模糊理論在多目標(biāo)優(yōu)化問題求解中的應(yīng)用

模糊理論在多目標(biāo)優(yōu)化問題求解中的應(yīng)用摘要：本文結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化問題模型的特點(diǎn)，提出了一種基于模糊理論的多目標(biāo)優(yōu)化算法。同時(shí)與目前常用的幾種多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解方法作一比較，結(jié)果表明，本文所提多目標(biāo)模型比單目標(biāo)具有更好的綜合優(yōu)勢(shì)，算法快速可靠。關(guān)鍵詞：多目標(biāo)優(yōu)化模糊優(yōu)化引言隨著工程問題日益的復(fù)雜化，傳統(tǒng)的、確定性的單目標(biāo)優(yōu)化問題已不能滿足實(shí)際要求，在工程技術(shù)、生產(chǎn)管理以及國(guó)防建設(shè)等部門中，所遇到的問題往往需要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)在某種意義下的最優(yōu)化問題，像這種含有多個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化問題稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題，亦稱多目標(biāo)決策。多目標(biāo)優(yōu)化要求各個(gè)分目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)，這是比較理想的事情，但是比較困難，不能期望各分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)都重疊在一起，即同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解，有時(shí)甚至?xí)a(chǎn)生完全對(duì)立矛盾的情況。這就需要各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解之間進(jìn)行"協(xié)調(diào)”，以致得到整體最優(yōu)方案。目前尋求滿意解的方法很多，大體上可歸納為兩大類，一類是基于向量?jī)?yōu)化理論和效用理論的大系統(tǒng)多目標(biāo)多模型遞階分析法。另一類是基于模糊集理論和模糊優(yōu)選決策理論的多階段多層次多目標(biāo)模糊優(yōu)選法［1］。這兩類方法都是在問題非劣解集中通過對(duì)有限個(gè)方案的比較篩選來優(yōu)選方案，其前提是首先要形成只包含有限個(gè)方案的非劣解集。但在實(shí)際中，有些問題的非劣解并非是有限的，難以列出全部非劣解。因此，基于單目標(biāo)最優(yōu)解模糊化基礎(chǔ)上的多目標(biāo)模糊優(yōu)化方法似乎更受到?jīng)Q策者的歡迎。該方法可以反映各個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)解和多目標(biāo)滿意解之間的相互關(guān)系，能較好地考慮不同性質(zhì)的、相互矛盾的多個(gè)目標(biāo)的滿意程度，在綜合考慮各目標(biāo)的條件下，尋求一合適的優(yōu)化方案，使各個(gè)目標(biāo)都盡可能處于較優(yōu)狀態(tài)，為解決多目標(biāo)系統(tǒng)優(yōu)化問題提供了新的途徑。一、 多目標(biāo)優(yōu)化含有多個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化問題稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題，亦稱多目標(biāo)決策。由于求最大都可轉(zhuǎn)化為求最小，所以多目標(biāo)最優(yōu)化問題的一般形式為：或者記作：當(dāng)p=1時(shí)，式（1.1）和式（1.2）就是非線性規(guī)劃，稱為單目標(biāo)規(guī)劃。當(dāng)p>1時(shí)，則為多目標(biāo)規(guī)劃。在具體處理多目標(biāo)規(guī)劃問題時(shí)，多目標(biāo)系統(tǒng)的優(yōu)化一般難以找到一個(gè)最優(yōu)解，大多是在權(quán)衡協(xié)調(diào)各個(gè)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，依據(jù)問題要求，尋求既有一定精確度又有實(shí)際意義的最佳均衡解，即決策的折衷解。為了有效求解，需運(yùn)用模糊集理論的知識(shí)，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題。二、 多目標(biāo)模糊優(yōu)化方法模糊決策的概念提出之后，數(shù)學(xué)規(guī)劃問題就一直與模糊集理論緊密地聯(lián)系在一起。其中，Zimmermann于1978年首次提出了模糊多目標(biāo)線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。模糊多目標(biāo)決策必須解決幾個(gè)基本問題［2］：（1） 選擇適當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù)來刻畫模糊目標(biāo)或模糊追求的特性；（2） 采用某個(gè)或某些模糊算子對(duì)不同的目標(biāo)進(jìn)行綜合，以形成總體的滿意性測(cè)度；（3） 確定模糊多目標(biāo)問題的數(shù)學(xué)模型；（4） 推導(dǎo)出求解模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃的具體算法；由于多目標(biāo)系統(tǒng)的優(yōu)化一般難以找到一個(gè)最優(yōu)解，因而力求使選擇的結(jié)果"盡可能地”“接近”理想目標(biāo)。Zimmermann于1978首先提出了求解經(jīng)典多目標(biāo)規(guī)劃的模糊算法，該算法的基本思想是將一個(gè)多目標(biāo)的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)等價(jià)的具有單一目標(biāo)的模糊線性規(guī)劃問題。（一） 均方根形式的模糊化目標(biāo)函數(shù)應(yīng)用以上方法，文獻(xiàn)［3］提出了一種模型，將式（1.1）形式的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下形式：上式中，為目標(biāo)函數(shù)分別在約束條件下所得到的最優(yōu)解。