2022考研數(shù)學(xué)一真題及答案

#J"xsinxdx=2冗，兀所以J"(x一acosx-bsinx)2dx=—"3+(a2+b2)一4"b2所以就相當(dāng)于求函數(shù)a2+b2-4b的極小值點(diǎn)，顯然可知當(dāng)a=0,b=2時(shí)獲得最小值，所以應(yīng)該選〔A〕.0aa0b00b5.行列式等于0cd0c00dA〕(ad-bc)2〔B〕-(ad-bc)2C〕C〕a2d2-b2c2D〕-a2d2+b2c2詳解】0a0c=-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2應(yīng)該選〔B〕.6.設(shè)a,a,a是三維向量，那么對任意的常數(shù)匕l(fā)，向量a+ka,a+la線性無關(guān)1231323是向量ai,a2,a3線性無關(guān)的〔A〕必要而非充分條件〔C〕充分必要條件〔B〕充分而非必要條件D〕非充分非必要條件【詳解】假設(shè)向量巴,a2，a3線性無關(guān)，那么a+ka，a+la〕1323=(a,a,a)01230、1=(ai，a2'OK，對任意的常數(shù)k，l，矩l丿陣K的秩都等于2,所以向量巴+ka3，?2+la3定線性無關(guān).無關(guān)，但a,a,a線性相關(guān)；應(yīng)選擇〔A〕.123時(shí)’對任意的常數(shù)kI'向量巴+k3,7.設(shè)事件A,B想到獨(dú)立，P(B)=0.5,P(A-B)=0?3那么P(B—A)=(〕〔A〕0.1〔B〕0.2〔C〕0.3〔D〕0.4【詳解】P(A一B)=0?3=P(A)一P(AB)=P(A)一P(A)P(B)=P(A)-0?5P(A)=0?5P(A).所以P(A)=0?6,P(B—A)=P(B)-P(AB)=0?5-0?5P(A)=0?2.應(yīng)選擇〔B〕.8．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X,X互相獨(dú)立，且方差均存在，X,X的概率密度分別為1212f(x),f2(x)，隨機(jī)變量Y］的概率密度為fY(y)=2(f(y)+f(y))，隨機(jī)變量Y=1(X+X)，那么2212〔A〔A〕EY>EY,DY>DY1212〔C〕EY=EY,DY<DY1212⑻EY=EY,DY=DY1212〔D〕EY=EY,DY>DY1212【詳解】EY1=2J+8y(f(y)+f(y))dy=2Gx1+EX2Le(Y2)，8EY-2=2“？2(f-(y)+小網(wǎng)=2EX+2EX2，DY=E(Y2)-E2(Y)=-EX2+-EX2--E2(X)--E2(X)--E(X)E(X)11121224142212=-D(X)+-D(X)+-E(X-X》>-D(X)+-D(X)=DY414241241422故應(yīng)該選擇〔D〕.二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上9.曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在點(diǎn)(1,0,1)處的切平面方程為

【詳解】曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在點(diǎn)(1,0,1)處的法向量為(,z,一1)=(2,-1,-1)，所以切平面方程為2(x一1)+(-1)(y一0)+(-1)(z-1)=0,xy(1,0,1)即2x-y-z-1=0.10.設(shè)f(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且/，(x)=2(x一1),xg，那么TOC\o"1-5"\h\zf⑺=.【詳解】當(dāng)xg10,2]時(shí)，f(x)=j2(x-1)dx=x2-2x+C，由f(0)=0可知C=0,即f(x)=x2-2x；f(x)為周期為4奇函數(shù)，故f(7)=f(-1)=f(1)=1.11?微分方程xy'+y(lnx一lny)=0滿足y(1)=e3的解為.【詳解】方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ylny，這是一個(gè)齊次型方程，設(shè)u=y，得到通解為dxxxxy=xeCx+1，將初始條件y(1)=e3代入可得特解為y=xe2x+112.設(shè)L是柱面x2+y2=1和平面y+z=0的交線，從z軸正方向往負(fù)方向看是逆時(shí)針方向，那么曲線積分fzdx+ydz=Ldydz【詳解】由斯托克斯公式Jdydz【詳解】由斯托克斯公式JPdx+Qdy+Rdz=Jf2LSdxPdzdxa

勿QJzdx+ydz=JJdydz+dzdx=JJdxdy=JJdxdy=“.LTOC\o"1-5"\h\zSSDxyIx2Ix2+y2<1}y+z=0.取上側(cè)，Dx2+y2<1xy13設(shè)二次型f(x1,x2,七)=x12-送+2ax1x3+4x2x3的負(fù)慣性指數(shù)是】，那么a的取值范圍.【詳解】由配方法可知f(x,x,x)=x2-x2+2axx+4xx123121323=(x+ax)2-(x-2x)2+(4-a2)x213233由于負(fù)慣性指數(shù)為1,故必需要求4—a2>0，所以a的取值范圍是I一2,2]

