元微積分(廈門(mén)大學(xué)校本部理工A)期中試卷解答

廈門(mén)大《元微積（A》課期中試＿＿＿＿學(xué)＿＿＿＿系＿＿＿年級(jí)＿＿＿專理工類高數(shù)A期中試卷（校本部）試卷類型（卷）一解題共）1、

計(jì)算下列各題題6分共分）（1）

lim(

n

2

1n

2

n

)

;解：因?yàn)?1nn2n

n

2

nn

，即(122(n2)2n2

2

n(2(

而

limn

2(2

limn

12

，故

lim(

1n2n2

n1)n2

（2）lim0解：因?yàn)?/p>

cosx2cosxx1

2

(24x2x)(x)x2426

4

(

4

)

，

cosx

2

x41)(x)x2

4

(x

4

)

，故

lim0

xx

lim

x44)x4(x4)

（3）求函數(shù)

y)x

11

12,x

的導(dǎo)數(shù)解

y

1ln)1

arin，是，

c

si[l2x)2

2])

1.12/

（4）求函數(shù)

yx)

sint由參數(shù)方程所確定，求y

yx

t

及

d2ydx2

t

π2

.解：

dt，故d1t

yx

t

；d2ytt)sindx(1t)2

2

t1tt

2

，故

2yx2

t

π2

（5）設(shè)

f()x

2

，(0).解：則

f(10)(x)x2xf1()89

π9π)x))22

，2、

分)求函數(shù)

y

x|x|x

的間斷點(diǎn)，并判斷其類型（說(shuō)明理由解：因?yàn)?/p>

limx

x|x|xx|故為數(shù)yx2xx2x

的第二類間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)由于

limx2

x|xxx|x|，lim2，以，2為數(shù)yx2xxx

的第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)而lim1

||(2lim2x(xx

，故

x

為函數(shù)

y

x|x|x2

的第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)）.3、

分設(shè)

yx)

是由方程

x

2

y

2

ye

xy

2

所確定的隱函數(shù)，求曲線

yx)在(0,2)的切線方程和法線方程.解

對(duì)方程

x

22yexy

2

兩邊關(guān)于

求導(dǎo)數(shù)，則有xyy(y

，令x，y2，有y

4，于是所求切線斜率3于是，所求切線方程為

4yx3

，即

x

，法線方程為

y

34

x

，即

x

/

4分）設(shè)

f(x)b

,x

試問(wèn)sinxx（1）

為何值時(shí)，

f(x(

內(nèi)連續(xù)？（）(x)

在

x0

處是否可導(dǎo)解

只須考慮

f(x在處連續(xù)性和可（1）為使

f(x)

在

x0

處連續(xù)，則有即

limf(xlimf()(0)x0x

，（2）

f

1x(0)limx0

，f

(0)

xxlim0x0

故

f(x)

在

xxx1limlimx02x0x0處不可導(dǎo).

5分討論函數(shù)

f(x)

2

的單調(diào)性，并求出該函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的極值和最.解

f

)(

2(

0

，x或

f

f(x)

極小值

極大值函數(shù)

f(x)

2

在(及(2,調(diào)減少，在(0,2)上調(diào)增加于，函數(shù)

f(x)

2

在

x0

處取得極小值，極小值為

f(0)

，在

x

處取得極大值，極大值為

f(2)4e

由于

limf(xlimf()

，因此，函數(shù)

f(x

沒(méi)有最大值，在處得最小值x

x分）設(shè)函數(shù)

f(x)在x0連續(xù)，且

x0

f()e

，求））limx0

f(tanxx)

/

n1k2nn1k2n解：因?yàn)楹瘮?shù)

f(x在處續(xù)，故f(0)limf(lim

f(x)e

（1）

f

x0

f()f(xxlimxx

；（2）

limx0

f(tanxx)f(tanx)xxxln(1)x0ln(1)tantan)xx030

分）設(shè)

20

，

2n

（

2,3,

明數(shù)列

{}n

收斂，并求極限

limnn

；解

2n2

2

12

先歸納法證明：

xn

(

)

且

2n事實(shí)上，

2，x201

22

x22020

0

假設(shè)結(jié)論對(duì)時(shí)立，即

2，么

時(shí)，2

122

x，xk2k

2且

k

x)，xk

故數(shù)列

{}n

單調(diào)增加，且有上界，于是極限

limnn

存在，設(shè)

limnn

由

xx2n

兩邊取極限，得

2

1，解得，為2

2n

，所以，limxnn

152

二應(yīng)題分在橢圓

x222b2

的第一象限部分上求一點(diǎn)

P

，使該點(diǎn)處的切線、橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最/

0000xax0000xax解：過(guò)橢圓上任意點(diǎn)

(xy)0

的切線斜率

y

0

滿足

2x2y0ab

)02

，

)0

2x02y0

，(y0)0

，切線方程為

yy0

2x0(x)y0

分令

y

與

x0

，求得x

軸上的截距為：a2yxyx0

，于是該切線與橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積為：

21Sx)x40

其中

x2by222a

，代入得

S(x)

1a3b22

ab,x(0,a

問(wèn)題是求：

Sx

a32

x)

的最小值，此問(wèn)題又與求函數(shù)

f)x

2

(

2

2

)

在閉區(qū)間[0,]上大值等.由

f

a

2

2

)

3

，a

2x

，即xx0

22

ax

（舍去注意到

ff)f(x)0

，故

x0

22a是(x)在[]上大值點(diǎn)，因此b222

即為所求的點(diǎn)P.三證題每7，14分（1函

f(x在[上續(xù)且[0,1]上意點(diǎn)x有0f()明[中必存在一點(diǎn)使得

f(c)

證明：作輔助函數(shù)

F()f()

，由于對(duì)

[

上任意一點(diǎn)

有

f()

，則Ff(0)，(1)f

若

F(0)，??；F，??；若

F(0)

且

F(1)

，利用零點(diǎn)定理，知在

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得

F()

綜上，在

[

上至少存在一點(diǎn)

，使得

F()

，即

f(c)

（2）設(shè)數(shù)

f(x