2018年暑期八年級數(shù)學(xué)上冊預(yù)習(xí)課后練習(xí)題集含答案27份含答案詳解

2018蘇科版暑期八年級數(shù)學(xué)上冊

預(yù)習(xí)練習(xí)題集

目錄

第01講圖形的全等課后練習(xí)

第02講全等圖形的性質(zhì)課后練習(xí)

第03講全等三角形的判定之SSS課后練習(xí)

第04講全等三角形的判定之SAS課后練習(xí)

第05講全等三角形的判定之ASA課后練習(xí)

第06講全等三角形的判定之AAS課后練習(xí)

第07講全等三角形的判定之HL課后練習(xí)

第08講全等三角形綜合課后練習(xí)

第09講角平分線的重要性質(zhì)課后練習(xí)

第10講角平分線的判定課后練習(xí)

第11講與角平分線有關(guān)的問題課后練習(xí)

第12講軸對稱課后練習(xí)

第13講垂直平分線課后練習(xí)

第14講等腰三角形課后練習(xí)

第15講等腰三角形的判定課后練習(xí)

第16講等邊三角形的性質(zhì)課后練習(xí)

第17講等邊三角形的判定課后練習(xí)

第18講勾股定理課后練習(xí)

第19講平方根與算術(shù)平方根課后練習(xí)

第20講勾股定理的使用課后練習(xí)

第21講勾股定理的逆定理課后練習(xí)

第22講勾股定理的應(yīng)用課后練習(xí)

第23講勾股定理的應(yīng)用課后練習(xí)

第24講勾股定理的應(yīng)用課后練習(xí)

第25講立方根課后練習(xí)

第26講實(shí)數(shù)課后練習(xí)

第27講實(shí)數(shù)的應(yīng)用課后練習(xí)

II

2018年暑期預(yù)習(xí)八年級數(shù)學(xué)上冊課后練習(xí)含答案

第1講圖形的全等

題一：如圖，兩個全等的等邊三角形的邊長為1m，一個微型機(jī)器人由A點(diǎn)開始按ABCDBEA

的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動，行走2010m停下，則這個微型機(jī)器人停在（）.

A.點(diǎn)A處B.點(diǎn)B處C.點(diǎn)C處D.點(diǎn)E處

如圖所示，兩個全等的菱形邊長為1m,一個微型機(jī)器人由4點(diǎn)開始按/8的4%…的順序沿

菱形的邊循環(huán)運(yùn)動，行走20111n停下，則這個微型機(jī)器人停在點(diǎn).

題三：全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面合

同三角形，假設(shè)△4%和笈C是全等（合同）三角形，點(diǎn)/與點(diǎn)4對應(yīng)，點(diǎn)8與點(diǎn)8對

應(yīng)，點(diǎn)。與點(diǎn)G對應(yīng)，當(dāng)沿周界4-8-j4,及4f4環(huán)繞時，若運(yùn)動方向相同，

則稱它們是真正合同三角形。若運(yùn)動方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形。兩個真正合同

三角形都可以在平面內(nèi)通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合，兩個鏡面合同三角形要重合，則必須將

其中一個翻轉(zhuǎn)180°,如圖，下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是（

題四：閱讀下面材料：

如圖（1）,把△4a1沿直線理平移線段a'的長度，可以變到△血的位置；

如圖（2）,以8c為軸，把翻折180°,可以變到△加C的位置；

如圖（3）,以點(diǎn)4為中心，把a(bǔ)'旋轉(zhuǎn)180°,可以變到△/照的位置.

像這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的.這種只改變

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位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換.

回答下列問題：

①在上面的右圖中，四邊形/物是正方形，可以通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種

方法怎樣變化,使應(yīng)變到△/8的位置；

②指出圖中線段鹿與8之間的關(guān)系，為什么？

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第1講圖形的全等

題一：A.

詳解：二?兩個全等的等邊三角形的邊長為1m,

...機(jī)器人由4點(diǎn)開始按4勤煙的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動一圈，即為6m,

?.?2010+6=335,即正好行走了335圈，回到出發(fā)點(diǎn)，

行走2010m停下，則這個微型機(jī)器人停在4點(diǎn).故選A.

根據(jù)等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)，可以推出每行走一圈一共走了6個2010+6=335,

正好行走了一圈，即落到/點(diǎn).本題主要考查全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵在于求出2010為6的倍數(shù).

題二：D.

詳解：?.?兩個全等菱形的邊長為1厘米，

...微型機(jī)器人由力點(diǎn)開始按4aM匕加順序走一圈所走的距離為8X1=8厘米，

V20114-8=251-3,

當(dāng)微型機(jī)器人走到第251圈后再走3厘米正好到達(dá)。點(diǎn).

