第五章一階電路瞬態(tài)分析

第五章一階電路瞬態(tài)分析第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第5章一階電路

瞬態(tài)分析換路定律5.1RC電路瞬態(tài)分析5.2RL電路瞬態(tài)分析5.3第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)換路定律換路有關(guān)概念、定律瞬態(tài)過程的初始值舉例分析第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日換路有關(guān)概念、定律穩(wěn)態(tài)：電路中的電流，電壓穩(wěn)定不變或者是時間上的周期函數(shù)，稱為電路處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)一個穩(wěn)態(tài)電路的結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時，電路原穩(wěn)態(tài)被破壞而轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)態(tài)所經(jīng)歷的過程，稱為電路中的過渡過程。由于過渡過程經(jīng)歷的時間很短，所以又稱為暫態(tài)過程或暫態(tài)。第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日E暫態(tài)暫態(tài)（過渡）過程:舊穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)

t穩(wěn)態(tài)電路暫態(tài)：RkE+_Ct=0開關(guān)K合下電路處于穩(wěn)態(tài)RE+_C++__穩(wěn)態(tài)第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日內(nèi)因：電路中存在儲能元件（C、L）電容與電感上存儲的能量不能躍變，所以，在含有C、L的電路中，從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)，要有一個過渡過程。外因：

換路換路是指電路的結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生變化。如開關(guān)的通斷、短路、信號突然接入、電源電路參數(shù)的改變等。換路時電路的狀態(tài)會發(fā)生改變。產(chǎn)生暫態(tài)的原因第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日t=0t=0+t=0-tuc在換路瞬間不能突變換路定律電感元件中,儲存的磁場能為WL=1/2LiL2,電感中的能量不能躍變,表現(xiàn)為電感中電流iL不能躍變。電容元件中,儲存的電場能為WC=1/2CUC2,電容中的能量不能躍變,表現(xiàn)為兩端的電壓不能躍變。iL(0+)＝iL(0－)uC(0+)＝uc(0－)第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日瞬態(tài)過程的初始值用換路定律來確定換路瞬間暫態(tài)的初始值。若iL(0+)=iL(0－)=0，uC(0+)=uC(0－)=0，換路瞬間，電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于斷路。若iL(0+)=iL(0－)≠0，uC(0+)=uC(0－)

≠0，換路瞬間，電容相當(dāng)于恒壓源，電感相當(dāng)于恒流源。電路中其它電壓電流在換路瞬間，用換路定律、KVL、KCL定律聯(lián)合求解。第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日元件特征CLiL(t)t=0+t=0－t=∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－

)=U0uC(0+)=U0+-開路短路iL(0+)=I0

iL(0－)=I0

iL(0-)=0iL(0+)=0第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日在圖示電路中，已知：R=1KΩUS=10V，L=1H,求開關(guān)閉合后的初始值。+－SiuLRUS解：S閉合前，電路已處于穩(wěn)態(tài)。

iL(0－)=0在S閉合的瞬間，根據(jù)換路定律有：

iL(0+)＝iL(0－)=0

uR(0+)=i(0+)·R=0uR(0+)+uL(0+)=USuL(0+)=10V例題第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日R1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0時，S斷開后電壓電流的初始值.已知：US=10V，R1=2KΩ

，R2=3KΩi1請選擇：換路瞬間C相當(dāng)于短路換路瞬間C相當(dāng)于恒壓源換路瞬間i1＝i2換路瞬間i1＝iC例題第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日R1USSCi2iCuC+－R2求:

t＝0時，S斷開后電壓電流的初始值.已知：US=10V，R1=2KΩ

，R2=3KΩi1解：

∵t＝0－，電路穩(wěn)態(tài)。

C相當(dāng)于開路，i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)=2mAuC(0－)=i2(0－)·R2=6V在S斷開的瞬間，根據(jù)換路定律有：

uC(0－)=uC(0+)=6V,而i2(0+)=0i1(0+)=iC(0+)=[US－uC(0+)]/R1=2mAUC+－例題第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日R1USSCiLiCuC+－R2解：

∵t=0－，電路穩(wěn)態(tài)

C開路，L短路,iL(0－)=US/(R1+R2)uC(0－)=iL(0－)·R2

t=0時S斷開，求uC(0+)、uL(0+)、

uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。LuL在S閉合的瞬間，根據(jù)換路定律有：

uC(0－)=uC(0+),iL(0－)=iL(0+)

