《三角函數(shù)的簡單應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(部級優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

三角函數(shù)的簡單應(yīng)用教學(xué)目標(biāo):1、對一些簡單的周期現(xiàn)象，能夠選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型，刻畫和解決實(shí)際問題。2、能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律，能根據(jù)問題的實(shí)際意義，利用模型解釋有關(guān)實(shí)際問題，為決策提供依據(jù)。3、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實(shí)際計算的能力。教學(xué)重點(diǎn)：體會三角函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：對問題實(shí)際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實(shí)際問題中抽象出三角函數(shù)模型。教學(xué)媒體：

幾何畫板教學(xué)過程：導(dǎo)入語：我們已經(jīng)知道周期現(xiàn)象是自然界最常見的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型，這一節(jié)課，我們將通過實(shí)例讓同學(xué)們體會如何利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題。水車問題與三角函數(shù)例1、水車是一種利用水流的動力進(jìn)行灌溉的工具，如圖是一個水車工作的示意圖，它的直徑為4.8m,其中心（即圓心）O距水面1.2m,如果水車逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈的時間是90s.在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P，點(diǎn)P距水面的高度為h(m).(1)求h與時間t的函數(shù)解析式，并作出這個函數(shù)的簡圖.(2)討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化.若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？【師】隨著時間t的變化h有著怎樣的變化？【生】呈周期變化?！編煛窟@樣，我們就要去找有關(guān)角的關(guān)系，那位同學(xué)能說一下你的想法？學(xué)生代表發(fā)言，老師板書。解：不妨設(shè)水面的高度為0,當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到水面以下時，P點(diǎn)距水面的高度為負(fù)值.顯然，h與t的函數(shù)關(guān)系是周期函數(shù)的關(guān)系.如圖，設(shè)水車的半徑為R，R=2.4m;水車中心到水面的距離為b,b=1.2m;為;水車旋轉(zhuǎn)一圈所需的時間為T;由已知T=90s，單位時間（單位：s）旋轉(zhuǎn)的角度（單位：rad）為.從圖中可以看出：，所以.這就是P點(diǎn)距水面的高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式?！編煛空l有不同意見？強(qiáng)調(diào)定義域。【師】找學(xué)生板演圖象。學(xué)生板演:師生共同解決第二問：如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面距離的改變，而使函數(shù)解析式中所加參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時參數(shù)b減??；水面回落時參數(shù)b增大.如果水車輪轉(zhuǎn)速加快，將使周期T減小，轉(zhuǎn)速減慢則使周期T增大。課時小結(jié)：面對實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，是一項(xiàng)重要的基本技能.這個過程并不神秘，就像這個例題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個過程是很自然的。潮汐問題與三角函數(shù)：1．觀看視頻，例題引入2．問題提出，探究解決【師】你作為船長，你希望知道關(guān)于那個港口的一些什么情況？【生】水深情況?！編煛渴堑?，我們要到一個陌生的港口時，是非常想得到有關(guān)那個港口的水深與時間的對應(yīng)關(guān)系。請同學(xué)們看下面這個問題。問題探究1：如圖所示，下面是錢塘江某個碼頭在今年春季每天的時間與水深的關(guān)系表：時間0.003.006.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？小組合作發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言?？赡芙Y(jié)果：1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。2）水的深度開始由5.0米增加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米后，又開始減少。3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。4）學(xué)生活動：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數(shù)據(jù)的兩種形式）