故答案為D.

解析：先求出微型機(jī)器人由,4點(diǎn)開始按1比刎?而順序走一圈所走的距離，再根據(jù)菱形的邊

長為1厘米可知微型機(jī)器人每走1厘米按/、B、C、D、E、F、C、G的順序循環(huán)，故可用2011

除以兩菱形的周長和，所得余數(shù)為從力開始所走的距離，找出此點(diǎn)即可.

本題考查的是菱形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出螞蚊每走1厘米按4隊(duì)a

D、E、F、aG的順序循環(huán)，找出規(guī)律即可輕松作答.

題三：B.

詳解：認(rèn)真閱讀題目，理解真正合同三角形和鏡面合同三角形的定義，然后根據(jù)各自的定義

或特點(diǎn)進(jìn)行解答.題意知真正合同三角形和鏡面合同三角形的特點(diǎn)，可判斷要使B組的兩個

三角形重合必須將其中的一個翻轉(zhuǎn)180°；而其它組的全等三角形可以在平面內(nèi)通過平移或

旋轉(zhuǎn)使它們重合.故選B.

此題考查了學(xué)生的閱讀理解能力及空間想象能力，較靈活.認(rèn)真讀題，透徹理解題意是正確

解決本題的關(guān)鍵.

題四：（1）根據(jù)

閱讀材料和平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的知識可以判斷出可以通過旋轉(zhuǎn)，以點(diǎn)力為旋轉(zhuǎn)中心，逆時

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針方向旋轉(zhuǎn)90°，使△/比,變到尸的位置.

(2)線段比.與夢之間的關(guān)系是垂直且相等。說明如下：

因?yàn)樗倪呅?靦是正方形，所以/斤/〃，NDA戶NBA出90°.又因?yàn)锳FAF,因此△/%'可

以看作是△/班'繞點(diǎn)/逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：B舁DF,且

BELDF.因此線段施與M之間的關(guān)系是垂直且相等.

詳解：本題主要是圖形旋轉(zhuǎn)的判斷和利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷線段a'與

DF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，過程簡單，但是需要認(rèn)真體會才能掌握好.本題也可以用全等

三角形的知識來解決，請同學(xué)們自己完成，認(rèn)真體會這兩種方法的優(yōu)劣.

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第2講全等圖形的性質(zhì)

題一：如圖，若叢ABBMDEF,則/￡■等于（）.

A.30°B.50°C.60°D.100°

如圖，兩個三角形全等，其中某些邊的長度及某些角的度數(shù)已知，則N度.

題三：如圖，△46緇；6C的延長線交處于￡交應(yīng)于G,NACB=ZAED=105°,ACAD

=40°,ZB==25°,求/質(zhì)的度數(shù).

題四：如圖，若△勿出且N365°,ZO20°,則N力廬

題五：如圖，△力應(yīng)運(yùn)2\旗C"6=3cm,6C=5cin,求龍長.

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n

匚

口―

△Rr

題六：如圖，△力叫X△頌，/月=25°,Z5=65°，游3cm,

求N4石的度數(shù)和的長.

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第2講全等圖形的性質(zhì)

題一：D.

詳解：首先求出Z25=180°-ZJ-Z^100°,再根據(jù)三角形全等對應(yīng)角相等可得

N斤N爐100°,所以答案選擇D.

題二：62.

詳解：：?如圖，兩個三角形全等，根據(jù)相等的邊是對應(yīng)邊，

:"a的對應(yīng)角是第一個三角形5這邊所對的角，

AZa=180°-73°-45°=62°.

要求N。的大小，首先要找到它的對應(yīng)角，由圖形可知，左邊三角形中長為5的邊對的角

與/"是對應(yīng)角，利用三角形的內(nèi)角和不難求出其角的大小，問題可解.

題三：90°.

詳解：在中,ZCAB=180-1050-25=50°,

'：/\ABC^/\ADE,

：.AEAD=ZCAB=50".

：.NEAB=50°+40°+50°=140°,

.?.在四邊形明6中，Z￡fi?=360°-105°-140°-25"=90°.

ZDGB+2EGB=180",

4DGB=90".

解析：方法一：把已知角的度數(shù)和利用三角形的內(nèi)角和等于180°得到的角的度數(shù)在圖中標(biāo)

出來，如圖1.通過觀察很容易得出這樣的結(jié)論:要求/說的大小，只要先求出的它的鄰補(bǔ)角

N9的大小就行了，而由圖我們很快可以得到在四邊形兒?切中，/9=360°-105°-140°

-25°=90°,所以N%8=90°.