14.設(shè)總體X的概率密度為f(x,e)=\釜,e<xv2e,其中e是未知參數(shù),I0,其它X1，X2，，X.是來自總體的簡單樣本’假設(shè)C5是e2的無偏估計(jì)’那么常數(shù)i=1【詳解】E(X2)=J【詳解】E(X2)=J20X2eii=1i=1=—e2,所以ECX2=Cn-e2,由于cLii=1i=152e2的無偏估計(jì)’故52=1，C=五三、解答題15.〔此題總分值10分〕Jx(t2(et—1)-1)dt求極限lim—1-x_+8x2ln(1+—)x【分析】．先用等價(jià)無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達(dá)法那么求未定型極限【詳解】Jx(Jx(t2(et—1)—t)dtlim丄-一—+8x2ln(1+—)xJx(t2(et—1)—t)dt=lim—丄=lim(x2(ex—1)—x)xs=limfx2(丄+—*—+。(丄)一xx^lx2x2x2丿16．〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0確定，求f(x)的極值.【詳解】解：在方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)一次，得到(3y2+2xy+x2)y'+(y2+2xy)=0dy

dx一y2dy

dx3y2+2xy+x2

令=o及y3+可2+X2y+6=0，得到函數(shù)唯一駐點(diǎn)x=1,y=一2.dx在〔1〕式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)一次，得到〔(6yy'+4y+2xy*+4x)y'+(3y2+2xy+x2)y"+2y=04把x=1,y=一2,y'(l)=0代入，得到y(tǒng)"(1)=->0，所以函數(shù)y=f(x)在x=1處獲得極小值y=-2.17.〔此題總分值10分〕Q2zd2z設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=f(excosy)滿足+=(4z+excosy)e2x.假Q(mào)x2Qy2設(shè)f(0)=0,f*(0)=0，求f(u)的表達(dá)式.【詳解】礦-用siny,設(shè)u=excosy，那么z=f(u)=f(ex礦-用siny,=f'(u)excosy,QxQ2z=f"(u)e2xcos2y+f'(u)excosy；Qx2=f"(u)e2xsin2y一f'(u)excosy；Qy2Q2zQ2Q2zQ2zX+詁=廣如2x=f"(excosy)e2xQ2z由條件亦+Q2zQy2=(4z+excosy)e2x，可知f"(u)=4f(u)+u這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程.對應(yīng)齊次方程的通解為：f(u)=Ce2u+Ce-2u其中C,C為任意常數(shù).1212對應(yīng)非齊次方程特解可求得為y*=-4u.故非齊次方程通解為f(u)=Ce2u+C2e-2u-4u.

將初始條件f(°)=o,f'(o)=0代入，可得q=16,c2=-16所以f(妨的表達(dá)式為/(“)=16e2—16e-2u-4u，18．〔此題總分值10分〕設(shè)曲面E:z=x2+y2(z<1)的上側(cè)，計(jì)算曲面積分：JJ(x一1)3dydz+(y一1)3dzdx+(z一1)dxdyE【詳解】(z=1設(shè)E:彳［取下側(cè)，記由E,E1所圍立體為Q，那么高斯公式可得1Ix2+y2<11JJ(x一1)3dydz+(y一1)3dzdx+(z一1)dxdy=-JJJ(3(x一1)2+3(y-1)2+1)dxdydz=-JJJ(3x2+3y2+7-6x一6y)dxdydz=-JJJ(3x2+3y2+7)dxdydz=-GdoJ1rdrJ1(3r2+7)dz=-4k00r2D(x-1)3dydz+(y-1)dzdx+(z-1)dxdy=fj(1-1)dxdy=0,E1EE1jj(x一1)3dydz+(y一1)3dzdx+(z一1)dxdyEJJ(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy=一4兀E+E]19．〔此題總分值10分〕設(shè)數(shù)列%｝滿足0設(shè)數(shù)列%｝滿足0va<K,0<b<K，cosa一a=cosb且級數(shù)b收斂.n2nnn2nn=1(1)證明lima=0；nsn戶a2)證明級數(shù)收斂.n=1n兀v-可得兀v-可得〔1〕證明：由cosa-ann=cosb，及0〔1〕證明：由cosa-annnn2n0va=cosa一cosbv，所以0vavbv,nnn2nn2由于級數(shù)刀b由于級數(shù)刀bnn=1收斂，所以級數(shù)￡a也收斂,nn=1由收斂的必要條件可得lima=0.inTOC\o"1-5"\h\z冗冗〔2〕證明：由于0VaV,0vbV,n2n2.a+ba+b.b一a,b-a所以sin—nn<—nn,Sin—nn<—nn2222a+b.b-a2sin—nnsin—nnacosa—cosb22—n=nn=bbbnnna+bb-a2―nnnn-22b2—a2b2b—nn——nb2b2b2nnn由于級數(shù)￡b收斂，由正項(xiàng)級數(shù)的比擬審斂法可知級數(shù)收斂.nbn=1n=1n20.〔此題總分值11分〕"1-23-4、設(shè)A=01一11E為三階單位矩陣.,1203丿求方程組AX=0的一個(gè)根底解系；求滿足AB=E的所有矩陣.【詳解】〔1〕對系數(shù)矩陣A進(jìn)展初等行變換如下:""0一23-4、""0一23-4、rr0一23-4、r1rr0001、A=1一11T1一111一11T10一2",1203>r,04一31>r,001一3>r,001一3>得到方程組AX=0同解方程組得到得到AX=0的一個(gè)根底解系g1=xx=-x14x=2x24x=3x3〔2〕顯然B〔2〕顯然B矩陣是一個(gè)4x3矩陣，設(shè)B=(x1x2x3Ix4y1y2y3y4z、z2z3z>4r1-23r1-23-4100、r1-23-4100、(AE)=01-11010T01-11010<1203001><04-31-101丿r1-23-4100、q00126-1、01-11010T010-2-1-31<001-3-1-41><001-3-1-41>對矩陣(AE)進(jìn)展進(jìn)展初等行變換如下:rx、1x2'2、-1+c(-1、2，P11(6I-3+c(-1、2，(zI1z2(-1、1+c(-1、2x-113y-423z133333Ix丿3><1>Iy丿<0><1><zQ<0><1>由方程組可得矩陣B對應(yīng)的三列分別為即滿足AB=E的所有矩陣為其中其中c1,c2，C3為任意常數(shù)?21．〔此題總分值11分〕B=2-B=2-c1-1+2c1-1+3c1c16-c2-3+2c2

