高中數(shù)學必修平面向量測試試卷典型例題含詳細答案

高中數(shù)學平面向量組卷一．選擇題（共18小題）1．已知向量與的夾角為θ，定義×為與的“向量積”，且×是一個向量，它的長度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），則|×（+）|=（）A．4B．C．6D．22．已知，為單位向量，其夾角為60°，則（2﹣）?=（）A．﹣1B．0C．1D．23．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夾角為，則實數(shù)m=（）A．2B．C．0D．﹣4．向量，，且∥，則=（）A．B．C．D．5．如圖，在△ABC中，BD=2DC．若，，則=（）A．B．C．D．6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，則sinα=（）A．B．C．D．7．已知點A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，則的夾角為（）A．B．C．D．8．設向量=，=不共線，且|+|=1，|﹣|=3，則△OAB的形狀是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形9．已知點G是△ABC的重心，若A=，?=3，則||的最小值為（）A．B．C．D．210．如圖，各棱長都為2的四周體ABCD中，=，=2，則向量?=（）A．﹣B．C．﹣D．11．已知函數(shù)f（x）=sin（2πx+φ）的部分圖象如下圖，點B，C是該圖象與x軸的交點，過點C的直線與該圖象交于D，E兩點，則（）?的值為（）A．B．C．1D．212．已知P為三角形ABC內部任一點（不包含界限），且知足(﹣）?（+﹣2）=0，則△ABC的形狀必定為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍三角形D．等腰三角形13．如下圖，設P為△ABC所在平面內的一點，而且=+，則△ABP與△ABC的面積之比等于（）A．B．C．D．14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，則直線AD經過△ABC的（）A．垂心B．外心C．重心D．心里15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為邊BC的三均分點，則=（）A．B．C．D．16．已知空間向量知足，且的夾角為，O為空間直角坐標系的原點，點A、B知足，，則△OAB的面積為（）A．B．C．D．17．已知點P為△ABC內一點，且++3=，則△APB，△APC，△BPC的面積之比等于（）A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：318．在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則=（）A．2B．4C．5D．10二．解答題（共6小題）19．如圖示，在△ABC中，若A，B兩點坐標分別為（2，0），（﹣3，4）點C在AB上，且OC均分∠BOA．1）求∠AOB的余弦值；2）求點C的坐標．20．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的會合；（2）若

，且|

﹣

|=

，求

的值．21．如下圖，若

D是△ABC

內的一點，且

AB2﹣AC2=DB2﹣DC2．求證：

AD⊥BC．22．已知向量

，

，此中

A、B是△ABC的內角，．1）求tanA?tanB的值；（2）若a、b、c分別是角A、B、C的對邊，當C最大時，求的值．23．已知向量

且

，函數(shù)