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圖1圖2

方法二：如圖2所示，先用外角與內(nèi)角的關(guān)系計(jì)算出/月戌=75°.再用三角形的內(nèi)角和等于

180°，求出況1=65°,由對頂角相等到/4&=65°,最后由三角形的內(nèi)角和等于180°求

出/〃GC=90。.

題四：95°.

詳解：丁//65°,Z￡>20°

：.Z08(=1800-Z0-ZO950.

,：/\OAD^/\OBC

：.AOAD=AOBO^a

二答案為95°.

解析：如果題目條件中給出了全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以得出對應(yīng)邊相等，

對應(yīng)角相等。因此有了全等形，就可以轉(zhuǎn)化為邊和角的關(guān)系。本題要求/力〃的度數(shù)，可以

根據(jù)全等三角形，知道/。陽的度數(shù)就行。也可以先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出△的。中

的/如的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得答案。

題五：因?yàn)锳AB哈/XEBC,

所以AB=EB=3,B小BO5.

所以旌如嶺5-3=2.

解析:如果題目的條件中給出了全等三角形根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以得出對應(yīng)邊相等，

對應(yīng)角相等.因此有了全等形，就可以轉(zhuǎn)化為邊和角的關(guān)系.本題中求線段應(yīng)■的長，就轉(zhuǎn)

化為兩個全等三角形的兩條邊協(xié)與房的差，從而解決問題.

題六：/%/90°.由3cm.

解析：因?yàn)锳ABSADEF,所以/<=/少25°,N斤/斤65°,BOEF.所以

ZZZflg=1800-ZZ>-Z/F90O,除叱3cm.

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第3講全等三角形的判定之SSS

如圖，已知4介第，若利用“SSS”來判定△兒?口△物，則添加直接條件是

題二：

已知：如圖1,在四邊形四切中,AB=CB,AD=CD.求證：ZOZA

題三：

如圖，力廬比作，6,根據(jù)“SSS”得至IJ全等的三角形是,在此基礎(chǔ)

上還可以得到全等的三角形是.

題四：如圖，448。中，［代/C,小星，貝I」由"SSS”可以判定（）.

A.4AmACDB.zABjACE

C.^BD^CDED.以上答案都不對

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題五：

如圖，在四邊形力靦中，已知47="；49=園試說明

題六：如圖，點(diǎn)兒E、F、。在同一條直線上，且4片位.若1田繆，止毋'，則有"=/C.為

什么？

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第3講全等三角形的判定之SSS

題一：AI^CD.

解析：要使△46■△如，已知AD-CB,且有公共邊AOCA,所以只要添加4比6?即可.本

題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定；添加時要按題目的要求進(jìn)行，必須是符合SSS,注意此點(diǎn)

是解答本題的關(guān)鍵.

題二：見詳解.

解析：連結(jié)BD.

在△4?和△曲中，

AB=CB

*AD=CD

BD=BD

:.XAB噲XCBD、SSS).

：.ZOZA.要說明,就要找出這兩個角所在的三角形全等，因此想到作輔助線.從

而證明△4?陷必就行.

題三：XABC^叢DCB\△ABMXDCA;f\AO&^l\DOC.

解析：?.?在△49C和中，

AB=DC,AC=DB,47是公共邊、：.協(xié)強(qiáng)XDCB、

同理，△ABIT&XDCA,

由MAB8XDCB、可得，AB-CD,ZABD=ZDCA,

ZAOB=ZDOC,：.XAO昭XDOC.

故答案為：△ABC^XDCB、^，ABD^/\DCA;XAO的t\DOC.本題已知AB-DC,AODB,AD、

及、是公共邊，具備了三組邊對應(yīng)相等，所以即可判定三角形全等；根據(jù)△4?■△頷，可

得，4廬4,ZABD=ZDCA,利用對頂角相等的性質(zhì)，再利用//S即可求證△力膜△〃%.

題四：B.

解析:-：AB=AC,EB=EC,A&AE:AABgACE故迭B.

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由4?為公共邊易得"除注意題目的要求SSS,要按要求做題.

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.S%、

9.注意：4A4、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，

若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

題五：見詳解.

解析：連結(jié)BD

在△力加和△tW中

A3=。。（已知）

<AO=6C（已知）

BD=DB（公共邊）

:.△ABD^l\CDB〈SSS）

：.ZA=ZC（全等三角形的對應(yīng)角相等）

要證明//=ZC,可通過構(gòu)造三角形，把//和/C放到兩個三角形中，再證明這兩個三角形

全等.根據(jù)已知條件并結(jié)合圖形特征，只要連結(jié)加（或[C）即可，勿是兩個三角形的公共邊,

用SS5來說明.