-4+3c2-1-c、31+2c31+3c3c丿3證明n階矩陣‘1…1、...1‘0…0…相似．1…1]'0…01證明n階矩陣‘1…1、...1‘0…0…相似．1…1]'0…01]‘11…1，B=‘0…021…1丿<0…0n丿0…0【詳解】證明：設(shè)A=分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：|XE-A\=九-1-1-1九一1-1-1=（九一n）九n-l,-l-1…九一1所以A的n個(gè)特征值為九1=n,九2巳=…九n二°；而且A是實(shí)對稱矩陣，所以一定可以對角化.且A~0丿0…-1九…一2=（九一n）九n-10…九一n所以B的n個(gè)特征值也為九1=n，九2巳=…入n=°；對于n一1重特征值九=0，由于矩陣（0E一B）=-B的秩顯然為1,所以矩陣B對應(yīng)n一1重特征值九=0的特征向量應(yīng)該有n-1個(gè)線性無關(guān)，進(jìn)一步矩陣B存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即矩陣B—定可以對角化，且B~0丿‘11…1]（0…01]11…10…02從而可知n階矩陣-?與-?11…11丄丄丄丿、0…0n丿相似．22．〔此題總分值11分〕

設(shè)隨機(jī)變量X的分布為P(X=1)=P(X=2)=2,在給定X=i的條件下，隨機(jī)變量Y服從均勻分布U(0,i),i=1,2.求Y的分布函數(shù)；求期望E(Y).【詳解】〔1〕分布函數(shù)F(y)=P(Y<y)=P(Y<y,X=1)+P(Y<y,X=2)=P(Y<y/X=1)P(X=1)+P(Y<y/X=2)P(X=2)=-(P(Y<y/X=1)+P(Y<y/X=2))2當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)0<y<1時(shí),當(dāng)1<y<2時(shí)，F(xiàn)(y)=2+22=4y+當(dāng)y>2時(shí)，F(xiàn)(y)=1.所以分布函數(shù)為F(y)F(y)=\,y<003-y4丿y4_4丿、1,y>2,0<y<144，0<y<11,1<y<2，4’〔2〕概率密度函數(shù)為f(y)=F,(y)=<0其它E(Y)=J1ydy+f2ydy=0414423.〔此題總分值11分〕

x2設(shè)總體x的分布函數(shù)為F(碎)彳1-曠o,兀、0，其中e為未知的大于零的參數(shù),

、0,x<0X,X，…,X是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，12n〔1〕求E(X),E(X2)；〔2〕求e的極大似然估計(jì)量.〔3〕是否存在常數(shù)a，使得對任意的￡>0,都有l(wèi)imM0-a、￡>=0.〔3〕是否存在常數(shù)a，使得對任意的￡>0,都有l(wèi)imM0-a、￡>=0.nT8【詳解】〔1〕先求出總體X的概率密度函數(shù)2xf(x,e)=4藥x2e_e,x>0，0,x<0f2x2xLEX=J+8_^e0eedx=-J+8xde=一xe1+8+J+?edx=；000f2x3EX2=嚴(yán)一0ex21fxL1fit一edx=J+8x2e"edx2=J+8t