f（x）=2（I）求函數(shù)（II）若

f（x）的最小正周期及單一遞加區(qū)間；，分別求tanx及的值．24．已知，函數(shù)f（x）=．1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；2）求函數(shù)f（x）的單一減區(qū)間；（3）當時，求函數(shù)f（x）的值域．高中數(shù)學平面向量組卷（2014年09月24日）參照答案與試題分析一．選擇題（共18小題）1．已知向量與的夾角為θ，定義×為與的“向量積”，且×是一個向量，它的長度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），則|×（+）|=（）A．4B．C．6D．2考點：平面向量數(shù)目積的運算．專題：平面向量及應用．剖析：=利用數(shù)目積運算和向量的夾角公式可得．再利用平方關系可得，利用新定義即可得出．解答：解：由題意，則，∴=6，==2，=2．∴===．即，得，由定義知，應選：D．評論：此題考察了數(shù)目積運算、向量的夾角公式、三角函數(shù)的平方關系、新定義，考察了計算能力，屬于基礎題．2．已知，為單位向量，其夾角為60°，則（2﹣）?=（）A．﹣1B．0C．1D．2考點：平面向量數(shù)目積的運算．專題：平面向量及應用．剖析：由條件利用兩個向量的數(shù)目積的定義，求得、的值，可得（2﹣）?的值．解答：解：由題意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）?=2﹣=0，應選：B．評論：此題主要考察兩個向量的數(shù)目積的定義，屬于基礎題．3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夾角為，則實數(shù)m=（）A．2B．C．0D．﹣考點：數(shù)目積表示兩個向量的夾角．專題：平面向量及應用．剖析：由條件利用兩個向量的夾角公式、兩個向量的數(shù)目積公式，求得m的值．解答：解：由題意可得cos===，解得m=，應選：B．評論：此題主要考察兩個向量的夾角公式、兩個向量的數(shù)目積公式的應用，屬于基礎題．4．向量，，且∥，則=（）A．B．C．D．考點：平行向量與共線向量；同角三角函數(shù)間的基本關系；引誘公式的作用．專題：計算題；三角函數(shù)的求值．剖析：依據向量平行的條件成立對于α的等式，利用同角三角函數(shù)的基本關系與引誘公式，化簡即可獲得的值．解答：解：∵，，且∥，∴，即，得sinα=，由此可得=﹣sinα=．應選：B評論：此題給出向量含有三角函數(shù)的坐標式，在向量相互平行的狀況下求的值．側重考察了同角三角函數(shù)的基本關系、引誘公式和向量平行的條件等知識，屬于基礎題．5．如圖，在△ABC中，BD=2DC．若，，則=（）A．B．C．D．考點：向量的加法及其幾何意義．專題：平面向量及應用．剖析：由題意可得=，而，，代入化簡可得答案．解答：解：由題意可得=====應選C評論：此題考察平面向量的加法及其幾何意義，波及向量的數(shù)乘，屬基礎題．6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，則sinα=（）A．B．C．D．考點：平面向量共線（平行）的坐標表示．專題：平面向量及應用．剖析：直接由向量共線的坐標表示列式計算．解答：解：∵向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，則2cosα?tanα﹣（﹣1）×=0，即2sinα=．∴．應選：B．評論：共線問題是一個重要的知識點，在高考題中經常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標表示等聯(lián)系在一同，要特別注意垂直與平行的差別．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0．是基礎題．7．已知點A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，則的夾角為（）A．B．C．D．考點：平面向量數(shù)目積的坐標表示、模、夾角．專題：計算題．剖析：依據題意求出的坐標，再由它的模求出角α，從而求出點C的坐標，利用數(shù)目積的坐標表示求出和夾角的余弦值，再求出夾角的度數(shù)．解答：解：∵A（3，0），C（cosα，sinα），O（0，0），∴=（3+cosα，sinα），∵，∴（3+cosα）2+sin2α=13，解得，cosα=，則α=，即C（，），∴和夾角的余弦值是==，∴和的夾角是．應選：D．評論：此題考察向量線性運算的坐標運算，以及數(shù)目積坐標表示的應用，利用向量坐標形式進行運算求出對應向量的模，以及它們的夾角的余弦值，從而聯(lián)合夾角的范圍求出夾角的大?。?．設向量=，=不共線，且|+|=1，|﹣|=3，則△OAB的形狀是（A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形

）

D．鈍角三角形考點：平面向量數(shù)目積的運算．專題：計算題；平面向量及應用．剖析：對|+|=1，|﹣|=3分別平方并作差可得，由其符號可判斷∠AOB為鈍角，獲得答案．解答：+|=1，得=1，即解：由|①，由|﹣|=3，得，即②，①﹣②得，4=﹣8，解得＜0，∴∠AOB為鈍角，△OAB為鈍角三角形，應選：D．評論：此題考察平面向量數(shù)目積運算，屬基礎題．9．已知點G是△ABC的重心，若A=，?=3，則||的最小值為（）A．B．C．D．2考點：平面向量數(shù)目積的運算．專題：不等式的解法及應用；平面向量及應用．剖析：由A=，?=3，可求得=6，由點G是△ABC的重心，得=，利用不等式則||2==（+6）≥，代入數(shù)值可得．解答：解：∵A=，?=3，∴=3，即=6，∵點G是△ABC的重心，∴=，∴||2==（+6）≥==2，∴||≥，當且僅當=時取等號，∴||的最小值為，應選B．評論：此題考察平面向量數(shù)目積的運算、不等式求最值，注意不等式求最值時合用的條件．10．如圖，各棱長都為2的四周體ABCD中，=，=2，則向量?=（）A．﹣B．C．﹣D．考點：平面向量數(shù)目積的運算．專題：平面向量及應用．剖析：由向量的運算可得=（），=，由數(shù)目積的定義可得．解答：解：∵=，=2，∴=（），=，∴=====，∴?=（）?（）===應選：B評論：此題考察向量數(shù)目積的運算，用已知向量表示未知向量是解決問題的重點，屬中檔題．11．已知函數(shù)

