2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題標(biāo)準(zhǔn)練一20230214122

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1.如圖,在銳角△ABC中,D為邊BC的中點(diǎn),且AC=,AD=且cos∠BOC=-.(1)求sin∠BAC的值.(2)求△ABC的面積.

(1)由題設(shè)知,∠BOC=2∠BAC,

所以cos∠BOC=cos2∠BAC=1-2sin2

∠BAC=-,

所以sin2

∠BAC=,sin∠BAC=

.

(2)延長(zhǎng)AD至E,使AE=2AD,連接BE,CE,

則四邊形ABEC為平行四邊形,所以CE=AB,在△ACE中,AE=2AD=

,AC=

,

,O為△ABC外接圓的圓心,

1

∠ACE=π-∠BAC,cos∠ACE=-cos∠BAC=-,

所以由余弦定理得,

AE2

=AC2

+CE2

-2AC·CE·cos∠ACE,

即()2

=(

)2+CE2

-2

·CE·,

解得CE=2,所以AB=CE=2,

所以S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=×2××=.

2.在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,CD=2AB.

(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)M,

=m

(m>0),且MN∥平面PCD,求實(shí)數(shù)m的值.(2)若AB=AD=DP,∠BAD=60°,PB=AD,且PD⊥AD,求二面角B-PC-D的正弦值.

(1)由于AB∥CD,

所以==,即=.

由于MN∥平面PCD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PCD=PC,所以MN∥PC.

所以==,即m=.

(2)由于AB=AD,∠BAD=60°,可知△ABD為等邊三角形,所以BD=AD=PD,又BP=

AD,

故BP2

=PD2

+DB2

,所以PD⊥DB.

由已知PD⊥AD,AD∩BD=D,所以PD⊥平面ABCD.如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),

,

的方向?yàn)閤,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

2

設(shè)AB=1,則AB=AD=DP=1,CD=2,

所以B,P(0,1,0),C(-1,0,)

則=,=(-1,-1,),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量m=(x1,y1,z1),則有

即

設(shè)x1=1,則y1=2,z1=所以m=(1,2,

),

,

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),

由已知可得令z2=1,則x2=

即,所以n=(

,0,1).

所以cos==.

設(shè)二面角B-PC-D的平面角為θ,則sinθ=.

3.近年來(lái),隨著我國(guó)汽車(chē)消費(fèi)水平的提高,二手車(chē)流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展.某汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)2023年成交的二手車(chē)交易前的使用時(shí)間(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“使用時(shí)間〞)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到頻率分布直方圖如圖1.

3

(1)記“在2023年成交的二手車(chē)中隨機(jī)選取一輛,該車(chē)的使用年限在(8,16]〞為事件A,試估計(jì)A的概率.

(2)根據(jù)該汽車(chē)交易市場(chǎng)的歷史資料,得到散點(diǎn)圖如圖2,其中x(單位:年)表示二手車(chē)的使用時(shí)間,y(單位:萬(wàn)元)表示相應(yīng)的二手車(chē)的平均交易價(jià)格.由散點(diǎn)圖看出,可采用y=e

a+bx

作為二

手車(chē)平均交易價(jià)格y關(guān)于其使用時(shí)間x的回歸方程,相關(guān)數(shù)據(jù)如表(表中Yi=ln

yi,=Yi):5.58.7xiyi1.9301.4xiYi79.75385①根據(jù)回歸方程類(lèi)型及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;

②該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)使用8年以?xún)?nèi)(含8年)的二手車(chē)收取交易價(jià)格4%的傭金,對(duì)使用時(shí)間8年以上(不含8年)的二手車(chē)收取交易價(jià)格10%的傭金.在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值.若以2023年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù),計(jì)算該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)成交的每輛車(chē)收取的平均傭金.

附注:①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最

4

小二乘估計(jì)分別為=②參考數(shù)據(jù):e

2.95

,=-1.75

;

-0.65

≈19.1,e≈5.75,e

0.55

≈1.73,e≈0.52,e

-1.85

≈0.16.

(1)由頻率分布直方圖得,該汽車(chē)交易市場(chǎng)2023年成交的二手車(chē)使用時(shí)間在(8,12]的頻率為0.07×4=0.28,在(12,16]的頻率為0.03×4=0.12,所以P(A)=0.28+0.12=0.40.(2)①由y=e

a+bx

得lny=a+bx,即Y關(guān)于x的線性回歸方程為=a+bx.