題六：見詳解

解析::A廣CEAF-EF=CE-EF，即4后⑦在班'和△如'中;:AE=CF,AI^CD,BE=DF,

:AAB生CDF〈SSS].:.zA=zC（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

線段/尺"并不是“跖、的對應(yīng)邊，它們雖然相等，但不能直接作為三角形全等判定

的條件使用。這樣現(xiàn)象，是同學(xué)們剛剛學(xué)習(xí)推理證明時常見的錯誤，要注意避免出現(xiàn)類似的

情況，關(guān)鍵是說理要清晰、準(zhǔn)確.

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第4講全等三角形的判定之SAS

題一:如圖,ABLBD,EDLBD,B、〃為垂足,AB=CD,BC=DE.試說明糜A*.

題二：如圖，已知花=47,除應(yīng)，試說明△力應(yīng)■與△力以(全等的理由.

題三：如圖，。。平分=AC于Z),PE_L8C于E,求證：

題四：已知：如圖，R14AB微RlAADE,NABC=NAD芹90”,試以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)，連

結(jié)兩條線段，如果你所連結(jié)的兩條線段滿足相等、垂直或平行關(guān)系中的一種，那么請你把它寫出

來并證明.

題五：如圖，尸是線段4?上一點(diǎn)，“氣和△板都是等邊三角形，試說明AD-BC.

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D

題六：已知:如圖,在中，AS=AC,zBAC=90°,D是6c上一點(diǎn)，ECkBC,EC=BD,

DF=FE.

求證：(1)XAB層RACE;(2)AF1.DE.

BD

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第4講全等三角形的判定之SAS

題一：見詳解.

解析「ABLBD,ED1BD

:.zB=90°

在“比和△吸中

'AB=CD

■：＜NB=ND

BC=DE

：AAB(M^CDE［弘S)

在圖中把已知的條件用記號標(biāo)注出來,觀察后很容易發(fā)現(xiàn)可以用SAS來說明這兩個三角形全

等.

題二：見詳解.

解析：因?yàn)锳B=AC,所以/比/C,

因?yàn)锽FCE,所以BIAD方CE+DE,即BB=CD.

在跖和△/⑶中，

因?yàn)锳&-AC,/比NC,B舁CD、所以△48巫△〃/(SAS).

有的同學(xué)在解題時，誤把三角形邊上的一部分當(dāng)作說明的條件，這不符合三角形全等的識別

方法.

題三：見詳解.

解析：因?yàn)?。。平分?。3

所以NA0C=N30C,

因?yàn)椤?=QB,OC=OC,

所以A4。八ABOC(SAS)

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所以NAC0=N8C0,

即OC是NACB的平分線。

因?yàn)镻D±CA,PE±CB,

所以PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角邊的距離相等）

本題主要應(yīng)用了全等三角形的有關(guān)知識和角平分線性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是把要證明相等的

兩條線段看作一個平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離。

題四：見詳解.

詳解：如圖，連結(jié)切，應(yīng)'

A

■：Rt^AB（^Rt^ADE

:.AC-AE,AB=AD,zCAB-zEAD

.Z.CAB-N3—zEAD-N3

即/I=N2

在ACAD和"AB中

AC=AE

--Z1=Z2

AD=AB

:ACA凈EAB<SAS）

:.CD=EB［全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

由以”踴鹿，得兩個三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這為我們說明后面的線段相等提

供了充足的條件.這里可連的線雖然有多條，但符合相等的就只有必和EB.

題五：見詳解.

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解析：個和△版都是等邊三角形

：.AP=CP、PD=PB,八=z2=6G

：上1+/3=N2+N3

^zAPD-zCPB.

在少和A。?中，

AP=CP

"NAPD=NCPB

PD=PB

:QAPIM4CPB(SS)

:AD=BC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)

在證明兩條線段或兩個角相等時，我們經(jīng)常用到等式的性質(zhì)：等量加等量，其和相等；等量

減等量其差相等本例中由/1=/2=60"利用等式性質(zhì)可得/1+/3=/2+/3，即得叨.另

外，本題還能得到其它一些結(jié)論，比如A^CF,P及PF,仍|4?等等，同學(xué)們不妨認(rèn)真探究一

下.

題六：見詳解.

解析：（1）-：AB=AC,ABAC-90°,

:.zB=zBCA=45°.

,:EQBC（已知），

:.zBCE=90°（垂直定義），

.上力位=45°（等式性質(zhì)）,

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2018年暑期預(yù)習(xí)八年級數(shù)學(xué)上冊課后練習(xí)含答案

:.zB-AACE,

又BD=CE、AB=AC,

二△AB以RACE（SAS）.

