高中立體幾何中的最小角定理與最大角定理的應(yīng)用 講義-2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（含答案）

最小角定理與最大角定理的應(yīng)用目錄最小角定理與最大角定理的應(yīng)用 1知識梳理 2例題精選 41三余弦定理 42三正弦定理 93最小角定理 124最大角定理 175兩個定理綜合應(yīng)用 23

知識梳理一、最小角定理1．直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫作這條斜線和平面所成的角．為什么要這樣定義?因?yàn)榫€面角的定義是為了反映直線相對于平面的傾斜程度的，而任何一條直線和平面內(nèi)的所有直線所成的角的最大值都是90°，而最小值可以反映直線的傾斜程度，2．最小角定理線面角是平面的一條斜線與該平面內(nèi)的直線所成角的最小值．證明如圖，OP是平面α的一條斜線，點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影是點(diǎn)H，直線OQ是平面α內(nèi)除OH以外的的任意一條直線．作HQ⊥OQ于點(diǎn)Qcos從而cos?∠POH＞cos說明三余弦定理有時也被稱作“爪子定理”，此外三余弦定理也是三面角余弦定理的特例．二、最大角定理1．二面角的大小的定義先直觀的感受一下如下幾個二面角的大小關(guān)系：二面角大小的定義:在二面角α?l?β的棱上任取一點(diǎn)O,分別在半平面α,β內(nèi)作OP,OQ垂直為什么這樣定義二面角的大小?因?yàn)椤螦OB是半平面α內(nèi)的所有直線與另一個半平面β先發(fā)揮一下空間想象力,以O(shè)為圓心,定長r為半徑,在β內(nèi)作半圓AOB,設(shè)半圓弧的中點(diǎn)為C,點(diǎn)P是半圓上一動點(diǎn),它在α內(nèi)的射影點(diǎn)為H.則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)C的過程中,點(diǎn)P的高度越來越高;點(diǎn)P從點(diǎn)C移動到點(diǎn)B的過程中,點(diǎn)P的高度越來越低.從而當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時,即OP⊥l時,OP與成的角θ的正弦值sin?θ2.最大角定理二面角是平面內(nèi)的直線與另一個平面所成角的最大值.證明如圖,∠POH是二面角α?l?β的平面角,且PH⊥β,Qsin?∠(即三正弦定理:sin線線角·sin面面角=sin線面角).從而sin?∠POH

例題精選1三余弦定理例1從點(diǎn)P出發(fā)的3條射線PA,PB,PC,每兩條射線的夾角是60°答案33解析如圖,在PC上取點(diǎn)D作DO⊥平面PAB,垂足為O,PO為PC的射影,則∠CPO是PC與平面PAB所成角,由題意知:cos?∠即cos?60°=cos?∠例2已知平面α//β,直線l與α所成角的正切值為22,直線m?α,l⊥m,直線n?β答案π3解析如圖,設(shè)l'為直線l在平面α上的射影,則l'?α.又l⊥m,由三垂線定理知l'⊥m,且cos?θ1=63cos?解得cos?θ2=32,即θ2=例3如圖,已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別為棱AB,BC的中點(diǎn),則二面角B1答案13解析如圖,連接BD,設(shè)BD∩MN=O,易得MN⊥平面BB1連接A1C1,則∠A1cos?∠即cos?∠A1C1P例4e1,e2,e3為空間單位向量,e1?eA.36?433 B.36+433答案選A.解析設(shè)OE1=e1∵空間向量a滿足a?∴OA在平面OE1E2內(nèi)的投影OB是∠E1∴∵對任意的x,y∈?,a?xe1?yea?λe3的最小值即為點(diǎn)法一以O(shè)為圓心,直線OB為x軸,在平面AOB內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A(3,4)到直線OE3:y法二利用三角函數(shù)角差求出正弦由題意可得sin?∠E3OB=6例5(2018全囯I卷理)如圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.答案(1)略;(2)34解析(2)作PH⊥EF,垂足為H,由(1)知:PH⊥平面ABFD,DE⊥PE.不妨設(shè)DP=2,則DE=1,從而PE=3,又PF=1,EF設(shè)DP與平面ABFD所成角為α,則由三余弦定理知:cos?αcos?θ=cos?β45(1)求證:EF⊥(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.答案(1)見以下證明過程;(2)33解析(1)證明:因?yàn)槠矫鍭CFD⊥平面ABCcos?∠設(shè)BC=a,則DC=2B所以BD=D由勾股定理的逆定理可知BC⊥DB,又因?yàn)槿馀_中EF//(2)略.注這里三余弦定理起了關(guān)鋰作用,由三余弦定理得到得∠BCD的余弦值,進(jìn)而通過計算證得BC⊥BD,兩道小題都是通過轉(zhuǎn)化的思想,將直線進(jìn)行平移后進(jìn)行處理.第(1)小題是把直線EF平移到BC,第(2)小題是把直線DF平移到

