第六章 卡方檢驗(yàn)

第六章卡方檢驗(yàn)第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日6.12統(tǒng)計(jì)量與2分布一、2統(tǒng)計(jì)量的意義2是度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，2越小，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)越接近；2=0，表示兩者完全吻合；2越大，表示兩者相差越大。第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日★現(xiàn)結(jié)合一實(shí)例說(shuō)明2(讀作卡方)

統(tǒng)計(jì)量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動(dòng)物的性別比例是1:1。統(tǒng)計(jì)某羊場(chǎng)一年所產(chǎn)的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性別比例計(jì)算，公、母羔均應(yīng)為438只。以O(shè)表示實(shí)際觀察次數(shù)，E表示理論次數(shù)，可將上述情況列成表6-1。

表6-1羔羊性別實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)性別實(shí)際觀察次數(shù)O理論次數(shù)EO-E（O-E）2/E公428（O1）438（E1）-100.2283母448（O2）438（E2）100.2283合計(jì)87687600.4566

第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日從表6-1看到，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)存在一定的差異，這里公、母各相差10只。這個(gè)差異是屬于抽樣誤差(把對(duì)該羊場(chǎng)一年所生羔羊的性別統(tǒng)計(jì)當(dāng)作是一次抽樣調(diào)查)、還是羔羊性別比例發(fā)生了實(shí)質(zhì)性的變化?要回答這個(gè)問(wèn)題，首先需要確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量用以表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度；然后判斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤差，即進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日為了度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度，最簡(jiǎn)單的辦法是求出實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。為了避免正、負(fù)抵消，可將兩個(gè)差數(shù)O1-E1、O2-E2平方后再相加，即計(jì)算∑(O-E)2，其值越大，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相差亦越大，反之則越小。但利用∑(O-E)2表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度尚有不足。未考慮觀察次數(shù)（與理論次數(shù)）的大小對(duì)偏離程度的影響。為了彌補(bǔ)這一不足，可先將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再相加（轉(zhuǎn)化為相對(duì)比值）并記之為，即第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日二、2分布

設(shè)有一平均數(shù)為μ、方差為的正態(tài)總體?，F(xiàn)從此總體中獨(dú)立隨機(jī)抽取n個(gè)隨機(jī)變量：x1、x2、…、xn，并求出其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差：

,,…記這n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和為：2＝＝它服從自由度為n的2分布，記為～2(n)；第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日

若用樣本平均數(shù)代替總體平均數(shù)μ，則隨機(jī)變量2=服從自由度為n-1的分布，記為～

2分布是由正態(tài)總體隨機(jī)抽樣得來(lái)的一種連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。顯然，≥0，即的取值范圍是[0,+∞；分布密度曲線是隨自由度不同而改變的一組曲線。隨自由度的增大，曲線由偏斜漸趨于對(duì)稱第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日三、2的連續(xù)性矯正

由公式計(jì)算的2只是近似地服從連續(xù)型隨機(jī)變量2分布。在對(duì)次數(shù)資料進(jìn)行2檢驗(yàn)利用連續(xù)型隨機(jī)變量2分布計(jì)算概率時(shí)，常常偏低，特別是當(dāng)自由度為1時(shí)偏差較大。Yates(1934)提出了一個(gè)矯正公式，矯正后的2值記為

c2

第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)自由度大于1時(shí)，

分布與連續(xù)型隨機(jī)變量分布相近似，這時(shí)，可不作連續(xù)性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。若某組的理論次數(shù)小于5，則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大于5為止。第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日6.2適合性檢驗(yàn)

一、適合性檢驗(yàn)的意義判斷實(shí)際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說(shuō)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為適合性檢驗(yàn)。第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日在適合性檢驗(yàn)中，無(wú)效假設(shè)為H0：實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說(shuō)；備擇假設(shè)為HA：實(shí)際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說(shuō)。并在無(wú)效假設(shè)成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說(shuō)計(jì)算各屬性類別的理論次數(shù)。適合性檢驗(yàn)的自由度等于屬性類別分類數(shù)減1。若屬性類別分類數(shù)為k，則適合性檢驗(yàn)的自由度為k-1。第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算出2或2c。將所計(jì)算得的2或2c值與根據(jù)自由度k-1查2值表所得的臨界2值：20.05、20.01比較：若2(或2c)＜20.05，P＞0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說(shuō)；若20.05≤2(或2c)＜20.01，0.01＜P≤0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異顯著，實(shí)際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說(shuō)；