所以有等效電路：例題第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日+－R2uC(0+)iL(0+)uR2(0+)iC(0+)iC(0+

)=－iL(0+

)=－US/(R1+R2)uR2(0+

)=iL(0+)·R2＝uC(0+

)uL(0+

)=uC(0+

)－uR2(0+

)=0第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)RC電路瞬態(tài)分析RC電路瞬變過程的微分方程放電過程充電過程一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法穩(wěn)態(tài)值初始值時間常數(shù)第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日RC電路暫態(tài)分析RC電路的放電開關(guān)S原在“1”位置，電路處于穩(wěn)態(tài)，電容器充電。在t=0時，將開關(guān)S打到“2”位置，由于電容原已儲能，電容元件開始經(jīng)過電阻R放電。第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日RC電路的暫態(tài)分析RC電路的充電RC串聯(lián)電路。電容C中初始儲能為零，在t=0時刻，將開關(guān)S合上，電容器開始充電。第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日RC電路瞬變過程的微分方程放電電壓方程充電電壓方程第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日一階線性電路暫態(tài)分析的

三要素法

穩(wěn)態(tài)值,初始值和時間常數(shù)，我們稱這三個量為一階電路的三要素,由三要素可以直接寫出一階電路過渡過程的解。此方法叫三要素法。設(shè)

f（0+）表示電壓或電流的初始值,f（∞）表示電壓或電流的新穩(wěn)態(tài)值,τ表示電路的時間常數(shù),

f（t）表示要求解的電壓或電流。這樣,電路的表達(dá)式為:第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日三要素法解題的一般步驟:(1)畫出換路前（t=0-）的等效電路。求出電容電壓uC（0-）或電感電流iL(0-)。(2)根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),畫出換路瞬間（t=0+）時的等效電路,求出電流或電壓的初始值i(0+)或u(0+),即f(0+)。(3)畫出t=∞時的穩(wěn)態(tài)等效電路（穩(wěn)態(tài)時電容相當(dāng)于開路,電感相當(dāng)于短路）,求出穩(wěn)態(tài)下電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值i(∞)或u(∞),即f(∞)。一階線性電路暫態(tài)分析的

三要素法第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

(4)求出電路的時間常數(shù)τ。τ=RC或L/R,其中R值是換路后斷開儲能元件C或L,由儲能元件兩端看進去,用戴維南或諾頓等效電路求得的等效內(nèi)阻。(5)根據(jù)所求得的三要素,代入式（2-13）即可得電流或電壓的動態(tài)過程表達(dá)式。一階線性電路暫態(tài)分析的

三要素法第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日時間常數(shù)

時間常數(shù)就是按指數(shù)規(guī)律衰減的量衰減到它的初始值的36.8%時所需的時間?？梢宰C明，若以τ和τ的倍數(shù)標(biāo)注時間軸，那么，uC和i的指數(shù)曲線上任意點的次切距長度都等于時間常數(shù)τ,即以任意點的切線勻速衰減到零所需要的時間為τ。當(dāng)t=4τ時，uC(4τ)=U0e-4=0.0183U0，電壓已下降到初始值U0的1.83%，可認(rèn)為電壓已基本衰減到零。第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

圖示電路中,IS=8mA,C=4μF,R1=2KΩ,R2=3KΩ,R3=1KΩ,R=5KΩ

，E=10V，在t=0時將S由1打向2,試求uC(t)，畫出曲線。SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)C

τ=[(R1//R2)+R3]·C=8.8×10－3S

uc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ

=6+(12－6)e－114tV=6+6e－114tV12uC

(V)t12

6例題第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日圖示電路中,U=30V,C=10μF,R1=R3=10KΩ,R2=20KΩ

，在t=0時將S由1打向2,試求uC(t)、i(t)。SiuCR212R3R1UC解:S換路后:uC(0+)=uC(0－)uC(∞)=0i(∞)=0R0=R2∥(R1+R3)=10KΩτ

=RC=0.1Suc(t)=uC(0+)e－t/τ

=20e－10ti(t)=i(0+)e－t/τ

=e－10t例題第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日rUSCiKiCuC+－Rir原穩(wěn)定電路,求開關(guān)閉合后的uC和iK解：iC＝－uC(t)／R

