2023年高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)2023年汨羅四中高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（1）正、余弦定理

o1、在?ABC中，A?60，a?43，b?42，則B等于()A.45oB.135oC.45o或135oD.以上答案都不對

2、?ABC中，若a?1,c?2,B?30?，則?ABC的面積為（）

A．

13B．C．1D．322

3、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若S+a2=（b+c）2，則cosA等于（）A．

441515B．—C．D．—

551717

222

4、在△ABC中，sinA≤sinB+sinC﹣sinBsinC，則A的取值范圍是()A．（0，

]B．[

，π）C．（0，

]D．[

，π）

5、在△ABC中，a?33,c?2,B?150°，則b＝__________.

6、在?ABC中，B?45?,C?60?,c?1,則最短邊的邊長等于__________.

7、在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，已知b=則角A=．

8、如圖，在△ABC中，已知B=AB=．

c，sinA+sinC=sinB，

，D是BC邊上一點，AD=10，AC=14，DC=6，則

1

9、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．（1）求角A的值；

（2）求sinB＋sinC的取值范圍．

??10、設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．平面向量m=（cosA，????????cosC），n=（c，a），p=（2b，0），且m2（n-p）=0

（1）求角A的大??；

（2）當(dāng)|x|≤A時，求函數(shù)f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-

?）的值域．62

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（2）解三角形

1、在?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若

a2?b2?3bc,sinC?23sinB，則A=（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2、在?ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若b2tanA?a2tanB，則△ABC的形狀是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

3、已知在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且

2S??a?b??c2,則tanC等于（）

2A．

3443B．C．?D．?4334

4、兩燈塔A,B與海洋觀測站C的距離都等于a（km），燈塔A在C北偏東30°，B在C南偏東60°，則A,B之間相距（）

A．a(chǎn)（km）B．3a（km）C．2a（km）D．2a（km）

5、?ABC中，若面積S?

3ab，則角C?___________.46、在?ABC中，D為BC中點，?BAD?45?,?CAD?30?,AB?2,則

AD=__________.A

DCB

222

7、已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c，若a=b+c﹣bc，bc=4，△ABC的面積為．

8、在△ABC中，

，B=60°，BC邊上的高，則BC=

3

9、在△ABC中,已知2sinBcosA=sin(A+C)(1)求∠A;

(2)若BC=2,△ABC的面積是3,求AB.

10、在銳角?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，且3a?2csinA（1）求角C的大?。?/p>

（2）若C?7，且?ABC的面積為332，求a?b的值．

4

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（3）等差數(shù)列

1、在等差數(shù)列?an?中，a2?2，a3?4,＝（）

A．12B．14C．16D．18

2、等差數(shù)列?an?中，a1?1,d?3,an?298時，則序號n等于（）A．99B．100C．96D．101

23、等差數(shù)列?an?中，且b7?a7，則b6b82a3?a7?2a11?0，數(shù)列?bn?為等比數(shù)列，

的值為（）

A．4B．2C．16D．8

4、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=4π，則tan（a2+a12）的值為()A．﹣

B．

C．

D．﹣

5、在等差數(shù)列中已知d??，a7=8，則a1=__________.

6、在等差數(shù)列?an?中，a3?a9?4,則前11項的和S11＝．

7、在等差數(shù)列?an?中，若a3和a9是方程x2?4x?3?0的兩根，則a6的值是

8、數(shù)列{an}中的前n項和Sn＝n2－2n＋2，則通項公式an＝__________．

5

13

9、已知等差數(shù)列?an?的首項a1?1，公差d?1，前n項和為Sn，

b1n?S，（1）求數(shù)列?bn?的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列?bn?前n項和為Tn，求Tnn

10、已知等差數(shù)列?an?的前n項和Sn滿足S3?0，S5??5．（1）求?an?的通項公式；（2）求數(shù)列??1??的前n項和．

?a2n?1a2n?1?

