浙教版八年級下專題五 與平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)的計算與證明

專題五

與平行四邊形的性質(zhì)關(guān)的計算與證明教材P90作業(yè)題第5)

__已知：如圖1，在ABCD，過AC的中點的直線分別交CB，AD的延長線于點E，.求證：＝DF圖1證明：在平行四邊形中，點是中點，∴OA，∥，ADBC∴∠FAC∠，又∠AOF∠，∴△AOF△ASA，∴AF∴AF－＝－，即DFBE【思想方法】平行四邊形對邊平行、對邊相等、對角相等、對角線互相平分的性質(zhì)可以作為判定平行四邊形中三角形全等的條件．如圖2已知?的對角線BD相交于點過點O作一直線分別交AD，的延長線于，F(xiàn)，求證：OE＝OF圖2證明：在?中，

AO，∥，∴∠E∠F，∠＝∠在△和△COF，∠E∠F，＝FCOAO∴△AOE△COFAAS，∴OE[2013·南充]如圖3在平行四邊形中，對角線AC，BD交于點O，經(jīng)過點的直線交于E，交CD于F求證：OE＝OF圖3證明：∵四邊形是平行四邊形，∴OA，∥∴∠OAE∠OCF.∵∠AOE∠COF∴△OAE△OCFASA．∴OE[2013·淮安]如圖，在平行四邊形中，過中點作直線分別交AD，BC于點，F(xiàn).求證：△COF圖4證明：∵為點，∴OA.

∵四邊形為平行四邊形，∴ADBC∴∠EAO∠FCO∠＝∠∴△AOE△COF.已知：如圖，為ABCD的對角線，O為BD的中點，EF⊥BD于點，與AD，分別交于點E，.證：DE＝.圖5證明：在平行四邊形中，ADBC∴∠OBF∠.∵為的中點，∴OBOD在△和△，∠＝∠ODEOD∠＝∠DOE∴△BOF△.∴OF.∵EFBD于點，∴DEDF如圖6，在平行四邊形中，是對角線AC的中點，過O點作直線分別交AD于E，.求證：＝DF；若，EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出點的位置，并說明理由．

圖6解：證明：如圖，在平行四邊形中，∵ADBC∴∠1∠2∠3∠∵是的點，∴AO，∴在△與△中，∠3∠42AO，∴△AOF，∴AF又∵ADBC∴－AFBC，即BEDF變形5圖當(dāng)E點與點重合時將平行四邊形分成的四個部分的面積相等．理由：∵四邊形是平行四邊形，∴OA＝，OB＝由△與△AOD等同高可知面積相等，同理，△ABO與△BOC的面積相等，△AOD與△COD的面積相等，從而易知所分成的四個三角形面積相等．[2013·漳]如圖7，中，E，是對角線上兩點，且BE＝.

圖中共有__3__全等三角形；請寫出其中一對全等三角形：________≌________，并加以證明．圖7解(1)圖中的全等三角形有：≌△CDF≌△CDBADE△CBF共有對．故填3①△ABE≌△.由如下：∵在?ABCD中，ABCDABCD∴∠ABE∠CDF＝，∴在△與△CDF中∠CDFBEDF∴△ABE△CDF(SAS②△ABD△CDB.由如下：∵在?ABCD中，＝，＝，＝∴在△與△中，，＝，∴△ABD△CDB()③△ADE△理由如下：∵在?ABCD中，∥，＝CB∴∠ADE∠∵BEDF，∴＝∴在△與△CBF中，

＝＝∠DEBF∴△ADE△(SAS[2013·徐]如圖四邊形是平行四邊形平分∠

222222交AB于，BF分∠ABC交CD于點F.求證：＝BF；連結(jié)EF，寫出圖中所有全等三角形．(不要求明)圖8解：∵四邊形平行四邊形，∴ADCB∠＝∠C∠ADC∠CBA∵DE分∠，BF分∠ABC11∴∠ADE∠ADC∠CBF∠CBA∴∠ADE∠∴△ADE△(ASA∴DE△ADE≌△；△DEF≌△[2013·重]已知：在平行四形ABCD中，⊥，垂足為E，＝，點F的中點，點GCD上的一點，連結(jié)，，∠1＝∠2.若CF＝2＝3，求BE的長；1求證：∠＝∠.圖9解：∵點F為中點，∴＝CDCF＝

2222222222又∵四邊形為平行四邊形，∴ABCD4.在Rt△中，由勾股定理，得：＝

2

－AE＝證明：如圖，延長交于點H.變形8圖∵＝CD∠＝∠2，∠C，∴△CEG≌△CDF.∴＝1