第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.1根軌跡法的基本概念一、根軌跡定義開環(huán)傳遞函數(shù)的某個(gè)參數(shù)由0~∞時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。例1：如圖所示二階系統(tǒng)，試?yán)L制其根根軌跡。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：-第二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日jw-2-112-1-2s閉環(huán)特征方程為：特征根為：[討論]：.........當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2當(dāng)K=0.125時(shí)，s1=-0.13,s2=-1.866當(dāng)K=0.25時(shí)，s1=-0.29,s2=-1.707當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=-1,s2=-1當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j當(dāng)K=2.5時(shí)，s1=-1+2j,s2=-1-2j……當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞第三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日二.根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性根軌跡不會(huì)穿越虛軸進(jìn)入右半s平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果根軌跡越過虛軸進(jìn)入s右半平面，此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值，就是臨界開環(huán)增益。jw-2-112-1-2s.........2.穩(wěn)態(tài)性能由坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)數(shù)確定系統(tǒng)類型；若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。第四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日3.動(dòng)態(tài)性能K=0→∞時(shí)，根軌跡均在時(shí)s平面的左半部分，系統(tǒng)始終穩(wěn)定；(1)0<K<0.5時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根，過阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程；(2)K=0.5時(shí)，相同負(fù)實(shí)根，臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)仍為非周期過程；(4)K>0.5時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)根，欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。問題在于逐點(diǎn)計(jì)算工作量大，若要更有效的繪制根軌跡就必須找出繪根軌跡的規(guī)律…jw-2-112-1-2s.........第五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日三、閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖前向通路傳函：KG*--前向通路根軌跡增益KH*--反饋通路根軌跡增益反饋通路傳函：第六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日開環(huán)傳遞函數(shù)：K*--開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日(1)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡益。(2)閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞數(shù)的極點(diǎn)所組成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。(3)閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。結(jié)論第八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日四、根軌跡方程閉環(huán)特征方程：--根軌跡方程五、模值條件方程和相角條件方程第九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日模值條件：相角條件：注釋：1.根軌跡上的點(diǎn)應(yīng)同時(shí)滿足上兩個(gè)方程；2.相角條件方程與K*無關(guān)，模值方程才與K*相關(guān)；3.模值條件用來確定對(duì)應(yīng)的K*；4.相角條件是決定根軌跡的充要條件，s平面上一點(diǎn)s1若滿足相角條件即為根軌跡上的一點(diǎn)。第十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日繪制根軌跡方法：1.試探法：任選s1點(diǎn)看是否滿足相角條件；2.按基本規(guī)則(如下節(jié)講述)手工繪制；3.用計(jì)算機(jī)繪制。[一些約定]：

在根軌跡圖中，“×”表示開環(huán)極點(diǎn)，“○”表示開環(huán)有限值零點(diǎn)。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！?”表示根軌跡上的點(diǎn)。第十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.2根軌跡繪制的基本法則一、繪制根軌跡的基本法則法則1.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)，若n>m，則有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。第十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日K*=0時(shí)必有K*=∞時(shí)必有--起點(diǎn)--終點(diǎn)若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里？答案：在無窮遠(yuǎn)處。n-m個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)第十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則2.根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)m和有限極點(diǎn)n中的大者相等，它們是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相等(n>m)，或與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m相等(n<m)。根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。實(shí)軸對(duì)稱：特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)，特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。第十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則3.實(shí)軸上的根軌跡如果實(shí)軸上某一區(qū)段的右邊的實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實(shí)軸必是根軌跡。[證明]1.s1點(diǎn)與p3、p4的向量的相角之和q