5）教師呈現(xiàn)作圖結(jié)果，學(xué)生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學(xué)過哪個函數(shù)類型非常的類似？追問為什么類似正弦型函數(shù)（排除法，關(guān)鍵在于周期性）。（學(xué)生活動，求解解析式）得到的是一個刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個檢驗(yàn)過程，教師點(diǎn)明：建模過程——選模，求模，驗(yàn)?zāi)?，?yīng)用。有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學(xué)生小組合作討論回答，如周期、單調(diào)性、每時每刻的水深。學(xué)生計算幾個值，最后教師呈現(xiàn)水深關(guān)于整點(diǎn)時間的數(shù)值表時刻0.001.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.0011.00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時刻12.0013.0014.0015.0016.0017.0018.0019.0020.0021.0022.0023.00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754【師】有了水深關(guān)于時間的函數(shù)模型以后，作為船長考慮的問題還沒有結(jié)束，因?yàn)榇辉谶M(jìn)出港時每艘船只的吃水深度是不一樣，下面我們就看一看把這兩方面的情況都考慮進(jìn)去的一個問題：問題探究2：一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（師生一起分析）用數(shù)學(xué)的眼光看，這里研究的是一個怎樣的數(shù)學(xué)問題？水深米

得出，即，（師生齊分析）解三角不等式的方法

令學(xué)生活動：操作計算器計算，

結(jié)合電腦呈現(xiàn)圖象

發(fā)現(xiàn)：在[0，24]范圍內(nèi)，方程的解一共有4個，從小到大依次記為：

那么其他三個值如何求得呢？（學(xué)生思考）

得到了4個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值后，結(jié)合圖象說說貨船應(yīng)該選擇什么時間進(jìn)港？什么時間出港呢？（學(xué)生討論，交流）可能結(jié)果：【生1】貨船可以在0時30分鐘左右進(jìn)港，早晨5時30分鐘左右出港；或者是中午12時30分鐘左右進(jìn)港，在傍晚17時30分鐘左右出港?！旧?】貨船可以在0時30分鐘左右進(jìn)港，可以選擇早晨5時30分，中午12時30分，或者傍晚17時30分左右出港?！▽W(xué)生討論，最后確定方案1為安全方案，因?yàn)楫?dāng)實(shí)際水深小于安全深度時，貨船盡管沒有行駛，但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥，即使后來水位上漲，也很可能船身不再上浮）剛才整個過程，貨船在進(jìn)港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃深深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實(shí)際情況往往是貨船載滿貨物進(jìn)港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，這樣一來當(dāng)兩者都在改變的時候，我們又該如何選擇進(jìn)出港時間呢？請看下面問題：問題探究3：在探究2條件中，若該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

（學(xué)生討論）安全即需要：實(shí)際水深安全水深，即：

，

討論求解方法：用代數(shù)的方法？幾何的角度？（電腦作圖并呈現(xiàn)）

通過圖象可以看出，當(dāng)快要到P時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么P點(diǎn)的坐標(biāo)如何求得呢？（學(xué)生思考，討論，交流）求

P點(diǎn)橫坐標(biāo)即解方程

數(shù)形結(jié)合，二分法求近似解：

由圖得點(diǎn)P點(diǎn)橫坐標(biāo)在[6，7]，故我們只需要算出6，6.5，7三個時刻的安全水深與實(shí)際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。時間實(shí)際水深安全水深是否安全6．05米4．3米安全6．54．2米4．1米較安全7．03．8米4．0米危險貨船應(yīng)該在6時30分左右駛離港口。（可能有的同學(xué)有些異議，可以討論）

從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中，就會出現(xiàn)貨還沒有卸完，不得已要暫時駛離港口，進(jìn)入深水區(qū)，等水位上漲后在駛回來。這樣對公司來說就會造成才力、物力上的巨大浪費(fèi)？那該怎么來做呢？

（學(xué)生討論）

可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。

3．課時小結(jié)，認(rèn)識深化

（師生一起歸納）

回顧整個探究過程，經(jīng)歷了第一階段：收集數(shù)據(jù)-----畫散點(diǎn)圖第二階段：根據(jù)圖象特征---選模、求模、驗(yàn)?zāi)５谌A段：函數(shù)模型應(yīng)用在整個探究過程，我們用到數(shù)學(xué)常見的一些思想方法：（1）對實(shí)際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；

（2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想；

（3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想；

（4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。課堂練習(xí)：已知點(diǎn)P是單位圓上的一個質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置開始，按逆時針方向以角速度做圓周運(yùn)動，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于運(yùn)動時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為（）A