼、b、c中填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面的等式成立。思剖因?yàn)楸硎境膳c（）的乘積，所以解題關(guān)鍵還是將分質(zhì)數(shù)。解答，不論a還是b+c的一是奇數(shù)。因?yàn)槠?偶數(shù)=奇，所以c一有個(gè)數(shù)是偶數(shù)。偶質(zhì)數(shù)只有。（1當(dāng)a=11時(shí)假定b=2，則，假定，則。（2當(dāng)時(shí)假定，則c=11-2=9不是質(zhì)數(shù)（舍）；假定c=2則b=11-2=9不是質(zhì)數(shù)（舍）。這個(gè)算式是×（）=209或×（）。

點(diǎn)津把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積別是一些質(zhì)數(shù)的乘積解整數(shù)問(wèn)題的一種常用方法。［例］有8個(gè)不同約數(shù)的自然中，最小的是多少？思剖可用較小的質(zhì)數(shù)作為底數(shù)，從中求出最小的一個(gè)。解答因?yàn)?=18=2×4=2×2×所以所求的自然數(shù)，只有三種情況，即：，，，中、b、c為同的質(zhì)數(shù)。又因?yàn)橐钚〉淖匀粩?shù)，所以質(zhì)數(shù)、b、c應(yīng)量小。（l）（2（3其中，24為小故所求的最小自然數(shù)為24［例］一個(gè)整數(shù)與1080的積是一個(gè)完全平方數(shù)。求a最小值與這個(gè)平方數(shù)。思剖因?yàn)閍與的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)。所以乘積分解質(zhì)因后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)解答因?yàn)橛忠驗(yàn)?/p>

的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)所以a必質(zhì)因數(shù)2、、5，因此最為2×35。所以1080×a=108023×5=1080×答：的最小值為，這個(gè)完全平方數(shù)是32400。［例］自然數(shù)151200的數(shù)有多兩位數(shù)，其中最大的是幾？思剖先將分質(zhì)因數(shù)得151200=22×××2×3××5×7顯然其某些質(zhì)因數(shù)相乘得到最大的兩位約數(shù)是由哪些質(zhì)因數(shù)相乘才能得到最大的兩位約數(shù)呢？我們并不知道，也不能這樣湊數(shù)，太麻煩。

不妨將兩位數(shù)從大到小排列為99，97，，…，將這些數(shù)解質(zhì)因救后看是否能由151200的質(zhì)因數(shù)湊。解答因?yàn)椤痢?1有因數(shù)11所以不合要。因?yàn)椤痢林匈|(zhì)因數(shù)7的個(gè)數(shù)是2，所以不要求。本是質(zhì)數(shù)，不合要求。96=2×2×2×2×3，符合要求。答：最大兩位約數(shù)是。［例8學(xué)區(qū)舉行團(tuán)體操表演，有1430名學(xué)生參加，分人數(shù)相等的若干隊(duì)，要求每隊(duì)人數(shù)在100至之間，共有幾種分法？思剖按題意，每隊(duì)人數(shù)×隊(duì)=1430每隊(duì)人數(shù)在至之，所以問(wèn)題相當(dāng)于求1430有多少個(gè)在100至之的約數(shù)。為此，先把1430分質(zhì)因數(shù)，得××13從這四個(gè)質(zhì)數(shù)中選若干個(gè)使其乘積在之這每隊(duì)人其余的質(zhì)因數(shù)之積便是隊(duì)數(shù)。解答××11=110，13××13=130，11×13=143，25=10所以共有三種分法，即：分成13，每隊(duì)110；分成，每隊(duì)130人；分成隊(duì)，每隊(duì)143人發(fā)思訓(xùn)．小聰?shù)拿妹脜⒓恿私衲甑闹袑W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，小聰問(wèn)妹妹：“這次競(jìng)賽你得了多少分獲第幾名？”妹妹告訴他：“我得的名次和我的歲數(shù)及我的分?jǐn)?shù)乘起來(lái)是2910，你看我的成績(jī)和名次各是多少？”．求（）的全部約數(shù)的和；全部約數(shù)的和。．55888一個(gè)自然數(shù)相乘所得的積是一個(gè)完全平方數(shù)，求的小值。使×935×個(gè)積的最后四位數(shù)字為0號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？．試求不大于50的所有約數(shù)個(gè)數(shù)為自然數(shù)。船夫用幾只船分次把90名學(xué)渡過(guò)河去已每只船載的人數(shù)都相等且至少裁2人。

參答發(fā)思訓(xùn)．解：既然2910三個(gè)數(shù)的乘積，那么就把分解質(zhì)因數(shù)：2910=2×××97。小聰?shù)拿妹檬侵袑W(xué)生，不可能是歲，也不可能是、歲因此可以肯定小聰妹妹是3）歲則名次是第，成績(jī)是97分答：小聰?shù)拿妹妹问堑?名，成績(jī)是97分。．解：（1我們已知144的數(shù)共15個(gè)，是由l2、8、分乘以l、9所，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)計(jì)算一遍步去l中每一個(gè)數(shù)和第=步用l、48每一個(gè)數(shù)，其和為l+2+4+8+163第三步用9去乘1、、8、16中每一個(gè)數(shù)，其和為1+2+4+8+16）×，那么144全部約數(shù)的和是（（3+（×（1+3+9）=31（2求的全部約數(shù)的和。因此就有、2、、；l、；1、這樣三列數(shù)。（）×（l+3+9）×l+5）=15××6=1170答：（1）的有約數(shù)的和是403；（）的所有約數(shù)的和是。．解：所謂完全平方數(shù)就是兩個(gè)相同整數(shù)的乘積，即若為整數(shù)，則

就是完全平方數(shù)；雖然再以一個(gè)，所得結(jié)果是一個(gè)完全平方數(shù)，但是它不是一個(gè)最小的乘數(shù)。因?yàn)?5888身是4的數(shù)，而是一個(gè)完全平方數(shù)，以由55888÷4=13972可，只要乘數(shù)是，×13972=4××13972這個(gè)乘積就是一個(gè)完全平方數(shù)，顯然數(shù)比原先選為數(shù)小，13972是是要找的最小乘數(shù)呢？這要看分解質(zhì)因數(shù)的情況了。因?yàn)?，?shù)，則a最是×。

是個(gè)完全平方數(shù)和499都質(zhì)答：的最小值是。．解：要使××972積最后四位數(shù)字為是使這個(gè)積為的數(shù)，于是本題有如下兩種解法：解法一：因?yàn)?，么?75×972（）的連乘積中至少要含有質(zhì)因數(shù)4個(gè)2和4個(gè)5而975×972中，

，，

，即原乘積中只含有質(zhì)因數(shù)3個(gè)、個(gè)，所以還必須乘以2個(gè)和1個(gè)的積，即4×。故在括號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填20。解法二：因?yàn)椤?，×，××243所以××972=5××××39187=500××187243×39×的末尾有兩個(gè)因×那么在××后面乘以20就這個(gè)積的最后四位數(shù)字都為，所以，在括號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填。．解：這是求一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的逆問(wèn)題。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)有六個(gè)約數(shù)，6=5+l=）×），所以，當(dāng)這個(gè)數(shù)只有個(gè)質(zhì)因數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是

；當(dāng)這個(gè)數(shù)有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)a和時(shí)這個(gè)數(shù)是

。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)不大于50所以對(duì)于

，只有，即，，，，

=32；對(duì)于，

，經(jīng)試算得到：所以，滿足題意的數(shù)有八個(gè)：32，，，，，，45，50。．解：因?yàn)槊恐淮d的人數(shù)都相等，且3次把90人