（2）:LABIMLACE,

:.AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

又〃=〃（已知），

：.AFLDE［等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)）.

將條件在圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?biāo)注，由已知條件出發(fā)，逐步推理，即可得出結(jié)論.

本題就是利用綜合法證明的，運(yùn)用綜合法解題的關(guān)鍵是由已知條件得出新的結(jié)論，為最

終解決問題創(chuàng)造成立的條件，這個過程中要注意充分挖掘幾何圖形的性質(zhì).本題由△/次、是

等腰直角三角形，EQBC、舄/B=〃ACE、再由A4除四，得出的=4E后，問題不難得到

解決.

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第5講全等三角形的判定之ASA

題一：如圖，在AABC中，。是BC邊的中點(diǎn)，尸，E分別是AO及其延長線上的點(diǎn)，

CF//BE.求證：ABDE%/XCDF.

題二：如圖，已知點(diǎn)E,C在線段BF上，BE=CF,AB〃DE,NACB=/F.

求證：AABC%ADEF.

題三：如圖，已知從E、C、下依次在同一直線上，zBAC=zEDF,AI^DE,AB=DE.試說明

AC=DF.

題四：如圖，在A/田中,MNLAC,垂足為N,且腑平分”必，△力向/的周長為9cm,4仁2cm,

求“比'的周長.

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2018年暑期預(yù)習(xí)八年級數(shù)學(xué)上冊課后練習(xí)含答案

題五：(2010湖北隨州)如圖，一個含45°的三角板做'的兩條直角邊與正方形ABCD的

兩鄰邊重合，過2?點(diǎn)作夕U4?交/腔的角平分線于F點(diǎn)、,試探究線段AE與砥的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

題六：(2010江蘇鎮(zhèn)江)推理證明

如圖，在和△/龐中，點(diǎn)￡在8c邊上,NBAC=ADAE,NB=/〃，AB=AD.

(1)求證：

(2)如果N/I￡C=75°,將△/應(yīng)繞著點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)一個銳角后與△4死重合，求這個旋轉(zhuǎn)角的

大小.

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第5講全等三角形的判定之ASA

題一：見詳解.

解析：*是理的中點(diǎn),

：.BD=CD

：CF//BE

"EBIKNFCD

又,：NEDB=/FDC

，由ASA可知ABDE四△CDF

要證明全等要三個條件，由中點(diǎn)可知B0=C。，由可知/旗廬/以6，再加上對

頂角相等可得答案.

題二：見詳解.

解析：AB//DE,ZB=ZDEF.

BE=CF,：,BC=EF.

ZACB=ZF,:./\ABC冬ADEF（ASA）

由AB//DE,可得到/斤/㈤再根據(jù)修〃得至IJ叱跖，因此可得出兩個三角形全等.

題三：見詳解.

解析：,：/吸DE:.zB=/DEC

在“比和△龍中，

:zBAC=/EDF（已鋤

AB=DE（已知）

NB=NDEC（已證）

:AABQDEF（ASA）

:.A（=DF［全等三角形的對應(yīng)邊相等）

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先在圖中標(biāo)出已知的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，再由A即E得4=NEC,由ASA可得兩個三角形全

等.因此，要證明AC=DF,只要證明“6倍△&笫就可以了.

題四：13cm.

解析：因?yàn)槔破椒?所以“助匕CW,

因?yàn)镸N^AC,所以形=90°,

'/AMN=ZCMN

在陟V和ACMV中｛MN=MN,所以A4%1^A?V(ASA)

NMNA=NMNC

所以4H加AM=CM｛全等三角形的對應(yīng)角相等),

4滬2cm,所以AC=7.AN=Acm,而8V的周長為9cm,

所以46C的周長為9+4=13cm.

只要求出Q/和〃'的長即得的周長，而"物性A。處可實(shí)現(xiàn)這一目的.

題五：AE=EF.

解析：?.?△做'是一含45°的直角三形，

二/〃=/施9=45°,HB=EB,

又：四邊形48切為正方形，

二/8=￡DCB=NDCE=90°,AB=CB.

：.HB-AB=EB—CB,即HA=CE.

"：EFLAE,

：.ZAEF=900=ZB,

'：/HAE=4吩4AEB,』CEF=NAE我NAEB,

：.4HAE=ACEF,

又,：CF平■貨/DCE

：.4ECF=1N〃彥45。=4H,

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：./\HAE^/\CEF{ASA).

：.AE=EF.

想尋找線段46與所的數(shù)量關(guān)系可放到兩個三角形△胡6和△海中去考慮，根據(jù)條件可推

導(dǎo)出這兩個三角形兩角和一邊對應(yīng)相等，可證出△陽儂△口叨，從而得到46=仔：

本題實(shí)際就是全等三角形的判定，學(xué)生要能把已知條件中進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換從中找到可以證

明全等的條件，從而來判定兩三角形全等.