1+q

2=0°2.s1點(diǎn)與z1、z2的向量的相角之和q

3+q4=0°3.s1點(diǎn)與p2的向量的相角為0°4.s1點(diǎn)與p1的向量的相角為180°s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，因此[p2,p1]為實(shí)軸上的根軌跡。s2、s3：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)第十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例1.設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實(shí)軸上的根軌跡。解：零極點(diǎn)分布如下：p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2實(shí)軸上根軌跡為：[-1，0]、[-3，-2]和(-∞，-4]jwsoo第十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則4.根軌跡的漸近線n>m時(shí)：n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。與實(shí)軸的交點(diǎn)：與實(shí)軸的夾角：0000第十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例2.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角。解：根軌跡有3條；起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-1，p3=-5；因無有限值零點(diǎn)，所以3條根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)。與實(shí)軸的交點(diǎn)：與實(shí)軸的夾角：零極點(diǎn)分布和漸近線如圖所示：第十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則5.根軌跡的分離點(diǎn)與分離角若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)在兩極點(diǎn)之間，會(huì)合點(diǎn)在兩零點(diǎn)之間。閉環(huán)特征方程有重根。jw-2-112-1-2s分離點(diǎn)A--分離點(diǎn)B--會(huì)合點(diǎn)分離角：l--根軌跡分支數(shù)第十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日求取分離點(diǎn)的方法(1)用試探法求解：若系統(tǒng)無有限零點(diǎn)：例3[例4-1].系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。1.開環(huán)零極點(diǎn)：解：第二十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日3.漸近線：2.實(shí)軸上的根軌跡：[-3,-2][-1,0]4.分離點(diǎn)：實(shí)軸區(qū)域[-2,-3]必有一個(gè)根軌跡的分離點(diǎn)d，d滿足分離點(diǎn)方程：解得：第二十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)極值法第二十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日(3)牛頓余數(shù)定理法步驟：(1)求出；(2)設(shè)；(3)在其分離點(diǎn)可能出現(xiàn)的實(shí)軸坐標(biāo)附近找一試探點(diǎn)s1；(4)用(s-s1)去除P(s)，得到商Q(s)、余數(shù)R1；(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余數(shù)R2；(6)計(jì)算s2=s1-R1/R2；(7)將s2作為新的試探點(diǎn)重復(fù)步驟(4)~(6)。第二十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例4.試用牛頓余數(shù)定理法確定例3的分離點(diǎn)。解：因[-3,-2]內(nèi)必有分離點(diǎn)，所以選s1=-2.5。第二十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日所以，分離點(diǎn)為-2.47。第二十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例5.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)。解：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：(-∞,-5][-1,0]顯然，分離點(diǎn)為-0.4725，而-3.5275不是分離點(diǎn)。閉環(huán)特征方程為：(舍去)(1)極值法第二十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日因[-1,0]內(nèi)必有分離點(diǎn)，所以選s1=-0.5。所以，分離點(diǎn)為-0.472。(2)牛頓余數(shù)定理法第二十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則6.根軌跡的起始角和終止角起始(出射)角θpi

：起始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。第二十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日終止(入射)角jzi：終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。第二十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例6.如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2根據(jù)對(duì)稱性，可知p2點(diǎn)的出射角為：注意：相角要注意符號(hào)：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；注意矢量的方向。解：tanj1=1j1=45°θ2=90°θ3=135°tanθ4=0.5θ4=26.6°取k=0(考慮到周期性)：θp1=-26.6°θp2=

-θp1=26.6°第三十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例7[例4-3].系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。3.漸近線：解：2.實(shí)軸上的根軌跡：1.開環(huán)零極點(diǎn)：n-m=1，只有一條180o漸進(jìn)線。4.分離點(diǎn)：無分離點(diǎn)。(－∞，-2.5][-1.5，0]第三十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°起始角：5.起始角和終止角：第三十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日90°121°153°199°63.5°117°終止角：第三十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日概略根軌跡圖第三十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根，這時(shí)的增益稱為臨界根軌跡增益。交點(diǎn)和臨界根軌跡增益的求法：(1)由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解；(2)令s=jw，代入閉環(huán)特征方程中，使實(shí)、虛部分別為零，求出w和K*。第三十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日解：方法一例8.，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。K*=0

w=0

舍去(根軌跡的起點(diǎn))

與虛軸的交點(diǎn):閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：s=jw第三十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日方法二：用勞思穩(wěn)定判據(jù)確定交點(diǎn)的值。勞思表為：s2的輔助方程：K*

=30當(dāng)s1行等于0時(shí)，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。即第三十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日法則8.根之和當(dāng)n-m≥2時(shí)：對(duì)于任意的K*閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。表明：當(dāng)K*變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)(變大)，則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)(變小)。該規(guī)則的作用：(1)定性判斷根軌跡的走向；(2)已知幾個(gè)閉環(huán)根可以求出其他一個(gè)或兩個(gè)根。第三十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)需掌握繪制根軌跡的8個(gè)準(zhǔn)則根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)；根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性；實(shí)軸上根軌跡；根軌跡的漸近線；根軌跡的分離點(diǎn)與分離角；根軌跡的起始角和終止角；根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；根之和。第三十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日1.標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)用相同的比例尺)；2.實(shí)軸上的根軌跡；3.n-m條漸近線；4.根軌跡的起始角和終止角；5.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；6.根軌跡的分離點(diǎn)；結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的分支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)、根之和等性質(zhì)畫出根軌跡。根軌跡作圖步驟第四十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例9[例4-4]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。3.漸近線：4.起始角：1.開環(huán)零極點(diǎn)：2.實(shí)軸上的根軌跡：解：[-3，0]第四十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日5.分離點(diǎn)：6.與虛軸的交點(diǎn)：勞思表為：第四十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)s1行等于0時(shí)，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。即K*