6

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（4）等比數(shù)列

1、已知等比數(shù)列?an?中,a5?4,a7?6,則a9等于()A.7B.8C.9D.10

2、在等比數(shù)列?an?中，a2?8，a5?8，，則公比q為（）A．2B．3C．4D．8

3、已知正項數(shù)列?an?為等比數(shù)列，且a4是2a2與3a3的等差中項，若a2=2，則該數(shù)列的前5項的和為（）A．

4、已知在等比數(shù)列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，則等比數(shù)列{an}的公比q的值為()A．B．C．2D．8

5、若數(shù)列{an}滿足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，則前6項的和S6?.（用數(shù)字作答）

6、在等比數(shù)列{an}中,若a3,a9是方程3x2?11的兩根,則a6的值x?9?0是.

7、已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，n?N*，且a1?a2?a3?3，

3331B．31C．D．以上都不正確124a4?a5?a6?6，則S12?．

8、等比數(shù)列

?an?的各項均為正數(shù)，且a1a5?4，則

log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5=.

7

9、已知數(shù)列?an?的通項公式為an?pn?q（p,q?R），且a1＝－（1）求?an?的通項公式；（2）?13，a2＝－．24255是否為數(shù)列?an?中的項，若是，是第幾項？若不是請說明理由。256（3）該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？

10、等差數(shù)列{an}滿足:a1=1，a2+a6=14；正項等比數(shù)列{bn}滿足:b1=2，b3=8.（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式an，bn；（2）求數(shù)列{an2bn}的前n項和Tn．

8

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（5）數(shù)列綜合

1、1，3，7，15，()，63，222，括號中的數(shù)字應(yīng)為()A.33B.31C.27D.57

2、數(shù)列3,3,15,21,33,?,則9是這個數(shù)列的第()A.12項B.13項C.14項D.15項

3、數(shù)列1，

23，35，47，5a9，的一個通項公式n是（）A．n2n?1B．nnn2n?3C．2n?1D．

2n?3

4、數(shù)列?a1n?滿足a1?2，an?1??a?1，則a2023等于（）nA．2B．?1C．?332D．1

5、數(shù)列{an}滿足a1?0,an?1?an?n,那么a100的值是。

6、數(shù)列數(shù)列﹣3，5，﹣7，9，﹣11，??的一個通項公式為．

7、設(shè)數(shù)列{an}中,a1?2,an?1?an?n?1，則通項an=_____．8、已知?an?滿足a1?1,an?2an?1?1(n?2)，則

?n?__________．

9

9、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（1）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn；

（3）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N*皆成立．

10、已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn，且滿足an?（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）若bn?log2an，cn?1Sn?1（n?N?）.21，數(shù)列?cn?的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍.

bn?bn?210

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（6）不等式（一）

1、以下不等式結(jié)論成立的是（）

A．a(chǎn)?b?c?d?a?c且b?dB．a(chǎn)c2?bc2?a?bC．

cb??ab?cdD．a(chǎn)?b?a?bad

2、假使a、b、c滿足c?b?a，且ac?0，那么以下選項不恒成立的是（）A．a(chǎn)b?acB．cb2?ab2C．c?b?a??0D．a(chǎn)c?a?c??0

3、不等式(x?1)2?4的解集是（）

A．x-1C．x3D．-18、若命題“存在x?R，使得2x2?3ax?9?0成立〞為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．

29、已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，x0＋2ax0＋2－a＝0．若

命題“p∧q〞是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

10、設(shè)命題p：a?yy??x2+2x?8，命題q關(guān)于x的方程x2?x?a?0的一根大于1，另一根小于1，命題“p?q〞為假命題，命題“p?q〞為真命題，求實數(shù)a的取值范圍

16

??高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（9）橢圓

1、已知橢圓的兩個焦點是(?3，0)，(3，0)，且點(0，2)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

x2y2??1A.

134x2y2??1C.

413

x2y2??1B.94x2y2??1D.