題六：(2)30°.

解析：(1),?,ABAC=乙DAE,AB=AD,NB=ND,

(2、?：XABCQXADE,

與力￡是一組對應(yīng)邊，

；./?！晔切D(zhuǎn)角，

,：AE-AC,ZAEC=75°,

：.ZACE=ZAEC=75°,

：.Z.CAE=180°—75°—75°=30°.

(1)由/物C=ZDAE,AB=AD,ZB=ND可得AAB羥/\ADE.

(2)由△/!如絲△/必■知AE=AC,所以AC與AE是一組對應(yīng)邊，所以NOE是旋轉(zhuǎn)角只要在

等腰△川切中求出/勿￡即可.

全等三角形的證明方法主要有：“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”及直角三角形全

等的判定“HL”.在中考中經(jīng)常以容易題出現(xiàn)，再與平移，旋轉(zhuǎn)結(jié)合，很多時候還以開放的

題型出現(xiàn)，如再添一個條件使已知的兩個三角形全等等.

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第6講全等三角形的判定之AAS

題一：如圖「A=/B,OC=OD.試說明AD=BC.

題二：如圖，已知AC與BD交于點(diǎn)0,且4〃="，你能說明BO-DO嗎？

題三:如圖，AD\CD,zA=zD,BF=CE,〃膜=110。，求NM7的度數(shù).

題四：如圖，已知4C平分/胡。，N1=N2,求證：AB=AD.

題五：已知：如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CO_LAB于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上，

CE=BC，過E點(diǎn)作AC的垂線，交C。的延長線于點(diǎn)F.

求證：AB=FC.

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題六：（2010四川宜賓）如圖，分別過點(diǎn)Q分作△力6c的比,邊上的中線4?及其延長線

的垂線，垂足分別為E、凡求證：B廣CE.

題七：兩個三角形只有以下元素對應(yīng)相等，不能判定兩個三角形全等的是（）

A.兩角和它們的夾邊

B.三條邊

C.兩條邊和其中一邊上的中線

D.兩邊和一角

題八：只有以下元素對應(yīng)相等，不能判定兩個三角形全等的是（）

A.AASB.S4sC.SSSD.AAA

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第6講全等三角形的判定之AAS

題一：見詳解.

解析：在""和△喇中

'NA=N3（已知）

/。=/。（公共角）

。。=。。（已知）

：AAO^B（）D（AAS）

：.AO=BO［全等三角形的對應(yīng)邊相等）

又:OC=OD

：,AO-OD=BO-OC

即AD=BC

根據(jù)已知條件4=,OC=OD，并結(jié)合隱含條件，可以得到“。倍A%，得至ijAO=80.顯

然有40-OD=BO-OC,即力。=%.問題得解.

題二：見詳解.

解析：在“如和"緲中

因?yàn)閆AOD=ZCOB（對頂角相等）AD=BC,

所以△4儂人物（AAS）

所以BO-DO

要想說明8（”90,只需說明“勿與A。必全等，已知已給出了兩個條件:/A=zC,AD=CB.已

知一邊和一角對應(yīng)相等，我們通?？紤]應(yīng)用S1S或4%或AAS.而根據(jù)圖形特征有對頂角

NAOD=NCOB,由刃is問題得證.

題三：/〃尸。=110°.

解析：因?yàn)?例⑺，所以/6=4

因?yàn)轷?"，而以BF-EF=CE-EF,即陷成

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在“跳■和AAT中

因?yàn)槌?，所以?!用爛A0CF(加S)

所以“旗=/"匕，因?yàn)轫?xiàng)=110°,所以/碇'=110°.

要求/87■,的度數(shù)，只需求證”6代△比尸,本題直接給出的直接條件為“=/〃；因?yàn)锽F=CE,

所以8八EF=CE-EF,即BE=CF\另由Al^CD,可得N5=N<7.由加S問題得解.

題四：見詳解.

解析：平分/歷1〃

二ZBAC=ADAC

VZ1=Z2

NABC=4ADC

在△4%1和中

NBAC=NDAC,

<ZABC=ZADC,

AC=AC.

：.i\ABC^/\ADC(AAS).

：,AB=AD.

由Nl=/2,可得出/4?C=^ADC,再結(jié)合角平分線得到/物C=ADAC,因此得到兩個三角

形全等.

題五：見詳解.

解析：：EEJ,AC于點(diǎn)E,ZACB=90°,

:.ZFEC=ZACB=9Q°.

：,ZF+^ECF=90°.