f（x）=sin（2πx+φ）的部分圖象如下圖，點

B，C是該圖象與

x軸的交點，過點

C的直線與該圖象交于

D，E兩點，則（

）?

的值為（

）A．

B．

C．1

D．2考點：平面向量數(shù)目積的運算；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的定義域和值域．專題：平面向量及應用．剖析：依據三角函數(shù)的圖象和性質，求出函數(shù)的周期，利用向量的基本運算和向量的數(shù)目積定義即可獲得結論．解答：解：∵函數(shù)

f（x）=sin（2πx+φ）的周期

T=

，則

BC=

，則

C點是一個對稱中心，則依據向量的平行四邊形法例可知：

=2

?∴（

）?

=

=2×

=．評論：此題主要考察向量的數(shù)目積運算，利用三角函數(shù)的圖象和性質是解決此題的重點．12．已知P為三角形ABC內部任一點（不包含界限），且知足(﹣）?（+﹣2）=0，則△ABC的形狀必定為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍三角形D．等腰三角形考點：平面向量數(shù)目積的運算．專題：平面向量及應用．剖析：利用向量的三角形法例和平行四邊形法例、向量垂直于數(shù)目積的關系即可得出．解答：解：∵，=，（﹣）?（+﹣2）=0，∴=0．而必定經過邊AB的中點，∴垂直均分邊AB，即△ABC的形狀必定為等腰三角形．評論：此題考察了向量的三角形法例和平行四邊形法例、向量垂直于數(shù)目積的關系、等腰三角形的定義，考察了推理能力，屬于難題．13．如下圖，設P為△ABC所在平面內的一點，而且=+，則△ABP與△ABC的面積之比等于（）A．B．C．D．考點：向量在幾何中的應用．專題：計算題；壓軸題．剖析：此題考察的知識點是向量在幾何中的應用，及三角形面積的性質，由△ABP與△ABC為同底不等高的三角形，故高之比即為兩個三角面積之間，連結CP并延伸后，我們易獲得CP與CD長度的關系，進行獲得△ABP的面積與△ABC面積之比．解答：解：連結CP并延伸交AB于D，∵P、C、D三點共線，∴=λ+μ，且λ+μ=1設=k，聯(lián)合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得λ=，k=3且μ=，∴=+，可得=，∵△ABP的面積與△ABC有同樣的底邊AB高的比等于||與||之比∴△ABP的面積與△ABC面積之比為，應選：C評論：三角形面積性質：同（等）底同（等）高的三角形面積相等；同（等）底三角形面積這比等于高之比；同（等）高三角形面積之比等于底之比．14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，則直線AD經過△ABC的（）A．垂心B．外心C．重心D．心里考點：向量在幾何中的應用．專題：綜合題；平面向量及應用．剖析：第一依據已知條件可知||=||=，又因為=，設=，=，由向量加法的平行四邊形法例可知四邊形AEDF為菱形，從而可確立直線AD經過△ABC的心里．解答：解：∵|AB|=3，|AC|=2∴||=||=．設=，=，則||=||，∴==+．由向量加法的平行四邊形法例可知，四邊形AEDF為菱形．∴AD為菱形的對角線，AD均分∠EAF．∴直線AD經過△ABC的心里．應選：D．評論：此題考察向量加法的平行四邊形法例及其幾何意義，屬于中檔題．15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為邊BC的三均分點，則=（）A．B．C．D．考點：向量在幾何中的應用；平面向量數(shù)目積的運算．專題：計算題．剖析：先判斷三角形形狀，而后成立直角坐標系，分別求出，向量的坐標，代入向量數(shù)目積的運算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴依據余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=知足勾股定理可知∠BCA=90°以C為坐標原點，CA、CB方向為x，y軸正方向成立坐標系∵AC=1，BC=，則C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F(xiàn)分別是Rt△ABC中BC上的兩個三均分點，則E（0，），F(xiàn)（0，）則=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=應選A．評論：此題考察的知識點是平面向量數(shù)目積的運算，此中成立坐標系，將向量數(shù)目積的運算坐標化能夠簡化此題的解答過程．16．已知空間向量知足，且的夾角為，O為空間直角坐標系的原點，點A、B知足，，則△OAB的面積為（）A．B．C．D．考點：平面向量數(shù)目積的運算；三角形的面積公式．專題：平面向量及應用．剖析：由向量的運算可得，，以及，代入夾角公式可得cos∠BOA，由平方關系可得sin∠BOA，代入三角形的面積公式S=，計算可得．解答：解：由題意可得====，同理可得====，而=（）?（）==6×12﹣12=，故cos∠BOA===，可得sin∠BOA==，所以△OAB的面積S===．應選B評論：此題考察平面向量的數(shù)目積和三角形面積的求解，嫻熟掌握公式是解決問題的重點，屬中檔題．17．已知點P為△ABC內一點，且++3=，則△APB，△APC，△BPC的面積之比等于（）A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：3考點：向量在幾何中的應用．專題：計算題；壓軸題．剖析：先將已知向量式化為兩個向量共線的形式，再利用平行四邊形法例及向量數(shù)乘運算的幾何意義，三角形面積公式確立面積之比解答：解：∵++3=，∴+=﹣+），如圖：∵，∴∴F、P、G三點共線，且PF=2PG，GF為三角形ABC的中位線∴====2而S△APB=S△ABC∴△APB，△APC，△BPC的面積之比等于3：2：1應選C評論：此題考察了向量式的化簡，向量加法的平行四邊形法例，向量數(shù)乘運算的幾何意義等向量知識，充分利用向量共線是解決此題的重點18．在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則=（）A．2