1342、橢圓16x2?25y2?400的長軸和短軸的長、離心率分別是（）

3A．10，8，

5

443，

B．5，4，C．10，8，5D．5，4，5

5

1x2y2??1的離心率為，則m=（）3、已知橢圓的焦點在y軸上，若橢圓

22mA．

382338B．C．或D．或233823

x2y24、已知橢圓??1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點?在橢圓上，若F1，F(xiàn)2，?169是一個直角三角形的三個頂點，則點?到x軸的距離為（）A．

9997B．3C．D．547x2y2??1的四個頂點，得到的四邊形面積等于__________.5、順次連接橢圓

2516

x2y26、若橢圓??1的焦點在x軸上，則k的取值范圍為__________.

1?k2?k

x2y27、若橢圓2?2?1(a?b?0)經(jīng)過點P(0,3)，且橢圓的長軸長是焦距的兩

ab倍，則a?．

17

x2y28、如圖，設(shè)橢圓??1的左右焦點分別為F1、F2，過焦點F1的直線交橢圓于

167A、B兩點，若?ABF2的內(nèi)切圓的面積為?，設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為

A(x1,y1)、B(x2,y2)，則|y1?y2|值為．

5??9、求過點??15,?且與橢圓9x2?4y2?36有一致焦點的橢圓方程.2??

x2y210、橢圓C：2?2?1(a?b?0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都圓x2+y2=1上．

ab（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若斜率為k的直線經(jīng)過點M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點，試探討k為何值時，OA⊥OB．

18

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（10）雙曲線

x2y2??1的漸近線方程為（）1、雙曲線

44A．y??4xB．y??22xC．y??2xD．y??x

2、雙曲線2x2?y2?8的實軸長是（）A．2B．22C．4D．42

4x2y23、已知雙曲線2?2?1（a?0，b?0）的一條漸近線方程為y?x，則雙曲

3ab線的離心率為（）A．

5453B．C．D．3342

x2y24、設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:2?2?1（a?0，b?0）的兩個焦點，?是C上一點，

ab?C的離心率為（）若?F12的最小內(nèi)角為30，則1??F2?6a，且??FFA．2B．22C．3D．

433y2x2??1上一點P到一個焦點的距離是10，那么點P到另一個焦點的5、雙曲線

169距離是__________．

x2y26、設(shè)m為常數(shù)，若點F(5,0)是雙曲線-?1的一個焦點，則m=__________.

9m

7、已知方程+y2=1表示的曲線是焦點在x軸上且離心率為的橢圓，則

m=．

19

x2y28、如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦點，過F1的直線l與

ab雙曲線的左右兩支分別交于點A,B．若?ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_____________

x2y2??1表示焦點在x軸的雙曲線，命題9、已知命題p:m?37m?3q:f(x)?(5?2m)x是增函數(shù)，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍.

10、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩點F1(-6，0)，F(xiàn)2(6，0)，點P位于第一象限，且tan∠PF1F2=

，tan∠PF2F1=2.

(1)求以F1，F(xiàn)2為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求以F1，F(xiàn)2為焦點且過點P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（11）拋物線

1、拋物線x2?y的準(zhǔn)線方程是（）A．x?

2、頂點為原點，焦點為F(0,?1)的拋物線方程是（）

A．y2??2xB．y2??4xC．x2??2yD．x2??4y

3、已知F是拋物線y2?x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，AF?BF?3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A．

4、過點A(?2,3)作直線與拋物線y2?8x在第一象限相切于點B，記拋物線的焦點為F，則直線BF的斜率為（）

1111B．y?C．x??D．y??2442357B．1C．D．444

2334B．C．D．A．3243

5、拋物線y2?8x的焦點到準(zhǔn)線的距離是__________.

6、拋物線y2＝4x的弦AB⊥x軸，若|AB|＝43，則焦點F到直線AB的距離為______．

7、已知點P為拋物線y?12x上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標(biāo)是2(6,

17)，則PA?PM的最小值是______________．221

8、已知拋物線C：y2?2px(p?0)的焦點為F，過點F傾斜角為60o的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點，則

9、求過點(0,1)的直線,使它與拋物線y?2x僅有一個交點.