又.CD_LA8于點(diǎn)O,

,-.ZA+ZECF=90°.

:.NA=".

在XABC和XPCE中，

ZA=ZF,

<ZACB=ZFEC,

BC=CE,

.?.△ABC"/XFCE.

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,.AB=FC.

要證明A8=FC,只要說明這兩條線段所在的三角形△ABC也△R7E.對照條件容易

發(fā)現(xiàn)一條邊和一個角相等，因此如何找出第三個條件的問題的關(guān)鍵.這是本題的難點(diǎn)所在.

題六：見詳解.

解析：?.?CFL/',FB1AF,：*4DEC=/DFB=9Q°

又〃為外邊上的中線、：.BD=CD,且/皮C=ZW（對頂角相等）

所以△4%△曲（加S）,.?.游以.

要證線段相等，需要證明所在的三角形全等，即要證催〃，需證所在的三角形△板和△。應(yīng)

全等.而在這兩個三角形中已經(jīng)有助=切，ADEC=ZW=90°,4EDC=NFDB（荻

頂角相等）所以兩個三角形全等.所以對應(yīng)線段相等.

本題是常規(guī)題目，即通過證明三角形全等來證明線段相等，結(jié)合垂直的性質(zhì)和對頂角相

等定理可以得到三角形全等.這是一道基礎(chǔ)題型，也是中考的熱點(diǎn).

題七：D.

解析：A、可用力弘判定兩個三角形全等；B、可用SSS判定兩個三角形全等；C、可先根據(jù)

SSS判定由中線一邊和其對應(yīng)短邊組成的小三角形全等然后可用&1S判定兩個三角形全等；

D、條件不足，只有兩三角形是直角三角形，或者角為對應(yīng)邊夾角時才滿足全等條件.

三角形全等條件中必須是三個元素，并且一定有一組對應(yīng)邊相等，做題時要按判定全等的方

法逐個驗(yàn)證.本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，

即AAS.ASA^SAS.SSS,直角三角形可用/〃定理，但AAA,S必，無法證明三角形全等，本

題是一道較為簡單的題目.

題八：D.

解析：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,故選D.

全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS共4種，根據(jù)以上方法進(jìn)行判斷即可.本題

考查了對全等三角形的判定的應(yīng)用，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目.

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第7講全等三角形的判定之HL

題一：如圖，四邊形/仇蘇中，AB=AD,AC平■分工BCD,AELBC,4a5，問圖中有無和“原

全等的三角形？如果有，請說明全等的理由.

題二：(2011?江蘇徐州)如圖，在四邊形ABCD中，A樂CD,BF^DE,AEvBD,CFLBD,垂

足分別為E,F.

(1)求證：zAB曲CDF;

(2)若/C與勿交于點(diǎn)。，求證：AO-CO.

題三：如圖，已知儂46,垂足分別為民C,且他=①，試說明47平分/劭C.

題四：(2011黑龍江牡丹江)如圖，△抽。的高BD、絲相交于點(diǎn)0.請你添加一對相等

的線段或一對相等的角的條件，使取@1.你所添加的條件是.

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題五：如下圖，要用“應(yīng)’判斷應(yīng)△力〃，和放△分戶全等的條件是()

A.AODF,BOEFB.zA=zD,AB=DE

D.,BC^EF

如圖所示，/4=/斤90°,若要用“應(yīng)”定理判定Rt^ACl^Rt^BDC,則應(yīng)增加一個條件

題七：(2008年?南寧市)如圖，在“園中，。是6C的中點(diǎn),DELAB,DF1AC,垂足分別

是反尸，BE^CF.

(1)圖中有幾對全等的三角形？請一一列出；

(2)選擇一對你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明.

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題八：如圖，在△46。中，4?是它的角平分線，BD=CD,DE、彼'分別垂直于AB、AC,垂足

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第7講全等三角形的判定之HL

題一：Rt^AB隹&ADF.

理由：1FC平分3，AEi.BC,AFLCD,

則A1^AF(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),zAEB=zAFD=W°.

又,:股AD，:.Rt&AB隹RSDF(HL).

解析：本題是一道探究結(jié)論型試題，圖中的應(yīng)是一個以AB為斜邊的直角三角形.由于

/廬/〃，首先發(fā)現(xiàn)，以4?為斜邊的直角”小，具備與“龐全等的可能.由4C平分工靦，4?

1.BC,AF1.CD,易得AE=AF,貝lj有Rt^AB^ADF.