2三正弦定理例1如圖,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BBA.π3 B.π4 C.arcsin?104答案選D.解析由題意可知,二面角D?AA1?C的大小為∠BAC例2如圖,在坡面α與水平面β所成二面角為60°的山坡上,有段直線型道路AB與坡腳成30°的角,這段路直通山頂A.已知此山高1353米.若小李從B答案33解析作AO⊥平面β于點(diǎn)O,作OC⊥l于點(diǎn)C.由題意可知∠ACO=在?t△AOB中,由sin?∠ABO=AO例3已知棱長為1的正四面體P?ABC,PC的中點(diǎn)為D,動點(diǎn)E在線段AD上,則直線答案0,解析設(shè)二面角D?AB?C的平面角為設(shè)直線BE與平面ABC所成的角為θ,由三正弦定理得sin?又sin?∠ABE∈0,63例4(2018年全囯II卷理)如圖,在三棱錐P?ABC中,AB=(1)證明:PO⊥平面ABC(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M?PA?C為30°答案(1)略;(2)34解析(1)證明:由題意知,O為AC中點(diǎn),所以O(shè)P⊥AC,且又由OP2+OB2=(2)由題意知,線線角∠CPA=60°,二面角M?PA?

3最小角定理例1已知在平行四邊形ABCD中,M、N分別為AB、AD上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn),把△AMN沿MN翻折,記翻折后的A為A',直線A'C與平面A.θ1=θ2B.答案選C.解析A'C與平面BCDNM所成的角θ1,就是A由最小角定理可知,θ1小于A'C與平面BCDNM內(nèi)作射影之外的其他任何直線所成的角,所以注點(diǎn)評:本題主要考查空間線面位置關(guān)系及空間角的相關(guān)知識,考查考生的空間想象能力及邏斬推理能力,常規(guī)解法是作出A'在平面ABCD內(nèi)的射影,進(jìn)而分別作出θ例2已知二面角α?l?β是直二面角,A∈α,A.θ1+θ2=90° B.答案選C.解析如圖,過點(diǎn)A,B分別作l的垂線,分別交于點(diǎn)C,D,則AC⊥β,BD⊥例3如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC?A1B1C1中,P是棱BC上的動點(diǎn).記直線A1P與平面ABCA.θ1=θ2B.答案選C.解析由題意可知∠A1PA=θ1是線面角,θ2是線線角,由最小角定理知:θ注這道題如果按照線面角、線線角的定義進(jìn)行計算,再比較大小,需要構(gòu)造三角形,解三角形,利用三角函數(shù)的定義、單調(diào)性求解,計算復(fù)雜,耗時較長,但如果用最小角定理則可秒殺.例4已知三棱錐P?ABC的所有棱長為1,M是底面△ABC內(nèi)部一個動點(diǎn)(包括邊界),且M到三個側(cè)面PAB,PBC,PCA的距離A.α=βB.β=γ答案選D.解析設(shè)此正四面體各個面的面積為S,則V即VA?PBC=3VM?PBC,設(shè)過△ABC的重心G且平行于BC設(shè)線段AB,BC,CA的中點(diǎn)分別為D,E,F,?1所以點(diǎn)M在△BDG內(nèi)(不含BG邊,DG邊),故點(diǎn)M的軌跡是線段B1G注意到β也是PM與底面所成的角,由最小角定理可知β<又AB,AC與B1cos?所以cos?α=cos?γ例5在三棱維A?BCD中,BC=BD=AC=AD=10,AB=6,CD=16,點(diǎn)PA.31010B.1010C.答案選A.解析取CD中點(diǎn)M,連結(jié)BM,PM,因?yàn)锽C=BD=AC=AD=10,CD=16,所以AM=BM=6,進(jìn)而知△ABM為等邊三角形,也知∠易得BO=33,OP=BP由最小角定理可知:異面直線BP與CD所成角的最小值即為直線BP與平面ACD所成的角,即(sin?例6如圖,在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中,點(diǎn)P是平面AA.0,12 B.0,13 C.1答案選A.解析設(shè)B1D∩面A因?yàn)閨PD|+PB1=2+13,所以點(diǎn)P又點(diǎn)P是平面A1BC1內(nèi)一動點(diǎn),易知平面A1BC1截粗球的圖形為圓面,故點(diǎn)所以直線B1P和直線AD1所成角即為B1P和直線BC1所成角,由最小角定理可知,B1易知θ=π3,且B1P和直線BC1所成角的最大值為π