＝－(US／R)e－t/RCir=US/ruC(0+)=uC(0－)=USuC(∞)=0

uC(t)=USe－t/RCτ

=RC例題第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

圖示電路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,在t=0時閉合S1,在T=0.1秒時閉合S2,試求S2閉合后的uC(t),并畫出曲線,設(shè)S1閉合前uC=0.＋－US1S2CUc(t)RR解:S1閉合后:uC(0+)=uC(0-)=0

uC(∞)=U=20Vτ1=RC=0.2SuC(t)=uc(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=20(1－e－5t)例題第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日當(dāng)t=0.1s時uC(0.1)=20(1－e－5t)

≈7.87v

τ2=(R//R)C=2.5×104×4×10－6=0.1suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=20－12.13e－10(t－0.1)V＋－US1S2CUc(t)RRS2閉合后:uc(0+)=7.87VuC(∞)=U=20V例題第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日變化曲線如圖uc(t)207.8700.1stτ1=0.2sτ2=0.1s例題第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

已知，U=10V,R1=10KΩ,R=15KΩ,C=50μF,在t=0時打開S1,經(jīng)過1秒后打開S2,試求uc(t),并畫出曲線。＋－US1S2CUc(t)R1R解:uC(0+)=uC(0-)=U/2=5V

uC(∞)=0τ1=RC=0.75Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)-uc(∞)]e－t/τ

=5e－1.3tR例題第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日＋－US1S2CUc(t)R1RR當(dāng)t=1s時uC(1)=5e－1.3

≈1.36VS2打開后:uc(0+)=1.36VuC(∞)=0V

τ2=(R+R1)C=2.5×104×50×10－6=1.25suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ

=1.36e－0.8(t－1)V例題第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日變化曲線如圖uc(t)51.3601st

τ1=0.75s

τ2=1.25s例題第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

已知，U=90V，R=60Ω

，r=30Ω,

C=10μF,在t=0時閉合S,試求uc(t)

經(jīng)過0.4ms后又打開S,試求uc(t).＋－USRRrrC解:S閉合前:uC(0+)=uC(0－)=U·R/(R+r)=60V

=60－30=30V例題第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日＋－USRRrrCuc(t)=uc(∞)+[uc(0+)-uc(∞)]e－t/τ

=30+30e－2500t當(dāng)t1=0.4ms時uC(t1)=30+30e－2500t1≈41VuC(∞)=U·R/(R+r)=60V

uc(t)=60+(41－60)e－(t－t1)/τ′

=60－19e－2000(t－t1)例題第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)RL電路瞬態(tài)分析RL電路瞬變過程的微分方程RL電路的三要素第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日RL電路瞬變過程的微分方程零輸入響應(yīng)RL串聯(lián)電路，開關(guān)原斷開，電感中有電流。在t=0時刻，將開關(guān)合上，使電路脫離電源，電路被短接。零狀態(tài)響應(yīng)RL串聯(lián)電路，在開關(guān)S合上前，線圈中未儲存能量，在t=0時，開關(guān)S合上，即與一直流電源接通。第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日一.RL電路的零輸入響應(yīng)換路前電流穩(wěn)態(tài)值為t≥0時的微分方程通解是在t=0+時，根據(jù)換路定則i(0+)=i(0-)=I0由此可求得電阻上電壓電感上電壓RL電路零輸入響應(yīng)（放電曲線）第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日RL電路充電時UR及UL為RL電路零狀態(tài)響應(yīng)（充電曲線）通解二、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)在t=0S合向位置2，t≥0的電路方程為第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日RL電路的三要素求解RL電路的暫態(tài)過程與求解RC電路的暫態(tài)過程的步驟相同,所不同的是RL電路的時間常數(shù)為τ=L/R.L單位為（H），R單位為（Ω）時,τ是秒。第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

在圖示電路中,已知L=1mH,R=10Ω,電壓表內(nèi)電阻Rv=1.5kΩ,電源電壓U=10V,在t=0時開關(guān)S斷開,S斷開前電路已處于穩(wěn)態(tài),求S斷開后電壓表兩端電壓的初始值及變化規(guī)律。VRvSabLRiLt=0U解：iL(0-)=U/R=1AiL(0+)=iL(0－)=1AS斷開的瞬間uab(0+)=－iL(0+)RV=－1500V例題第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

uab(∞)=0τ=L/(R+Rv)=1×0.001/(10+1500)=0.66×10－8Suab(t)=uab(∞)+[uab(0+)－uab(∞)]e－t/τ