題二：(1)-：BF^DE,

:BF-EF=DJEF,

即BE=DF,

'：AELBD,CFLBD,

:.zAEgCFA9G,

\'AB=CD,

:.Rt、ABaR8CDF〈HL)\

-----------7匚

、.F/

RC

(2、"ABaCDF、

./ABE^zCDF、

:.AB\CD,

\'AB=CD,

二?四邊形4??是平行四邊形，

：.A(PCO.

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解析：(1)由B六DE,可得BE=DF,由AELBD,CFLBD,可得/AEB=O9Q°,又由AB=CD,

在直角三角形中利用應(yīng)即可證得：4AmeDF：

(2)由"6僮即可得“嶺根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得Af^CD,又

由AB=Cl),根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是

平行四邊形，則可得/3CO.

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì).此題難度不大，解題

的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

題三：：DBLAB,DCLAC

:/B="'=90"

在放“"和燈”劭中，

-：AD-AD

BD=CD

：.Rt^ACI^Rt^ABD(HL)

=N2(全等三角形的對應(yīng)角相等)

:.AD平分/BAC.

解析：要說明,4〃平分只要證明/劭就可以了，已知BD=CD,又AD為它

們的公共邊，可根據(jù)例得到兩個直角三角形全等.

題四：此題答案不唯一，如/物＞/反石或/極或力比”或/￡斗。等.

?.?△力式的高BD、制相交于點(diǎn)0.

：.ABEOZ.CDB-W,

?:BC=CB,

要根BD=CE、艮需叢BC陛叢CBD,

當(dāng)BE=CDK,利用應(yīng)即可證得△63△物；

當(dāng)//陷時，利用4s即可證得△犯四△物；

同理：當(dāng)/物也可證得△a32\例；

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當(dāng)4?刃C時，力⑦，，當(dāng)4?=加7時，也可證得聆△物等.

故答案為：/DBC=/ECB或NEBC=4DCB或AB=A('或AE=AD等.

解析：由△/8C的高BD、以相交于點(diǎn)0,可得以爐90。,又由要使BD=CE,只需

2BCE號XCBD,根據(jù)全等三角形的判定定理與性質(zhì)，即可求得答案.

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，此題屬于開放題.解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握

全等三角形的判定定理.

題五：一.在兩個三角形中AB、是斜邊

..只有C中,AODR4后龍符合.故選C.

解析：注意“龐”指的是斜邊、直角邊對應(yīng)相等，認(rèn)真觀察下列各選項(xiàng)，看哪個選項(xiàng)提供的是

斜邊與直角邊，A是兩條直角邊，B、D都有角，于是可得答案(：.

考查直角三角形全等的判定“/〃”的運(yùn)用.用此方法必須要有斜邊參與，否則雖然全等也

不滿足題目的要求.

題六：添加條件：AC=BD,

解析：根據(jù)條件可知；4勿和4以心是直角三角形，由圖形可知，再添加條件,4仁切，

即可利用"，定理證明Rt?AgRt"BDC.

題七：(1)3對.分別是：“AB0ACD;4AD4ADF：^BD^CDF.

(2)ABD4CDF.

證明：因?yàn)镈ELAB,DF1.AC,

祇故NBED=ZCFD=90°

又因?yàn)椤ㄊ?化的中點(diǎn)，

所以BD=CD

在Rt"BDE和RtACDF中,

BD=CD

BE=CF

所以A劭隹△。聲.

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解析：本題考察三角形的全等知識.第（1）小題是根據(jù)對圖形的直觀判斷和一定的推理可

得結(jié)果，要求考慮問題要全面.第（2）個問題具有一定的開放性，選擇證明不同的結(jié)論，

判定方法會有不同，這里根據(jù)瓦可判斷兩個直角三角形全等.

題八：在劭和△4必中，

'ZDEA=N0E4（垂直的定義），

<（角平分線的定必，

AO=A￡>（公共邊），

：./\AED^/\AFD（AAS）.

:.D序DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

在Rt/\BDE與R3DF中,

除徵（已知）

小如（已證）

：.Rt/\BDE^Rt^CDF（IIL）.

:.B芹CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

解析：本題難度較大.要證明兩次全等.要證明BFCF,它所在的放△應(yīng)E和燈△如■中只

有兩個條件，而第3個條件不易直接得出.因此要求學(xué)生對全等的判定比較熟練.才能根據(jù)

題目的條件發(fā)現(xiàn)其它全等的三角形，△4催4/?從而得出答案.

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第8講全等三角形綜合

題一：如圖，已知N1=N2,則不一定能使“砥M5的條件是（）.

A、AB=ACB、BD-CDC、zB=zCD、/BD-CDA

題二：在中，腦＞AC,點(diǎn)、仄6分別是邊微/C的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在8C邊上，連接〃,

"'，必，則添加下列哪一個條件后，仍無法判定△靦與△友於全