B．4

C．5

D．10考點：向量在幾何中的應用．專題：計算題；綜合題．剖析：以D為原點，AB所在直線為

x軸，成立坐標系，由題意得以

AB

為直徑的圓必然經過

C點，所以設

AB=2r，∠CDB=α，獲得

A、B、C

和P各點的坐標，運用兩點的距離公式求出

|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值．解答：解：以D為原點，AB所在直線為x軸，成立如圖坐標系，∵AB是Rt△ABC的斜邊，∴以AB為直徑的圓必然經過C點設AB=2r，∠CDB=α，則A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）∵點P為線段CD的中點，∴P（rcosα，rsinα）2+=2∴|PA|=+rcosα，|PB|2=+=﹣r2cosα，可得|PA|2+|PB|2=r2又∵點P為線段CD的中點，CD=r22所以：==10應選D∴|PC|==r評論：此題給出直角三角形ABC斜邊AB上中線AD的中點P，求P到A、B距離的平方和與PC平方的比值，側重考察了用分析法解決平面幾何問題的知識點，屬于中檔題．二．解答題（共6小題）19．如圖示，在△ABC中，若A，B兩點坐標分別為（2，0），（﹣3，4）點C在AB上，且OC均分∠BOA．（1）求∠AOB的余弦值；2）求點C的坐標．考點：向量在幾何中的應用．專題：綜合題．剖析：（1）由題意可得（2）設點C（x，y），由