在該模型中，為了得到一個(gè)總體的折衷解，在約束條件下分別求出各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，同時(shí)將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)單一的復(fù)合目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)最大可能地實(shí)現(xiàn)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化，且對(duì)各目標(biāo)函數(shù)沒有偏重，即權(quán)重系數(shù)相同，不能體現(xiàn)決策者的偏好。但在實(shí)際問題中，決策者可能更偏重于某個(gè)目標(biāo)，希望盡可能地實(shí)現(xiàn)某個(gè)目標(biāo)的最大化，而其他目標(biāo)的重要性相對(duì)低一些，所以該模型不適用于該類問題。同時(shí)該模型采用了均方根形式的目標(biāo)函數(shù)，形式較復(fù)雜，因此對(duì)于式（2.1）形式的模型求解比較困難。相對(duì)于該模型，本文所提的模型在求解方面將容易的多。（二） 采用隸屬度模糊化目標(biāo)函數(shù)為求解式（1.1）形式的多目標(biāo)優(yōu)化問題，本文首先對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)分配一個(gè)模糊愿望值，并用相應(yīng)的模糊集合來加以描述，用模糊愿望的隸屬度來表示決策者對(duì)相應(yīng)目標(biāo)水平的滿意程度。即對(duì)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造相應(yīng)的隸屬度函數(shù)，且滿足，并可用表示第i個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的程度。越趨近于1，表示目標(biāo)函數(shù)越趨近于最優(yōu)解。然后根據(jù)最大隸屬度原則，將原問題轉(zhuǎn)化為求各目標(biāo)函數(shù)隸屬度的公共閥值，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)問題求解。在上述模糊優(yōu)化算法中，式（1.1）中的所有模糊愿望的隸屬度函數(shù)都被定義為如下的線性函數(shù)：其中式（2.2）表示升半梯形的隸屬度函數(shù)，適用于求解形式的最大值優(yōu)化問題，而式（2.3）表示的降半梯形的隸屬度函數(shù)則適用于求解形式的最小值優(yōu)化問題。分別表示如圖2.1和圖2.2：圖2.1升半梯形隸屬度函數(shù) 圖2.2降半梯形隸屬度函數(shù)式中，表示在式（1.1）所示的多目標(biāo)最優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)中每個(gè)目標(biāo)函數(shù)分量在約束條件，下所求得的最大值與最小值。圖2.1中曲線在0與之間的值為0，表示目標(biāo)函數(shù)低于是不可接受的，在之間曲線向上傾斜，表示的值越趨近于1，目標(biāo)函數(shù)越接近最大值（即最優(yōu)值），當(dāng)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，的值為1，實(shí)現(xiàn)程度最大；圖2.2中曲線在之間向下傾斜，表示目標(biāo)函數(shù)越遠(yuǎn)離最優(yōu)解，越不可接受。針對(duì)上述形式的隸屬函數(shù)，可采用取最小算子來綜合不同目標(biāo)的隸屬水平以得到?jīng)Q策的整體滿意程度。取為所有隸屬函數(shù)中最小的隸屬變量，可稱之為滿意度。式（1.1）所示多目標(biāo)最優(yōu)化問題由隸屬函數(shù)導(dǎo)出的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題被歸結(jié)為下面的模型：（2.4）由于式（1.1）所示的多目標(biāo)最優(yōu)化問題為求解目標(biāo)極小值問題，每一個(gè)目標(biāo)分量對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)均采用式（2.2）所示的降半梯形的隸屬度函數(shù)。因此，式（2.4）等價(jià)于如下的線性規(guī)劃問題：(2.5)這樣對(duì)于多目標(biāo)最小化問題，引入模糊隸屬度變量后，可化為簡(jiǎn)單的單目標(biāo)優(yōu)化問題，若約束條件為線性函數(shù)，則整個(gè)模型便成為一個(gè)單目標(biāo)線性優(yōu)化問題，采用單純法形法求解快速可靠。將模糊化理論引入到本文的多目標(biāo)規(guī)劃問題當(dāng)中，能夠同時(shí)兼顧各個(gè)目標(biāo)函數(shù)，使各個(gè)目標(biāo)在約束條件下都最大程度地實(shí)現(xiàn)，避免了各個(gè)目標(biāo)函數(shù)相互矛盾的缺點(diǎn)，能夠得到一個(gè)比較理想的折中值。三、結(jié)論多目標(biāo)系統(tǒng)的優(yōu)化難以找到一個(gè)最優(yōu)解，大多是在權(quán)衡協(xié)調(diào)各個(gè)目標(biāo)的基礎(chǔ)上尋求一個(gè)折中解的問題，求解的方法很多。本文所提模型雖然也無法很好地體現(xiàn)決策者的偏好，但其算法快速可靠，可以反映各個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)解和多目標(biāo)滿意解之間的相互關(guān)系，能較好地考慮不同性質(zhì)的、相互矛盾的多個(gè)目標(biāo)的滿意程度，在綜合考慮各目標(biāo)的條件下，尋求一個(gè)合適的優(yōu)化方案，使各個(gè)目標(biāo)都盡可能處于較優(yōu)狀態(tài)，為解決多目標(biāo)系統(tǒng)優(yōu)化問題提供了新的途徑，因此受到很多領(lǐng)域決策者的青睞。參考文獻(xiàn)：郭耀煌.運(yùn)籌學(xué)原理與方法[M].成都.西南交通大學(xué)出版社.1994；李榮鈞.模糊多準(zhǔn)則決策理論與應(yīng)用.北京.科學(xué)出版社.2002.262-276；LeAnhTuan，KankarBhattacharya，JaapDaalder.Transmissioncongestionmanagementinbilateralmarkets：Aninterruptibleloadauctionsolution.ElectricPowerSystemsResearch74(2005):379-389；⑷薛毅.最優(yōu)化原理與方法.北京.北京工業(yè)大學(xué)出版社.2001：36-51；徐玖平、胡知能等.運(yùn)籌學(xué).北京.：科學(xué)出版