10、如圖，已知直線l：y?2x?4交拋物線y2?4x于A、B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△ABP的面積最大，并求這個最大面積．

22

2AF的值等于．BF高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（12）空間向量及其運算????????1、已知AB?(?1,2,0),CD?(x,?2,3)，若AB?CD，則x?（）

A．1B．4C．-1D．-4

2、以下命題中正確的是（）

A．若a//b，b//c，則a與c所在直線平行B．向量a、b、c共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個向量共面

D．若a//b，則存在唯一的實數(shù)?，使a??b

3、已知點A(x,1,2)和點B(2,3,4),且AB?26,則實數(shù)x的值是（）A．?3或4B．?6或2C．3或?4D．6或?2

4、已知△ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為（）

A．2B．3C．4D．5

5、在空間直角坐標(biāo)系中,已知點A在z軸上,點B的坐標(biāo)是(2,1,-3),且|AB|?3,則點A的坐標(biāo)是______.

6、若A(m?1,n?1,3)，B(2m,n,m?2n)，C(m?3,n?3,9)(m,n?R)三點共線，則m?n=

????7、若a?(1,1,0),b?(?1,0,2),則與a?b同方向的單位向量是________________

8、如圖，點M為OA的中點，以{則實數(shù)對(x，y，z)＝________.

23

，，}為基底，＝x＋y＋z，

9、如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB?5，AD?3，AA1?4，

?，E是CC1的中點，設(shè)AB?a，AD?b，?DAB?90?，?BAA1??DAA1?60AA1?c．

???????（1）用a,b,c表示AE；

（2）求AE的長．

A1D1C1B1EDCABN分別是A1B、B1C1上的點，且BM?2A1M，10、三棱柱ABC?A1B1C1中，M、????????????C1N?2B1N．設(shè)AB?a，AC?b，AA1?c.?????（1）試用a,b,c表示向量MN；

?（2）若?BAC?90?，?BAA1??CAA1?60，

AB?AC?AA1?1，求MN的長.

24

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（13）向量在立體幾何中的應(yīng)用（一）

1、正四棱柱??CD??1?1C1D1中，??1?2??，則CD與平面?DC1所成角的正弦值等于（）A．

1223B．C．D．

33332、如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．C．

1015B．5542D．53

3、已知四棱錐S﹣ABCD的所有棱長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的正弦值為()A．B．

C．

D．

4、長方體ABCD?A1B1C1D1的底面是邊長為a的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點E,使得?C1EB?90?,則側(cè)棱AA1的長的最小值為（）

A．a(chǎn)B．2aC．3aD．4a

5、已知點A、B、C的坐標(biāo)分別是(0，1，0)、(－1，0，1)、(2，1，1)，點P的坐標(biāo)為(x，0，z)，若

⊥

，

⊥

，則點P的坐標(biāo)為________．

6、如下圖，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC與平面α的夾角為30°，AO＝BO＝BC＝a，則AC＝__________．

7、如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC?AA1，

?ABC?90?，則直線AB1和BC1所成的角是．

25

8、已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為．9、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，O為正方形ABCD的中心，求證：OA1⊥AM.

10、如圖，在長方體ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2,AD=3,E為CD中點，三棱錐A1-AB1E的體積是6.

(1)設(shè)P是棱BB1的中點，證明：CP//平面AEB1;(2)求AB的長；

(3)求二面角B—AB1-E的余弦值.

26

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（14）向量在立體幾何中的應(yīng)用（二）

?1、若P是平面?外一點，A為平面?內(nèi)一點，n為平面?的一個法向量，則點P

到平面?的距離是（）

?????PA?nPA?nPA?n?????A．PA?nB．???D．?C．PAnPAn2、空間直角坐標(biāo)系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB

與CD的位置關(guān)系是（）

A．垂直B．異面C．平行D．相交但不垂直

3、已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()

A.B.C.D.