=8.16s2的輔助方程：概略根軌跡圖第四十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日3.漸近線：例10.開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。4.起始角：1.開環(huán)零極點(diǎn)：2.實(shí)軸上的根軌跡：解：(－∞，0]第四十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日5.與虛軸的交點(diǎn)：特征方程：s=jω---舍去(起點(diǎn))第四十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日6.分離點(diǎn)：由圖可知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離點(diǎn)。特征方程：概略根軌跡圖第四十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根軌跡第四十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日二、閉環(huán)極點(diǎn)的確定上面繪制根軌跡的基本原則，可以簡(jiǎn)便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。為了得到準(zhǔn)確的根軌跡曲線，必要時(shí)可以選取若干個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，用相角條件去檢驗(yàn)。方法：根據(jù)模值條件先用試探法確定實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值；用綜合除法得到其余閉環(huán)極點(diǎn)。第四十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡--以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡一、參數(shù)根軌跡在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益K*以外，其它情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。閉環(huán)特征方程：變換當(dāng)系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)變化時(shí)，所繪出的根軌跡稱謂根軌跡簇。等效開環(huán)傳遞函數(shù)：利用此式畫出的根軌跡，就是以參數(shù)A為變量的參數(shù)根軌跡。第四十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項(xiàng)除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參數(shù)稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益；用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的步驟第五十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日-[解]：例1：繪制如下系統(tǒng)以a為參數(shù)的根軌跡。閉環(huán)特征方程為：等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.開環(huán)零極點(diǎn)：2.實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]第五十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日3.漸近線：4.初始角：5.分離點(diǎn)：-2-10-2-1012第五十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例2[例4-7]設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)Ta對(duì)系統(tǒng)性能的影響。[解]：閉環(huán)特征方程為：第五十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日等效開環(huán)極點(diǎn)：選定不同K值，然后將G1(s)的零、極點(diǎn)畫在s平面上，再令Ta=0?

￥繪制出Ta變化時(shí)的參數(shù)根軌跡。等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：第五十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)根軌跡簇第五十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日二、附加開環(huán)零、極點(diǎn)的作用根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)，因此可以通過增加開環(huán)零、極點(diǎn)來改造根軌跡，從而實(shí)現(xiàn)改善系統(tǒng)的目的。1.增加開環(huán)極點(diǎn)一般說，在s左半平面增加極點(diǎn)，對(duì)根軌跡的影響：(1)改變根軌跡在實(shí)軸上的分布；(2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角；(3)改變根軌跡的分支數(shù)；(4)促使根軌跡右移，降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。第五十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例(1)增加一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)軌跡向右彎曲，極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利，極點(diǎn)越靠近虛軸影響越大。穩(wěn)定K*小時(shí)穩(wěn)定K*大時(shí)可能不穩(wěn)定第五十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)增加一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)第五十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日2.增加開環(huán)零點(diǎn)增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響：(1)改變根軌跡在實(shí)軸上的分布；(2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角；(3)若增加的開環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消(因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn))；(4)促使根軌跡左移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性增強(qiáng)。第五十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日(1)增加一個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)增加的零點(diǎn)使根軌跡左偏，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定有利，越靠近虛軸影響越大。實(shí)例第六十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)增加一對(duì)軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)第六十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日三、零度根軌跡常規(guī)根軌跡的相角條件：(2k+1)p=180o+2kp--180o根軌跡零度根軌跡的相角條件：2kp=0o+2kp零度根軌跡的來源：1.非最小相位系統(tǒng)(系統(tǒng)在s平面的右半側(cè)有開環(huán)零極點(diǎn))中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；2.控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180o根軌跡或簡(jiǎn)稱為根軌跡；正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0o根軌跡。因此：第六十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日零度根軌跡的繪制+閉環(huán)傳遞函數(shù)：根軌跡方程：模值條件：相角條件：第六十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日繪制0度根軌跡的準(zhǔn)則(修改的準(zhǔn)則)法則3.實(shí)軸上的根軌跡：法則4.漸近線的夾角：法則6.初始角和終止角：初始角：終止角：其右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)(包括0)的區(qū)域。第六十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例1：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。1.開環(huán)零極點(diǎn)：[解]：2.實(shí)軸上：3.漸近線：p1=0p2=-1p3=-5[-5，-1][0，+∞)第六十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.分離點(diǎn)：根軌跡圖第六十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例2[例4-8]設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別如下，試?yán)L制該回路的根軌跡圖。1.開環(huán)零極點(diǎn)：[解]：2.實(shí)軸上：3.漸近線：(-，-3]，[-2，+)第六十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.分離點(diǎn)：經(jīng)整理：

5.起始角：根軌跡圖6.確定臨界開環(huán)增益：s=0時(shí)第六十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：若開環(huán)傳遞函數(shù)為：則正負(fù)反饋的根軌跡方程分別為：可見，正反饋根軌跡相當(dāng)于負(fù)反饋根軌跡的K*從0→-∞時(shí)的根軌跡。所以，可將正負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得-∞<K*<+∞時(shí)的整個(gè)區(qū)間的根軌跡。第六十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日正反饋(0度)根軌跡圖將例1給出的開環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負(fù)根軌跡圖如下：負(fù)反饋(180度)根軌跡圖第七十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日4.4系統(tǒng)性能的分析一、穩(wěn)定性如果閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即穩(wěn)定只與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點(diǎn)位置無關(guān)。二、運(yùn)動(dòng)形式如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；如果閉環(huán)極點(diǎn)均為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一般是振蕩的。第七十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日三、超調(diào)量四、調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)數(shù)絕對(duì)值s1=zwn，如果實(shí)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，并且它附近沒有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于該實(shí)數(shù)極點(diǎn)的模值。超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率