由于===-0.3,

=-·=1.9-(-0.3)×5.5=3.55,

所以Y關(guān)于x的線性回歸方程為=3.55-0.3x,即y關(guān)于x的回歸方程為=e②根據(jù)①中的回歸方程=e

3.55-0.3x

3.55-0.3x

和圖1,對(duì)成交的二手車(chē)可預(yù)計(jì):

3.55-0.3×2

使用時(shí)間在(0,4]的平均交易價(jià)格為e使用時(shí)間在(4,8]的平均交易價(jià)格為e

=e=e

2.95

≈19.1,對(duì)應(yīng)的頻率為0.2;≈5.75,對(duì)應(yīng)的頻率為0.36;≈1.73,對(duì)應(yīng)的頻率為0.28;≈0.52,對(duì)應(yīng)的頻率為0.12;≈0.16,對(duì)應(yīng)的頻率為0.04.

3.55-0.3×61.75

使用時(shí)間在(8,12]的平均交易價(jià)格為e

3.55-0.3×10

=e

0.55

使用時(shí)間在(12,16]的平均交易價(jià)格為e使用時(shí)間在(16,20]的平均交易價(jià)格為e

3.55-0.3×14

=e=e

-0.65

3.55-0.3×18-1.85

所以該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)于成交的每輛車(chē)可獲得的平均傭金為(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10%=0.29092≈0.29萬(wàn)元.

4.如圖,橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,MF2⊥x軸,直線MF1交y軸于H

5

點(diǎn),OH=,Q為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn),△F1F2Q的面積的最大值為1.

(1)求橢圓E的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)S(4,0)作兩條直線與橢圓E分別交于A,B,C,D,且使AD⊥x軸,如圖,問(wèn)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)設(shè)F2(c,0),由題意可得+=1,

即yM=.

由于OH是△F1F2M的中位線,且OH=,

所以|MF2|=,即=,整理得a=2b.①

24

又由題知,當(dāng)Q在橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),△F1F2Q的面積最大,

所以×2c×b=1,整理得bc=1,即b(a-b)=1,

6

4

2

4

2

222

②

2

2

聯(lián)立①②可得2b-b=1,變形得(b-1)(2b+b+1)=0,解得b=1,進(jìn)而a=2.

所以橢圓E的方程為+y=1.

2

(2)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則由對(duì)稱(chēng)性可知D(x1,-y1),B(x2,-y2).設(shè)直線AC與x軸交于點(diǎn)(t,0),直線AC的方程為x=my+t(m≠0),

6

聯(lián)立

2

2

2

消去x,

得(m+2)y+2mty+t-2=0,

所以y1+y2=,y1y2=,

由A,B,S三點(diǎn)共線得kAS=kBS,即將x1=my1+t,x2=my2+t代入整理得y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,即2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,

=-,

從而=0,化簡(jiǎn)得2m(4t-2)=0,解得t=,于是直線AC的方程

為x=my+,故直線AC過(guò)定點(diǎn).同理可得BD過(guò)定點(diǎn),

所以直線AC與BD的交點(diǎn)是定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.

5.已知函數(shù)f(x)=lnx-,g(x)=ax+b.

(1)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)若直線y=ax+b是函數(shù)f(x)=lnx-圖象的切線,求a+b的最小值.

(1)h(x)=f(x)-g(x)=lnx--ax-b,

則h′(x)=+-a,

由于h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

7

所以對(duì)?x>0,都有h′(x)=+-a≥0,

即對(duì)?x>0,都有a≤+,

由于+>0,

所以a≤0,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].

(2)設(shè)切點(diǎn),

則切線方程為y-=(x-x0),

即y=x-x0+,

亦即y=x+,

令=t>0,

由題意得a=+=t+t2

,

b=lnx0--1=-lnt-2t-1,

令a+b=φ(t)=-lnt+t2

-t-1,

8

則φ′(t)=-+2t-1=,

當(dāng)t∈(0,1)時(shí),φ′(t)0,φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以a+b=φ(t)≥φ(1)=-1,故a+b的最小值為-1.

6.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=3cosθ.

(1)求圓C的參數(shù)方程.

(2)設(shè)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn),A(5,0),若點(diǎn)P到直線ρsinθ-的大小.

(1)由于ρ=3cosθ,所以ρ=3ρcosθ,

2

=的距離為,求∠ACP

所以x+y=3x,即

22

+y=,

2

所以圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).

(2)由(1)可設(shè)P,θ∈[0,2π),

ρsin=的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0,

則P到直線ρsin=的距離為

9

==,

所以sin=0,

由于θ∈[