第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日二、適合性檢驗(yàn)的方法下面結(jié)合實(shí)例說(shuō)明?！纠吭谶M(jìn)行山羊群體遺傳檢測(cè)時(shí)，觀察了260只白色羊與黑色羊雜交的子二代毛色，其中181只為白色，79只為黑色，問(wèn)此毛色的比率是否符合孟德?tīng)栠z傳分離定律的3∶1比例？第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日檢驗(yàn)步驟如下：（一）提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)H0：子二代分離現(xiàn)象符合3∶1的理論比例。HA：子二代分離現(xiàn)象不符合3∶1的理論比例。（二）選擇計(jì)算公式

由于本例是涉及到兩組毛色（白色與黑色），屬性類別分類數(shù)k=2，自由度df=k-1=2-1=1，須使用連續(xù)性校正公式來(lái)計(jì)算。第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（三）計(jì)算理論次數(shù)根據(jù)理論比率3∶1求理論次數(shù)：白色理論次數(shù)：E1=260×3/4=195黑色理論次數(shù)：E2=260×1/4=65第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（四）計(jì)算表6—22c計(jì)算表性狀實(shí)際觀察次數(shù)（O）理論次數(shù)（E）O-E白色181195-140.935黑色7965+142.804總和26026003.739

2c第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日(五)查臨界2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷當(dāng)自由度df=1時(shí)，查得20.05（1）

=3.84，計(jì)算的2c<20.05（1），故P>0.05，不能否定H0，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為白色羊與黑色羊的比率符合孟德?tīng)栠z傳分離定律3∶1的理論比例。第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日【例】在研究牛的毛色和角的有無(wú)兩對(duì)相對(duì)性狀分離現(xiàn)象時(shí)，用黑色無(wú)角牛和紅色有角牛雜交，子二代出現(xiàn)黑色無(wú)角牛192頭，黑色有角牛78頭，紅色無(wú)角牛72頭，紅色有角牛18頭，共360頭。試問(wèn)這兩對(duì)性狀是否符合孟德?tīng)栠z傳規(guī)律中9∶3∶3∶1的遺傳比例？第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日檢驗(yàn)步驟：（一）提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：實(shí)際觀察次數(shù)之比符合9∶3∶3∶1的理論比例。

HA：實(shí)際觀察次數(shù)之比不符合9∶3∶3∶1的分離理論比例。（二）選擇計(jì)算公式由于本例的屬性類別分類數(shù)k=4：自由度df=k-1=4-1=3>1，計(jì)算2。第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（三）計(jì)算理論次數(shù)依據(jù)各理論比率9:3:3:1計(jì)算理論次數(shù)：黑色無(wú)角牛的理論次數(shù)E1：360×9/16=202.5；黑色有角牛的理論次數(shù)E2：360×3/16=67.5；紅色無(wú)角牛的理論次數(shù)E3：360×3/16=67.5；紅色有角牛的理論次數(shù)E4：360×1/16=22.5。第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（四）列表計(jì)算2表6—3

計(jì)算表類型實(shí)際觀察次數(shù)O理論次數(shù)EO-E（O-E）2/E黑色無(wú)角牛192（O1）202.5（E1）-10.50.5444黑色有角牛78（O2）67.5（E2）+10.51.6333紅色無(wú)角牛72（O3）67.5（E3）+4.51.6333紅色有角牛18（O4）22.5（E4）-4.50.9000總計(jì)36036004.711第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（五）查臨界值，作出統(tǒng)計(jì)推斷當(dāng)df=3時(shí)，20.05(3)=7.815，因2<20.05(3)，P>0.05，不能否定H0，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為毛色與角的有無(wú)兩對(duì)性狀雜交二代的分離現(xiàn)象符合孟德?tīng)栠z傳規(guī)律中9∶3∶3∶1的遺傳比例。第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日6.3

