新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專題講義第19講 不等式恒成立之雙變量最值問題（解析版）

第19講不等式恒成立之雙變量最值問題一、解答題1．（2021·山西晉中·三模（理））已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對任意，都有恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）的最小值為.【分析】（1）利用切線求出；（2）先把恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，研究單調(diào)性，利用圖像得到，從而求出的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象相切于，因?yàn)?，所以，則且，即，解得：.（2）若對任意，都有恒成立，得.假設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，.取，則當(dāng)時(shí)，，而，矛盾；故.當(dāng)時(shí)，由，得，即.下證：能取到.當(dāng)時(shí)，.記，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，即.所以.即對任意恒成立，故的最小值為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.2．（2021·浙江臺(tái)州·三模）已知函數(shù)，其中.(為自然對數(shù)的底數(shù))（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若時(shí)，在上恒成立.當(dāng)取得最大值時(shí)，求的最小值.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）令，則，則由題意可得在上單調(diào)遞增，所以，而，則，，則可得，從而得，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可【詳解】解：（1）由，得，所以，因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，（2），令，則，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)，綜上，的最小值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，解題的關(guān)鍵是由題意求出，從而得，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題3．（2021·河南·鄭州一中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，（2）若關(guān)于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.【答案】（1）答案見解析.（2）【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）先根據(jù)（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系求出，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）f′(x)=aex﹣1，當(dāng)a≤0時(shí)，<0，f(x)在R上單調(diào)遞減，若a>0時(shí)，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，在x>﹣lna時(shí)，>0，f(x)為增函數(shù)，在x<﹣lna時(shí)，<0，f(x)為減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）f(x)=aex﹣x，由題意f(x)min≥b，由（1）可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減，無最小值，不符合題意，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，∴，設(shè)h(a)，則，a∈(0，1]，<0；a∈[1，+∞)，≥0，∴h(a)min=h（1）=1.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及和最值的關(guān)系，考查了函數(shù)恒成立的問題，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.4．（2021·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若，恒有成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，利用分離參數(shù)法求出的范圍即可；（2）設(shè)，，根據(jù)條件求出的范圍后，根據(jù)，可得的最小值.【詳解】解：（1）由，得，由在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，則，∴，∴的取值范圍為.（2）設(shè)，，則.設(shè)，則，∴單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，∴.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由于為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，而，，由零點(diǎn)存在性定理，必存在一個(gè)零點(diǎn)，使得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此只需，∴，∴，從而，綜上，的取值范圍為，因此.設(shè)，則，令，則，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題.5．（2021·黑龍江·牡丹江一中高三期末（理））已知函數(shù).（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，求的最小值.【答案】（1）見解析；（2）【詳解】試題分析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，由題意得，則，分情況和，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)函數(shù)，，分易知不成立，，計(jì)算函數(shù)的最大值為，由，得，令，，求最值即可.試題解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，由題意得，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，∴，，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，∴不可能恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得,∵不等式恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，，∴滿足即可，∴，∴，令，，.令，，由，得，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，∵時(shí)，，時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴時(shí)，取最小值，，∴的最小值為.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.6．（2021·山西省長治市第二中學(xué)校高三月考（文））已知函數(shù)，，其中（1）若，且的圖象與的圖象相切，求的值；（2）若對任意的恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）1【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程公式得到，解得答案.（2）令，考慮和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)性，計(jì)算最小值得到，令，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.（1）因?yàn)榈膱D象與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，又，所以，解得，.（2）因?yàn)榈葍r(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，對于任意正實(shí)數(shù)恒成立，單調(diào)遞增，故由得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，由，得，又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，即，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，故，所以的最大值為1，此時(shí)，綜上所述，的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了切線問題和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，其中分類討論和將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.7．（2021·湖南湘潭·一模）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，（）．（1）若，且的圖象與的圖象相切，求的值；（2）若對任意的恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為求得最小值問題，進(jìn)而分,兩種情況討論求解，當(dāng)?shù)茫贅?gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，又，所以，解得，．所以；（2）因?yàn)榈葍r(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，所以，故，此時(shí)的最大值為0；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，得，又?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，即，所以，令（），則，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以，故，所以的最大值為；綜上所述，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，不等式等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸，分類與整合的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力.本題第二問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為求得最小值問題，進(jìn)而分,兩種情況討論求解.8．（2021·遼寧·高三月考）已知函數(shù).