第五章 大數(shù)定律和中心極限定理

第五章大數(shù)定律和中心極限定理第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日1設(shè)每次試驗中某事件發(fā)生的概率為0.8，請用切比雪夫不等式估計：需要多大，才能使得在次重復(fù)獨立試驗發(fā)生的頻率在0.79～0.81之間的中事件概率至少為0.95？第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日1解設(shè)表示次重復(fù)獨立試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則出現(xiàn)的頻率為則第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日由題意得可見做32000次重復(fù)獨立試驗中發(fā)生的頻率在0.79～0.81之間的概率至少為0.95.可使事件續(xù)第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日2設(shè)為相互獨立的隨機(jī)變量序列，且試證服從大數(shù)定律．第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日2證明：隨機(jī)變量的數(shù)字特征為，，，第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日對于任意給定的正數(shù)，由切比雪夫不等式知所以服從大數(shù)定律．續(xù)第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日3設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，．都服從U(a，b)（a>0），任給n，第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日3證明：任給，且則當(dāng)a<x<b時，有當(dāng)時，有當(dāng)時，有．第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日任給，有若，則故若續(xù)第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日所以任給，有，．續(xù)第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日4某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的平均壽命為2000h，標(biāo)準(zhǔn)差為250h．現(xiàn)采用新工藝使平均壽命提高到2250h，標(biāo)準(zhǔn)差不變．為確認(rèn)這一改革成果，從使用新工藝生產(chǎn)的這批燈泡中抽取若干只來檢查．若檢查出的燈泡的平均壽命為2200h，就承認(rèn)改革有效．并批準(zhǔn)采用新工藝．試問要使檢查通過的概率不小于0.997，應(yīng)至少檢查多少只燈泡？第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日4解記則

記{檢查燈泡的總壽命}，則，第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日則通過檢查的概率為：

即

因此，要使檢查通過的概率不小于0.997，應(yīng)至少檢查190只燈泡．續(xù)第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日5計算機(jī)在進(jìn)行數(shù)值計算時，遵從四舍五入的原則．為簡單計，現(xiàn)對小數(shù)點后面第一位進(jìn)四舍五入運算，則誤差可以認(rèn)為服從均勻分布U[-0.5，0.５]．若在一項計算中進(jìn)行了100次數(shù)值計算．求平均誤差落在區(qū)間上的概率．第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日記則

記S={100次計算產(chǎn)生的誤差}則

根據(jù)中心極限定理得：

．S=5解第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日6設(shè)每箱裝1000+a個產(chǎn)品，次品率為0.014，次品數(shù)X為一隨機(jī)變量．試求最小整數(shù)a，使第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日6解隨機(jī)變量X服從二項分布B(1000+a，0.014)，由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理有第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日查表得所以可得．續(xù)第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日7某大型商場每天接待顧客10000人，設(shè)每位顧客的消費額（元）在[100，1000]上服從均勻分布，且顧客的消費額是相互獨立的，求該商場的銷售額在平均銷售額上下波動不超過20000元的概率．第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日7解設(shè)第k位顧客的消費額為商場日銷售額為X，則因為在上服從均勻分布，所以第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日日平均銷售額和銷售額方差分別為：續(xù)第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日續(xù)．第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日8在一次空戰(zhàn)中，雙方分別出動50架轟炸機(jī)和100架殲敵機(jī)．每架轟炸機(jī)受殲敵機(jī)攻擊，這樣空戰(zhàn)分離為50個一對二的小單元進(jìn)行．在每個小單元內(nèi)，轟炸機(jī)被打下的概率為0.4，兩架殲敵機(jī)同時被打下的概率為0.2，恰有一架殲敵機(jī)被打下的概率為0.5．試求：（1）空戰(zhàn)中，有不少于35%的轟炸機(jī)被打下的概率；（2）殲敵機(jī)以90%的概率被打下的最大架數(shù)．第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日8解設(shè)分別表示在第i個小單元內(nèi)，其分布規(guī)律分別為：，數(shù)學(xué)期望和方差分別為：．轟炸機(jī)和殲擊機(jī)被打下的架數(shù)第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日．續(xù)第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日續(xù)由列維定理知事件“空戰(zhàn)中，有不少于35