獨(dú)立性檢驗(yàn)一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義對(duì)次數(shù)資料，除進(jìn)行適合性檢驗(yàn)外，有時(shí)需要分析兩類因子是相互獨(dú)立還是彼此相關(guān)。這種根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨(dú)立的假設(shè)檢驗(yàn)就是獨(dú)立性檢驗(yàn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)際上是基于次數(shù)資料對(duì)子因子間相關(guān)性的研究。第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日如研究?jī)深愃幬飳?duì)家畜某種疾病治療效果的好壞，先將病畜分為兩組，一組用第一種藥物治療，另一組用第二種藥物治療，然后統(tǒng)計(jì)每種藥物的治愈頭數(shù)和未治愈頭數(shù)。這時(shí)需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療效不相同；若兩者相互獨(dú)立，表明兩種藥物療效相同。第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（一）獨(dú)立性檢驗(yàn)的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同而構(gòu)成2×2、2×c、r×c列聯(lián)表（r為行因子的屬性類別數(shù)，c為列因子的屬性類別數(shù)）。而適合性檢驗(yàn)只按某一因子的屬性類別將如性別、表現(xiàn)型等次數(shù)資料歸組。（二）適合性檢驗(yàn)按已知的屬性分類理論或?qū)W說(shuō)計(jì)算理論次數(shù)。獨(dú)立性檢驗(yàn)在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)沒(méi)有現(xiàn)成的理論或?qū)W說(shuō)可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨(dú)立的假設(shè)下進(jìn)行計(jì)算。第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（三）在適合性檢驗(yàn)中確定自由度時(shí)，只有一個(gè)約束條件：各理論次數(shù)之和等于各實(shí)際次數(shù)之和，自由度為屬性類別數(shù)減1。而在r×c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，共有rc個(gè)理論次數(shù)，但受到以下條件的約束：1、rc個(gè)理論次數(shù)的總和等于rc個(gè)實(shí)際次數(shù)的總和；2、r個(gè)橫行中的每一個(gè)橫行理論次數(shù)總和等于該行實(shí)際次數(shù)的總和。而獨(dú)立的行約束條件只有r-1個(gè)；3、類似地，獨(dú)立的列約束條件有c-1個(gè)。因而在進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，自由度為rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（橫行屬性類別數(shù)-1）×（直列屬性類別數(shù)-1）。第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日二、獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法（一）2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)

2×2列聯(lián)表的一般形式如表6—10所示，其自由度df=(

C-1)(r-1)=(2-1)(2-1)=1，在進(jìn)行2檢驗(yàn)時(shí)，需作連續(xù)性矯正，應(yīng)計(jì)算值2c

。表6—102×2列聯(lián)表的一般形式12行總合1O11（E11）O12（E12）R1=O11+O122O21（E21）O22（E22）R2=O21+O22列總合T.C1=O11+O21C2=O12+O22T=O11+O12+O21+O22其中Oij為實(shí)際觀察次數(shù)，Eij為理論次數(shù)。第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日【例】某豬場(chǎng)用80頭豬檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗是否有預(yù)防效果。結(jié)果是注射疫苗的44頭中有12頭發(fā)病，32頭未發(fā)病；未注射的36頭中有22頭發(fā)病，14頭未發(fā)病，問(wèn)該疫苗是否有預(yù)防效果？第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日1、先將資料整理成列聯(lián)表（見(jiàn)表6—11）表6—112×2列聯(lián)表發(fā)病未發(fā)病行總和發(fā)病率注射12(18.7)32(25.3)R1：4427.3%未注射22(15.3)14(20.7)R2：3661.1%列總和C1：34C2：46T：802、提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)H0：發(fā)病與否和注射疫苗無(wú)關(guān)，即二因子相互獨(dú)立。HA：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3、計(jì)算理論次數(shù)根據(jù)二因子相互獨(dú)立的假設(shè)，由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出各個(gè)理論次數(shù)。二因子相互獨(dú)立，就是說(shuō)注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說(shuō)注射組與未注射組的理論發(fā)病率應(yīng)當(dāng)相同，均應(yīng)等于總發(fā)病率34/80=0.425。依此計(jì)算出各個(gè)理論次數(shù)如下：注射組的理論發(fā)病數(shù)：E11=44×34/80=18.7注射組的理論未發(fā)病數(shù)：E12=44×46/80=25.3，未注射組的理論發(fā)病數(shù)：E21=36×34/80=15.3未注射組的理論未發(fā)病數(shù)：E22=36×46/80=20.7?！锉?-11括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的理論次數(shù)。第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日4、計(jì)算2c值將表6-11中的實(shí)際次數(shù)、理論次數(shù)代入公式得：+