4、正三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都為2，E，F(xiàn)，G為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()

5、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，假使B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．

6、正方形ABCD邊長為2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角(如上圖)，M為矩形AEFD內(nèi)一點，假使∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF

1所成角的正切值為，那么點M到直線EF的距離為

2

7、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為.

27

8、在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G與E

分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為______．

CE//BD，?ECB?90?，AC?9、如圖，四棱錐A?BCED的底面BCED是直角梯形，

平面BCED，CE?CB?CA?2，BD?1．（1）求直線CA與平面ADE所成角的正弦值；（2）在線段ED上是否存在一點F，使得異面直線

26？若存在，試確定13點F的位置；若不存在，請說明理由．

10、等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF將梯形折疊使A，B重合于A點（如圖），G為AC上一點，F(xiàn)G⊥平面ACE．（Ⅰ）求證：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG與平面ACE所成角的正弦值．

CF與AB所成角余弦值等

28

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（15）導(dǎo)數(shù)的運算

1、若f(x)?x3,f?(x0)?3,則x0的值為（）A．1B．－1C．1或－1D．3或－3

2、若f(x)?x???x??lnx，則f'(x)??的解集為()A.(?,??)B.C.(?,??)D.(-?,?)（-?，?）?（?，+?）

3、已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=()A．﹣eB．﹣1C．1D．e

4、函數(shù)f(x)的定義域為R，f(-2)=2023，對任意的x?R，都有f?(x)?2x成立，則不等式f(x)?x2?2023的解集為（）

A．（-2，+?）B．（-2，2）C．（-?，-2）D．（-?，+?）

5、函數(shù)y?

6、f?x??

7、已知f?x??x3?3x?8，則曲線y?f?x?在點2,f為．

8、已知函數(shù)f?x?（x?R）滿足f?1??1，且f?x?的導(dǎo)數(shù)f??x??sinx的導(dǎo)數(shù)為_________________x1???cosx，則f????f????．x?2???2??處的切線斜率

1，則不等式2x21f?x???的解集為．

222

29

9、已知函數(shù)f(x)?xex.

(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

(2)求這個函數(shù)的圖象在點x?1處的切線方程.

10、曲線y＝e2x2cos3x在(0,1)處的切線與直線L的距離為

，求直線L的方程．

30

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（16）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、f'(x0)?0是函數(shù)f(x)在點x0處取極值的（）A．充分不必要條件B必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件2、曲線y?x2?2x?1在點（1,0）處的切線方程為()（A）y?x?1（B）y??x?1（C）y?2x?2（D）y??2x?2

3、函數(shù)f(x)?(1?cosx)sinx在[??,?]的圖像大致為（）

4、已知函數(shù)f?x??x2?數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．??

13lnx?在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間?a?1,a?1?內(nèi)不是單調(diào)函22?3??3??13??35?,?B．??,?C．?1,?D．?1,?

?2??2??22??44?5、一點沿直線運動，假使由始點起經(jīng)過t秒后的距離為s?為零的時刻是________．

6、函數(shù)f（x）=x-lnx的單調(diào)減區(qū)間為．

1453t?t?2t2，那么速度433227、已知函數(shù)f?x??x?ax?bx?a?在x?1處取得極大值10，則a?b的值7a為．

31

8、已知函數(shù)f?x???x3?ax在區(qū)間（－1,1）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．

9、已知a為實數(shù)，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．

10、如下圖，已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這個矩形面積最大時的邊長．

32

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（17）微積分

?1、

??(1?cosx)dx?（）

2?2A.??2B.2C.??2D.?

2、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，則在區(qū)間[?a,a]上的定積分?af(x)dx?（）

?aA．0B．?0aa?af(x)dxC．?0f(x)dxD．2?0f(x)dx

3、若f(x)?x2?2?110f(x)dx，則?0f(x)dx＝（）

A．－1B．－13C．13D．14、定積分dx的值為()A．B．

C．πD．2π

5、定積分?e11xdx的值為____________________.