=－1500e－1.51×1000000t例題第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日說明:換路的瞬間,電壓表兩端出現(xiàn)了1500V的高壓,盡管暫態(tài)時間很短也可能使電壓表擊穿。DSLRit=0U例題通常在切斷電感電路時,在線圈兩端反并聯(lián)一個二極管,以限制斷開時的電壓，保證電路中電氣設(shè)備和操作人員的安全,電路如圖所示。第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日t=0，閉合S，求iL，畫出曲線。＋－12V1H3ΩiL解:

iL(0+)=iL(0－)=12/(3+3)=2Aτ

=1/[3+(6∥3)]=0.2S＋－33VSab

iL(t)=iL(∞)+[iL(0+)－iL(∞)]e－t/τ

=3.8－1.8e－5tA6Ω3ΩiL

(A)t

23.8例題第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日＋－iL解:iL(0+)=iL(0－)=0τ1=L/R1=5×10－3SiL(∞)=US/R1=1AS

iL(t)=1－e－200tAiC(t)=－0.5e－250tA已知R1=100Ω

，R2=200Ω

，L=0.5H，Us1=100，C=20μF,t=0,閉合S,求i(t)。CiCiUsR1R2

uC(0+)=

uC(0－)=100V

iC(0+)=－uC(0+)/R1=－0.5AiC(∞)=0τ2=R2C=4×10－3S

i(t)=

iL(t)－iC(t)=1－e－200t＋0.5e－250tA例題第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

已知R1=R2=2Ω

，R=4Ω

，L=6mH，

Us1=Us2=12V，t=0，先閉合S1，經(jīng)過

t1=1ms，再閉合S2，求uab。＋－Us1LR1R2RiL解:(1)0<t<t1iL(0+)=iL(0－)=0iL(∞)=Us1/(R+R1)=2A

τ=L/(R+R1)=10－3S＋－Us2S1S2ab

iL(t)=iL(∞)+[iL(0+)－iL(∞)]e－t/τ

=2(1－e－1000t)A例題第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日uab=US1－R1iL=12－4(1－e－1000t)=8+4e－1000tV＋－Us1LR1R2RiL＋－Us2S1S2ab(2)t>t1

iL(t1+)=iL(t1－)=2(1－e－1)=1.26AiL(∞)=Us1/(R+R1/2)=2.4A

τ′=L/(R+R1/2)

=1.2×10－3S

iL(t)

=2.4+(1.26－2.4)e－833(t－t1)Auab=US1－iLR1

/2=12－2.4+1.14e－833(t－t1)

=9.6+1.14e833(t－t1)V例題第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日4、求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。將各量的三要素代入一般表達(dá)式：CE+_t=0例題第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日ttEuR1、iR2、uR2

的波形圖:CE+_t=0例題第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日已知iL(0-)=0,uC(0-)=0,試求S閉合瞬間,電路中各電壓、電流的初始值。t=0+時的等效電路uC(0+)uR(0+)RiL(0+)uL(0+)i(0+)+–+–+–+–Us相當(dāng)于短路相當(dāng)于開路i(0+)=iL(0+)=0RuR(0+)=i(0+)=0uL(0+)=USuC(0+)=uC(0-)=0解:根據(jù)換路定則及已知條件可知，

iL(0+)=iL(0-)=0電路中各電壓電流的初始值為:SCRt=0–

+UsLuCiL+–例題第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F

，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時的uC(t),并畫出變化曲線。

[解]先確定uC(0+)uC()和時間常數(shù)

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+

t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，意味著電容相當(dāng)于開路。2t=0S例題第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

電路中,已知R1=5KΩ,R2=10KΩ,C=4μF，US=20V,

t=0，打開S，求uC(t)、iC(t)、并畫出變化曲線。SuCR2R1USiCC+－電路為零輸入響應(yīng)解:

uC(0+)=uC(0－)=US·R2/（R1+R2）=20×10/15=13.3Vτ=R2C=4×10－2S

uC(∞)=0

iC(∞)=0

uC(t)

=13.3e－25tV

iC(t)

=－1.33e－25tmAuC(t)tiC(t)-1.33mA13.3V習(xí)題第五十頁，共五十四頁，2022年，8月28日