2019年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編4：數(shù)列

2019年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編4：數(shù)列一、選擇題AUTONUM\*Arabic．（2019年高考上海卷（理））在數(shù)列中,,若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素,()則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為()(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知數(shù)列滿足,則的前10項(xiàng)和等于(A)(B)(C)(D)【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2019年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列 【答案】BAUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)使得則的取值范圍是(A)(B)(C)(D)【答案】BAUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知等比數(shù)列的公比為q,記則以下結(jié)論一定正確的是()A.數(shù)列為等差數(shù)列,公差為B.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為C.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為D.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為

【答案】C

AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,則

(A) (B) (C) (D)【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2019年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題:其中的真命題為(A)(B)(C)(D)【答案】DAUTONUM\*Arabic．（2019年高考江西卷（理））等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,..的第四項(xiàng)等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空題AUTONUM\*Arabic．（2019年高考四川卷（理））在等差數(shù)列中,,且為和的等比中項(xiàng),求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和.【答案】解:設(shè)該數(shù)列公差為,前項(xiàng)和為.由已知,可得

.

所以,

解得,或,即數(shù)列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3.

所以數(shù)列的前項(xiàng)和或AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則的最小值為________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年高考湖北卷（理））古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,,第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為,以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)

可以推測的表達(dá)式,由此計(jì)算___________.選考題【答案】1000AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,則滿足的最大正整數(shù)的值為_____________.【答案】12AUTONUM\*Arabic．（2019年高考湖南卷（理））設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,則(1)_____;(2)___________.【答案】;AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））當(dāng)時(shí),有如下表達(dá)式:兩邊同時(shí)積分得:從而得到如下等式:請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,計(jì)算:【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知是等差數(shù)列,,公差,為其前項(xiàng)和,若成等比數(shù)列,則【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23,前9項(xiàng)和為57,則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））在等差數(shù)列中,已知,則_____【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年高考陜西卷（理））觀察下列等式:照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_______.【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年高考新課標(biāo)1（理））若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn=,則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______.【答案】=.AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,互不-相同的點(diǎn)和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（2019年高考北京卷（理））若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_______;前n項(xiàng)和Sn=___________.【答案】2,AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個(gè)根,則____________.【答案】63三、解答題AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)函數(shù),證明:(Ⅰ)對(duì)每個(gè),存在唯一的,滿足;(Ⅱ)對(duì)任意,由(Ⅰ)中構(gòu)成的數(shù)列滿足.【答案】解:(Ⅰ)是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù)..

綜上,對(duì)每個(gè),存在唯一的,滿足;(證畢)

(Ⅱ)由題知

上式相減:

.

法二:

AUTONUM\*Arabic．（2019年高考上海卷（理））(3

分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對(duì)任意,;(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說明理由.【答案】:(1)因?yàn)?,故,

(2)要證明原命題,只需證明對(duì)任意都成立,

即只需證明

若,顯然有成立;

若,則顯然成立

綜上,恒成立,即對(duì)任意的,

(3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,故n無限增大時(shí),總有

此時(shí),

即

故,

即,

當(dāng)時(shí),等式成立,且時(shí),,此時(shí)為等差數(shù)列,滿足題意;

若,則,

此時(shí),也滿足題意;

綜上,滿足題意的的取值范圍是.

AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分10分.設(shè)數(shù)列,即當(dāng)時(shí),,記,對(duì)于,定義集合(1)求集合中元素的個(gè)數(shù);(2)求集合中元素的個(gè)數(shù).【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運(yùn)算.計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí),考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及推理論證能力.

(1)解:由數(shù)列的定義得:,,,,,,,,,,

∴,,,,,,,,,,

∴,,,,

∴集合中元素的個(gè)數(shù)為5

(2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法先證

事實(shí)上,

① 當(dāng)時(shí),故原式成立

② 假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即故原式成立

則:,時(shí),

綜合①②得:于是

由上可知:是的倍數(shù)

而,所以是

的倍數(shù)

又不是的倍數(shù),

而

所以不是的倍數(shù)

故當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為

于是當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為

又

故集合中元素的個(gè)數(shù)為

AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.(1)求;(2)若,求【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

;

(Ⅱ)由(1)知,當(dāng)時(shí),,

①當(dāng)時(shí),

②當(dāng)時(shí),

所以,綜上所述:;AUTONUM\*Arabic．（2019年高考湖北卷（理））已知等比數(shù)列滿足:,.(=1\*ROMANI)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(=2\*ROMANII)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.【答案】解:(=1\*ROMANI)由已知條件得:,又,,

所以數(shù)列的通項(xiàng)或

(=2\*ROMANII)若,,不存在這樣的正整數(shù);

若,,不存在這樣的正整數(shù).AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且(為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,

由,得

,

解得,,

因此

(Ⅱ)由題意知:

所以時(shí),

故,

所以,

則

兩式相減得

整理得

所以數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分16分.設(shè)是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和.記,,其中為實(shí)數(shù).(1)若,且成等比數(shù)列,證明:()(2)若是等差數(shù)列,證明:.【答案】證明:∵是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和

∴

(1)∵∴

∵成等比數(shù)列∴∴

∴∴∵∴∴

∴

∴左邊=右邊=

∴左邊=右邊∴原式成立

(2)∵是等差數(shù)列∴設(shè)公差為,∴帶入得:

∴對(duì)恒成立

∴

由①式得:∵∴

由③式得:

法二:證:(1)若,則,,.

當(dāng)成等比數(shù)列,,

即:,得:,又,故.

由此:,,.

故:().

(2),

.(※)

若是等差數(shù)列,則型.

觀察(※)式后一項(xiàng),分子冪低于分母冪,

故有:,即,而≠0,

故.

經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列.AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且成等比數(shù)列,求的通項(xiàng)式.【答案】

AUTONUM\*Arabic．（2019年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)