第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日5、由自由度df=1查臨界2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷因?yàn)?0.01（1）=6.63，而2c=7.944>20.01（1），P<0.01，否定H0，接受HA，表明發(fā)病率與是否注射疫苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于未注射組，說(shuō)明該疫苗是有預(yù)防效果的。第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日在進(jìn)行22列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，還可利用下述簡(jiǎn)化公式計(jì)算：

在簡(jiǎn)化公式中，不需要先計(jì)算理論次數(shù)，直接利用實(shí)際觀察次數(shù)Oij，行、列總和Ri、Cj和總總和T進(jìn)行計(jì)算，比利用公式計(jì)算簡(jiǎn)便，且舍入誤差小。第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（二）2×c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)

2×c列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為2，列因子的屬性類別數(shù)為c（c3）的列聯(lián)表。其自由度df=(2-1)(c-1)，因?yàn)閏3，所以自由度大于2，在進(jìn)行2檢驗(yàn)時(shí)，不需作連續(xù)性矯正。2×c表的一般形式見(jiàn)表6—12。表6—122×c聯(lián)列表一般形式12…c行總和1O11O12…O1cR12O21O22…O2cR2列總和

C1C2…總總和T其中Oij（i=1，2；j=1，2，…，c）為實(shí)際觀察次數(shù)。第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日【例】在甲、乙兩地進(jìn)行水牛體型調(diào)查，將體型按優(yōu)、良、中、劣四個(gè)等級(jí)分類，其結(jié)果見(jiàn)表6—13，問(wèn)兩地水牛體型構(gòu)成比是否相同。表6—13兩地水牛體型分類統(tǒng)計(jì)優(yōu)良中劣行總和Ti.甲10（13.3）10(10.0)60(53.3)10(13.4)90乙10(6.7)5(5.0)20(26.7)10(6.6)45列總和T.j20158020135這是一個(gè)2×4列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的問(wèn)題。

第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日檢驗(yàn)步驟如下：1.提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)無(wú)關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比相同。

HA：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)有關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比不同。第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日2.計(jì)算各個(gè)理論次數(shù)，并填在各觀察次數(shù)后的括號(hào)中計(jì)算方法與2×2表類似，即根據(jù)兩地水牛體型構(gòu)成比相同的假設(shè)計(jì)算。如優(yōu)等組中，甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率20/135計(jì)算；良等組中甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率15/135計(jì)算；中等、劣等組中甲地、乙地的理論次數(shù)分別按理論比率80/135和20/135計(jì)算。甲地優(yōu)等組理論次數(shù)：E11=90×20/135=13.3，乙地優(yōu)等組理論次數(shù)：E21=45×20/135=6.7；其余各個(gè)理論次數(shù)的計(jì)算類似。第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日

3.計(jì)算計(jì)算2值4.由自由度df=(2-1)*(4-1)=3查臨界2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷因?yàn)?0..05（3）=7.815，而2=7.582<20..05（3），p>0.05，不能否定H0,可以認(rèn)為甲、乙兩地水牛體型構(gòu)成比相同。第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日在進(jìn)行2×c列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，還可利用下述簡(jiǎn)化公式計(jì)算2：

或

前后兩式的區(qū)別在于：前式利用第一行中的實(shí)際觀察次數(shù)A1j和行總和T1.；后式利用第二行中的實(shí)際觀察次數(shù)A2j和行總和T2.，計(jì)算結(jié)果相同。

第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日（三）r×c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)

r×c表是指行因子的屬性類別數(shù)為r（r>2），列因子的屬性類別數(shù)為c(c>2)的列聯(lián)表。其一般形式見(jiàn)表7-17。表6—17r×c列聯(lián)表的一般形式12…c行總和1O11O12…O1cR12O21O22…O2cR2rOr1Or2…OrcRr列總和C1C2…CcT其中Oiji=1,2,…r;j=1,2,…c）為實(shí)際觀察次數(shù)。第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日r×c列聯(lián)表各個(gè)理論次數(shù)的計(jì)算方法與上述（2×2）、（2×c）表適合性檢驗(yàn)類似。但一般用簡(jiǎn)化公式計(jì)算2值，其公式為：

第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日【例】對(duì)三組奶牛（每組39頭）分別喂給不同的飼料，各組發(fā)病次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，問(wèn)發(fā)病次數(shù)的構(gòu)成比與所喂飼料是否有關(guān)？表6—18三組牛的發(fā)病次數(shù)資料發(fā)病次數(shù)飼料總和12