4最大角定理例1如圖,已知三棱錐D?ABC,記二面角C?AB?D的平面角是θ,直線DA與平面ABC所成的角是θ1A.θ?θ1B.θ?答案選A.解析由最大角定理知:θ?θ1下面來個畫蛇添足吧:由最小角定理得θ1?θ當(dāng)二面角θ趨向于0時,θ?θ2;當(dāng)二面角θ趨向于π例2如圖,已知三棱錐A?BCD的所有棱長均相等,點(diǎn)E滿足DE=3EC,點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動,設(shè)EP與平面BCD所成角為答案22解析因?yàn)镋P是平面ACD內(nèi)的一條動直線,所以EP與平面BCD所成角θ的最大值即為二面角A?CD?B設(shè)H為正四面體A?BCD的底面BCD的中心,設(shè)CD的中點(diǎn)為F,連接HF,如下圖,易知∠AFH設(shè)正四面體的棱長為6,則HF=3,sin?∠注本題跟例1幾乎一模一樣,都是把線面角的最大值轉(zhuǎn)化為二面角.例3如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.易知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15cm,(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).答案53解析法一常規(guī)方法∵AB=15,AC=25,∴BCPC=2?,tan?∵3?403?+25法二最大角定理如下圖,不妨取BM⊥平面ABC,再過B作BH⊥AC于點(diǎn)H,連MH,可得MH⊥AC由最大角定理可知:AP與平面ABC所成角的最大值即為二面角M?因?yàn)锳B=15m,AC=25m所以BM=∴tan?∠MHB=MBBH=注AP的最大仰角,即為AP與平面ABC所成角的最大值.因?yàn)辄c(diǎn)P在射線CM上移動,則AP是平面MCA內(nèi)的一條動直線,由最大角定理,AP與平面ABC所成角的最大值,即為二面解M?AC?例4如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=3,AD=5,A答案513解析法一幾何法,利用垂線法作出二面角的平面角延長C1E交BB1于Q,連接QF,過B1作B1H⊥FQ于H,連接HC1,由B1C1⊥tan?∠當(dāng)點(diǎn)E在棱BC上運(yùn)動時,動直線FQ過定點(diǎn)F,兩個臨界位置是FB、FA,所以點(diǎn)B1到直線FQ的距離B1H的最大值為B二面角的一個面固定,即半平面FQB1固定,另一個半平面在變動,注意到這個不停變化的半平面經(jīng)過定直線C1F,所以由最大角定理可知,二面角的最小值就是法二建系法以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線AB、AD、AA1為設(shè)平面EFC1與平面AA1B1B所成的銳二面角為θ,點(diǎn)En取y=12得,n=(?2t?10,12,3tcos?又tan2?θ=1cos法二投影面積法AB=3,AD=4,AA1=4,ΔC1EF在平面AA1B1以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線AB、AD、AA1為E(3,S△C1PE=例5如圖,已知△ABC中,D是AB的中點(diǎn),沼直線CD將△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'?CD?B的平面角為答案選B.解析法一考慮極端情況當(dāng)二面角A'?CD?B趨向于0時,∠A'CB?α;當(dāng)二面角當(dāng)二面角A'?CD?B趨向于0時,∠A'DB?法二(1)當(dāng)AC=BC時,(2)當(dāng)AC≠BC時,如圖,點(diǎn)A'投影在AE上.α因?yàn)榈妊鰽'OA和等腰△A'DA有公共底邊,且DA?

5兩個定理綜合應(yīng)用例1已知三棱錐D?ABC,平面DAB⊥平面ABC,記二面角D?AC?B的平面角α,DAA.α?β?γB.β答案選A.解析由最大角定理可知β?α.因?yàn)棣驴煽醋鰽B與AD成的角(線線角),γ是AB與平面ADC所成的角(線面角),所以由最小角定理得β?注線面角可以找到對應(yīng)的線線角,這個線線角必小于等于其他的線面角例2已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形,側(cè)棱長均相等,E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),設(shè)SE與BC所成的角為θ1,SE與平面ABCD所成的角為θ2,二面角S?AB?C答案選D.解析由題可知,四棱錐S?ABCD是正四棱錐,如圖,設(shè)底面正方形的中心為O,AB的中點(diǎn)為M.則又SE與BC所成的