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例說(shuō)向量在解題中的妙用312353浙江上虞春暉中學(xué)王啟東向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，新教材已將《平面向量》納入教學(xué)計(jì)劃，編入高中數(shù)學(xué)教材，有關(guān)向量?jī)?nèi)容的考查，性質(zhì)的應(yīng)用已引起廣大師生的重視。運(yùn)用向量知識(shí)解題往往可收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果，本文著重就向量的數(shù)量積的應(yīng)用談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)體會(huì)。1、求值例1、設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，，，求的值。解：由題設(shè)條件，考慮構(gòu)造向量，由可知：即：，變形整理得：，同理： 2、求夾角例2、已知非零向量的夾角為，且向量與垂直，與垂直，求的值。解：且 即：（1）—（2）得：代入（1）得：即：3、求最值例3、設(shè)且恒成立，求的最大值。解：設(shè)由得：即：當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，即：即：時(shí)“=”成立。的最大值為5。4、證明三角公式例4、求證：證明：以原點(diǎn)O為始點(diǎn)，作向量使其分別等于，與軸交角分別為則，交角為又由（1）、（2）可知：5、證明等式例5、已知求證：證明：若，結(jié)論顯然成立。若不全為0，構(gòu)造向量：則由已知得：或即：6、證明不等式例6、求證：分析：本題常規(guī)用代數(shù)證明較繁！若從聯(lián)想到向量的數(shù)量積，由聯(lián)想向量的模來(lái)證明，既簡(jiǎn)便又明了，巧妙之至。證明：設(shè)7、證明三線共點(diǎn)（三點(diǎn)共線）例7、求證△的三條高相交于一點(diǎn)。證明：設(shè)△的、邊上的高分別為、，交于點(diǎn)，連。設(shè)，，則，即：，兩式相減得：即：即三角形三條高相交于一點(diǎn)。8、證平行、垂直例8、已知為非零向量，，求證；證：即：即：9、判斷三角形形狀例9、已知向量滿足，，判斷的形狀。解：，即即由得：=同理：=同理：是正三角形。10、解方程和方程組例10、解方程：分析：本題直接解方程顯然較繁，構(gòu)造向量來(lái)求解不失為一種較好的方法。解：構(gòu)造向量，而即：

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