OC均分∠BOA

，把已知代入可求可得cos∠AOC=cos∠BOC

即

=

；再由點C在

AB

即

共線，成立對于

x，y

的關系，可求解答：解：（1）由題意可得，，∴==2）設點C（x，y），由OC均分∠BOA可得cos∠AOC=cos∠BOC∵，∴=∴，∴y=2x①又點C在AB即共線，∴4x+5y﹣8=0②由①②解得，∴點C的坐標為評論：此題注意考察了向量的夾角公式的坐標表示的應用，向量共線的坐標表示在三角形中的應用，解題的重點是借助于已知圖象中的條件，靈巧的應用向量的基本知識．20．已知向量=（cosθ，sinθ）和．（1）若∥，求角θ的會合；（2）若，且|﹣|=，求的值．考點：平面向量的坐標運算．專題：計算題．剖析：（1）由題意和共線向量的等價條件，列出對于角θ的方程，求出θ的一個三角函數(shù)值，再依據三角函數(shù)求出角θ的會合．（2）由題意先求出﹣的坐標，依據此向量的長度和向量長度的坐標表示，列出方程求出cos（θ﹣

），由余弦的二倍角公式和

θ的范圍求出

的值．解答：解：（1）由題意知∥∴角θ的會合={θ|θ=（2）由題意得，﹣∴|﹣|=

，則cosθ×cosθ﹣sinθ×（﹣sinθ）=0，∴+2kπ或θ=+2kπ，k∈Z}；=（cosθ﹣+sinθ，sinθ﹣cosθ），=

sinθ=1，sinθ=

，=2

=，即cos（θ﹣）=，由余弦的二倍角公式得，∵，∴＜＜

，∴

＜﹣＜

=

，即

cos（

﹣

①，）＜0，∴由①得cos（﹣）=﹣．評論：此題考察了共線向量的坐標表示和向量長度的坐標表示，利用兩角正弦（余弦）和差公式和二倍角公式進行變形求解，注意由已知條件求出所求角的范圍，來確立所求三角函數(shù)值的符號．21．如下圖，若D是△ABC內的一點，且AB2﹣AC2=DB2﹣DC2．求證：AD⊥BC．考點：向量在幾何中的應用．專題：計算題；證明題；平面向量及應用．剖析：設=，=，=，=，=，將=+、=+代入2﹣2的式子，化簡整理2﹣2=2+2?﹣2?﹣2，聯(lián)合題意2﹣2=2﹣2化簡，可得?（﹣）=0，再聯(lián)合向量的加減法法例獲得?=0，由此聯(lián)合數(shù)目積的性質即可獲得AD⊥BC．解答：解：設=，=，=，=，=，則=+，=+．∴2﹣2=（+）2﹣（+）2=2+2?﹣2?﹣2．∵由已知AB2222，得2﹣22﹣22222，即?（﹣）=0．﹣AC=DB﹣DC=，∴+2?﹣2?﹣=﹣∵=+=﹣，∴?=?（﹣）=0，所以，可得⊥，即AD⊥BC．評論：此題給出三角形ABC內知足平方關系的點D，求證AD⊥BC．側重考察了平面向量的加減法例、向量的數(shù)量積及其運算性質等知識，屬于中檔題．22．已知向量，是△ABC的內角，．

，此中A、B1）求tanA?tanB的值；（2）若a、b、c分別是角A、B、C的對邊，當C最大時，求的值．考點：平面向量的綜合題．專題：計算題．剖析：（1）依據推測出=0，利用向量的數(shù)目積運算聯(lián)合二倍角公式求得tanA?tanB；（2）因為tanA?tanB=＞0，利用基本不等式得出當且僅當時，c獲得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求的值．解答：解：（Ⅰ）由題意得=0即，5cos（A+B）+4cos（A﹣B）=0cosAcosB=9sinAsinBtanA?tanB=．2）因為tanA?tanB=＞0，且A、B是△ABC的內角，tanA＞0，tanB＞0∴當且僅當∴c為最大邊時，有∴sinC=，sinA=

取等號．，tanC=﹣，

=﹣由正弦定理得：=．評論：此題是中檔題，考察三角函數(shù)的化簡與求值，正弦定理的應用，基本不等式的知識，是一道綜合題，考察學生剖析問題解決問題的能力，公式的嫻熟程度決定學生的能