第一節(jié)大數定律

第一節(jié)大數定律第一頁，共十四頁，2022年，8月28日第五章大數定律及中心極限定理大數定律和中心極限定理是概率論中的比較深入與重要的理論結果。本章主要討論如下兩個問題：在一定條件下,一列隨機變量的算術平均值（按某種意義）收斂于所希望的平均值的定理稱為“大數定律”。大數定律為概率論所存在的基礎—“概率是頻率的穩(wěn)定值”提供了理論依據，它以嚴格的數學形式表達了隨機現象最根本的性質之一：平均結果的穩(wěn)定性。它是隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現，也成為數理統(tǒng)計的理論基礎。第二頁，共十四頁，2022年，8月28日在一定條件下，大量的相互獨立的隨機變量之和的概率分布近似于正態(tài)分布的定理稱為“中心極限定理”。中心極限定理它以嚴格的數學形式證明了隨機現象另一個最根本的性質之一：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大，則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。它是隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現，也成為數理統(tǒng)計的理論基礎。而正態(tài)分布又是應用最廣的分布。第三頁，共十四頁，2022年，8月28日大量的隨機現象中平均結果的穩(wěn)定性：

大量拋擲硬幣正面出現頻率字母使用頻率生產過程中的廢品率……第一節(jié)大數定律大數定律的客觀背景第四頁，共十四頁，2022年，8月28日定理1（切比雪夫大數定律）設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，則對任意的ε>0，切比雪夫一.切比雪夫大數定律注：切比雪夫大數定律表明：獨立隨機變量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則：概率接近于1.第五頁，共十四頁，2022年，8月28日是很小的，其概率接近于1。即當n充分大時，

期望的概率接近于1。差不多不再是隨機的了，取值接近于其數學算術平均值與其數學期望的偏差切比雪夫大數定律給出了平均定理2（切比雪夫大數定律的特殊情況）設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，它們具有相同的數學期望與方差：作前n個隨機變量的算術平均值：值穩(wěn)定性的科學描述亦稱為獨立同分布的大數定律第六頁，共十四頁，2022年，8月28日則對任意的有：證明:由切比雪夫不等式可得:第七頁，共十四頁，2022年，8月28日注:定理2是定理1中當數學期望和方差給定具體值時的特殊情況。它表明當n很大時，隨機變量的算術平均值在概率意義下接近于數學期望其作用：在數理統(tǒng)計中如不知道，則可用其算術平均值來近似代替，則定理2就提供了理論依據。令：并注意到概率所以得：▲▲稱序列依概率收斂于常數第八頁，共十四頁，2022年，8月28日依概率收斂的序列具有如下性質:[證明]：見教材P146頁下方的小字體記為：定理2的結論可敘述為：序列依概率收斂于常數由此，▲設又設函數g(x,y)在點(a,b)處連續(xù)，則有：第九頁，共十四頁，2022年，8月28日二.貝努利大數定理定理3.(貝努利定理)設隨機變量相互獨立，且同時服從以p為參數的(0–1)分布。則對任意正數有：或貝努利第十頁，共十四頁，2022年，8月28日證明:則由定理2可得:服從分布其中:n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率。第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日注:定理3表明：當n很大時,事件A發(fā)生的頻率接近于事件A發(fā)生的概率P,即證明了頻率的穩(wěn)定性。從而，當n(試驗次數)很大時可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替事件的概率。稱事件A發(fā)生的頻率依概率收斂于事件A的概率P。

貝努里大數定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法?！鴨栴}：定理2，定理3均為獨立同分布的大數定律，并且均要求隨機變量的期望與方差都存在。如果沒有隨機變量的方差存在的條件，那么大數定律的結論是否仍成立？第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日

三.辛欽定理定理4.（辛欽定理）則對任意的正數有:辛欽設相互獨立，并且服從同一分布，且具有數學期望：第十三頁，共十四頁，2022年，8月28日大數定律從各個角度描述了樣本的算術平均值的及頻率的穩(wěn)定性。也為人們習慣上經常采用的用樣本的算術平均值去代替或