（1）若時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）把不等式有解，轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解；（2）求得導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，與題意不符；當(dāng)時(shí)，結(jié)合單調(diào)性得到，得到，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，可得，即，設(shè)函數(shù)，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，同理可求得單調(diào)遞減區(qū)間為.所以，所以，解得所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由函數(shù)，可得，若，即時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又由時(shí)，，與題意不符.若，即時(shí)，令，即，解得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以所以，所以，設(shè)，所以令，即，解得又因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減﹐所以，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解不等式的恒成立與有解問題的常用方法：1、分離參數(shù)法：一般命題的情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離出參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求得新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題的情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各校范圍并在一起，即為所求的范圍.9．（2021·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）求的最大值；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)題意可知，函數(shù)在上有極值點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出的最大值；（3）分析可得，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，以及函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)在上有極值點(diǎn)，，則，所以，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，，可得；（2）若時(shí)，對任意的，，在上遞減，，，，所以，，則；若，對任意的，，在上遞增，，，，所以，，則；若，由，可得或；由，可得.則在上遞增，在上遞減，在上遞增；，，，．因?yàn)椋?，函?shù)關(guān)于對稱，，則，若，，，則；若，，，則，則；若，，，則，則.綜上；（3）先考慮必要性，若對任意恒成立，首先必須滿足.①若，，可得，不合乎題意；②若，，解得，此時(shí)；③若時(shí)，，解得，此時(shí).綜上，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，由（2）可知，，則，由，則，所以若，則，，由，則，則，令，則，對于函數(shù)，對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，對于函數(shù)，對任意的恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，因此，.綜上：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號零點(diǎn)；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.10．（2021·廣西·南寧三中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，．(1)當(dāng)，時(shí)，求證：；(2)若恒成立，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】(1)討論的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，求出的最小值，作差比較即得；(2)分類討論確定a>0，不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)建函數(shù)并求其最大值，進(jìn)而計(jì)算出ab，并再求函數(shù)最大值而得.【詳解】(1)證明：當(dāng)，時(shí)，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)椋裕?2)依題意：，令，則有恒成立，當(dāng)時(shí)，對任意的實(shí)數(shù)，當(dāng)且時(shí)，即，，矛盾；所以，，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在時(shí)有最大值，因此，所以，設(shè)，則，時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取最大值，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，故的最大值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：含參數(shù)的問題，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見類型：(1)問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的,要進(jìn)行分類討論的；(2)問題中的條件是分類給出的；(3)解題過程不能統(tǒng)一敘述,必須分類討論的；(4)涉及幾何問題時(shí),由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論.11．（2021·新疆·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)關(guān)于的不等式對任意恒成立時(shí)的最大值為，其中求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間;（2）變量分離，構(gòu)造新函數(shù)并求導(dǎo)，然后分類討論得解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在為減函數(shù)，為增函數(shù).（2）因?yàn)榈牟坏仁綄愠闪?，所以，對恒成立，令，即，令，即，所以在上遞增；①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)，，即，所以在上遞增，所以，故；②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?，，即，所以在上遞減，所以，故；③當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，故在上單減，上單增，所以，所以，設(shè)，則，所以在上遞增，所以.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立確定參數(shù)范圍常用方法：①變量分離，構(gòu)造函數(shù)；②對所構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)；③構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后仍不能判斷符號，可設(shè)其分子再得新函數(shù)，再二次求導(dǎo)討論.12．（2021·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于的不等式對恒成立時(shí)的最大值為，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，解對應(yīng)的不等式，即可求出單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）先由題中條件，得到對恒成立，令，對其求導(dǎo)，利用分類討論的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，得出最值，即可求解出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以①?dāng)即時(shí)，恒成立，即恒成立，所以單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)即時(shí)，方程的兩根為：，，且，由得或；由得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，；綜上當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，②當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，；（Ⅱ）關(guān)于的不等式對恒成立，等價(jià)于對恒成立，因?yàn)?，，所以，令，則，令，則在上恒成立，所以在上遞增；則，即；①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)椋?，?dāng)，，即，所以在上遞增，所以，故；②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?，，即，所以在上遞減，所以，故；③當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，故在上單減，上單增，所以，所以，設(shè)，則，所以在上遞增，所以．綜上所述，．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.13．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)其中（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（3）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到，即可求得切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求得，令，得到，結(jié)合，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由題意得到在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，則令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由，得在上恒成立，設(shè)，則，由，解得，（其中），隨著變化，與的變化情況如下表所示：0↘極小值↗所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的最小值為.由題意得，即.設(shè)，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，，即，時(shí)，有最大值為.【點(diǎn)睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．14．（2021·黑龍江·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間是和；當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）.【詳解】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過的討論，分別令得增