抽象函數(shù)解題方法和技巧

1/13象函數(shù)解題方法與技巧a2yfxfxfaxfxafaxyfx于直線x=a對稱；4、曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y)=0；2/132一、換元法換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問題的基本方法.例1.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)二、方程組法運(yùn)用方程組通過消參、消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問題。例2．設(shè)y=f(x)是實數(shù)函數(shù)(即x,f(x)為實數(shù)),且f(x)-2f(1)=x,求證:|f(x)|>22.x3系數(shù)法如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題。例3．已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,則f(2001)=_______.3/13f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;五、轉(zhuǎn)化法通過變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問題的解決帶來極大的方便.例6．設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)=-2,f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值。4/13也常用遞推法來求解.fxRfx∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若模型法是指通過對題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導(dǎo)我們解決抽象函數(shù)問題的方法。特殊模特殊模型正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)冪函數(shù)f(x)=xn指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosx正切函數(shù)f(x)=tanx余切函數(shù)f(x)=cotx抽象函數(shù)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+T)=f(x)f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)f(x+y)=1-f(x)f(y)f(x)+f(y)例10．已知實數(shù)集上的函數(shù)f(x)恒滿足f(2+x)=f(2-x),方程f(x)=0有5個實根,則這5個根之和=_____________5/1333331 (1)解不等式f(3x-x2)>4；(2)解方程[f(x)]2+f(x+3)=f(2)+12上的單調(diào)性，并說明理由。數(shù)性質(zhì)練習(xí)fxmxmxm7m+12)為偶函數(shù)，則m的值是()A.1B.2C.3D.42.若偶函數(shù)f(x)在(,1]上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()A.f()<f(1)<f(2)B.f(1)<f()<f(2)22C.f(2)<f(1)<f()D.f(2)<f()<f(1)226/133.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最大值為5，那么f(x)在區(qū)間[_7,_3]上是()A.增函數(shù)且最小值是_5B.增函數(shù)且最大值是_5C.減函數(shù)且最大值是_5D.減函數(shù)且最小值是_54.設(shè)f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，則函數(shù)F(x)=f(x)_f(_x)在R上一定是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)5.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()AyxByxCyDy_x2+4xA.是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.是奇函數(shù)但不是減函數(shù)C.是減函數(shù)但不是奇函數(shù)D.不是奇函數(shù)也不是減函數(shù)fxxfxfx是fx11.下列四個命題(1)f(x)=x_2+1_x有意義; (2)函數(shù)是其定義域到值域的映射;其中正確的命題個數(shù)是____________.7/13象函數(shù)解題方法與技巧a28/13yfxfxfaxfxafaxyfx于直線x=a對稱；4、曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線的方程為f(2a-x,2b-y)=0；2二、換元法換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問題的基本方法.例2.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)u故f(x)=-x2+3x+1(0≤x≤2)二、方程組法運(yùn)用方程組通過消參、消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問題。例2．設(shè)y=f(x)是實數(shù)函數(shù)(即x,f(x)為實數(shù)),且f(x)-2f(1)=x,求證:|f(x)|>22.x3解:用1代換x,得f(1)-2f(x)=1,聯(lián)立方程組，得f(x)=-x-2xxx33x33x3系數(shù)法如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題。例3．已知f(x)是多項式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解：由已知得f(x)是二次多項式，設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c9/13有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,則f(2001)=_______.解：令x=y=0，得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,11即f(n+1)-f(n)=1，故f(n)=n，f(2001)=2001222f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)f(x)是奇函數(shù)。因為：令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).五、轉(zhuǎn)化法通過變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問題的解決帶來極大的方便.例6．設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)解：令x=y=0，得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函數(shù).xfx所以f(x)是R上的減函數(shù)，又f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=6故f(x)在[-3,3]上的最大值為6,最小值為-6.10/13又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)xx，可令m<n且使x1=2m,x2=2nx由(1)得f(x1)-f(x2)=f(|x1|=f(2m-n)=(m-n)f(2)=m-n<0x2(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性質(zhì)，得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(4)也常用遞推法來求解.fxRfx∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若解：由f(x+1)≤f(x)+1得f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4又∵f(x+5)≥f(x)+5又∵f(x+1)≤f(x)+1fxfxfx)+1又∵f(1)=1模型法是指通過對題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導(dǎo)我們解決抽象函數(shù)問題的方法。特殊模特殊模型正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)抽象函數(shù)f(x+y)=f(x)+f(y)11/13f(x+T)=f(x)f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)f(x+y)=1-f(x)f(y)冪函數(shù)f(x)=xn指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosx正切函數(shù)f(x)=tanx余切函數(shù)f(x)=cotxf(x)+f(y)例10．已知實數(shù)集上的函數(shù)f(x)恒滿足f(2+x)=f(2-x),方程f(x)=0有5個實根,則這5個根之和=_____________fxfxf(2-x),方程f(x)=0有5個實根，可以將該函數(shù)看成是類似于二次函稱解：因為實數(shù)集上的函數(shù)f(x)恒滿足f(2+x)=f(2-x),方程f(x)=0有5個實根，所以函數(shù)關(guān)于直線x=2(1)(1)1解不等式f(3x-x2)>4；(2)解方程[f(x)]2+f(x+3)=f(2)+12分析：可聯(lián)想指數(shù)函數(shù)f(x)=ax。解：(1)先證f(x)>0，且單調(diào)遞增，因為f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x>0時f(x)>1，所以f(0)=1對于任意x<0，則-x>0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，∴f(x)=1f(-x)∵-x>0，f(-x)>1∴0<f(x)<1綜上所述f(x)>0所以f(x1)-f(x2)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>012/13不等式f(3x-x2)>4可化為3x-x2>2解得：{x|1<x<2}(2)f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，原方程可化為：[f(x)]2+4f(x)-5=0，解得f(x)=1或f(x)=-5(舍)上的單調(diào)性，并說明理由。分析：可聯(lián)想冪函數(shù)f(x)=xn?xxfxfxfx所以f(x1)>f(x2)，故f(x)在R+上為減函數(shù)。函數(shù)性質(zhì)答案23.A奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，左右兩邊有相同的單調(diào)性4.