6、已知?a?a?sinx?3x2?dx?16，則正實數(shù)a的值為．

7、已知?（203x2?k）dx?16，則k?________

?8、?22sin(x??04)dx=_______．

33

9、求曲線y＝sinx與直線x＝－，x＝π，y＝0所圍成圖形的面積(如圖)．

10、已知f(x)為二次函數(shù)，且

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值．

34

高二理科數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（18）推理與證明

1、已知整數(shù)的數(shù)對列:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），??，則第60個數(shù)對是（）A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）

2、用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x2+ax+b=0至少有一個實根〞時，要做的假設(shè)是()

A．方程x2+ax+b=0沒有實根B．方程x2+ax+b=0至多有一個實根C．方程x2+ax+b=0至多有兩個實根D．方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根

3、老師帶甲乙丙丁四名學(xué)生去參與自主招生考試，考試終止后老師向四名學(xué)生了解考試狀況，

四名學(xué)生回復(fù)如下：甲說：“我們四人都沒考好〞；乙說：“我們四人中有人考的好〞；丙說：“乙和丁至少有一人沒考好〞；丁說：“我沒考好〞．

結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則四名學(xué)生中兩人說對了．（）A．甲丙B．乙丁C．丙丁D．乙丙

4、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1?a?a2???an?1?1?a,(a?1,n?N)〞時，在驗證n?11?a成立時，左邊應(yīng)當(dāng)是（）

A．1B．1?aC．1?a?a2D．1?a?a2?a3

5、36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：由于36?22?32，所以36的所有正約數(shù)之和(1?3?32)?(2?2?3?2?32)?(22?22?3?22?32)?(1?2?22)(1?3?32)?91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為．

6、已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，則f2023（x）的表達式為．

7、觀測以下等式：

n?2

根據(jù)以上規(guī)律可得1+2+3++n=．

8、觀測以下式子：1?2

2

2

2

131151117?1???1????，，，，根據(jù)上述222222234223234規(guī)律，第n個不等式應(yīng)當(dāng)為．

35

9、古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，，第n個三角形數(shù)為

n?n?1?121?n?n．記第n個k邊形數(shù)為N?n,k??k?3?，以以下出了222部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：

11三角形數(shù)N?n,3??n2?n

22正方形數(shù)N?n,4??n2五邊形數(shù)N?n,5??321n?n22六邊形數(shù)N?n,6??2n2?n

可以推測N?n,k?的表達式，由此計算N?20,32??．

10、將正偶數(shù)排列如圖，其中第i行第j列的數(shù)表示為aij(i,j?N*)，例如a43?18，若

aij?2023，則i?j?．

11、設(shè){an}是集合{2t＋2s|0≤s5、636、?3

7、45數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，則可以證明：sk,s2k?sk,s3k?s2k,?也成等比數(shù)列，所以該等比數(shù)列依次為：3，6，12，24，，故S12?3+6+12+24=45.8、5

9、解：（1）∵an＝p＋q，又a1＝－

n

13，a2＝－，241?1p?q????p???2∴?解得?2

3?p2?q????q??1??4因此{an}的通項公式是an＝（（2）令an＝－

1n

）－1.22551255，即（）n－1＝－，

225625611255所以（）n＝，n＝8.故－是{an}中的第8項．

22562561n1n

（3）由于an＝（）－1，且（）隨n的增大而減小，因此an的值隨n的增大而減

22小，故{an}是遞減數(shù)列

10、解：（1）∵a1?1,a2?a6?2a4?14?a1?1,a4?7?d?a4?a1?2,?an?2n-1;4?1??2b3?q??4n又∵b1?2,b3?8????q?2,?b?2;bn1??q?0?因此數(shù)列{an}，{bn}的通項公式an?2n?1,bn?2n．（2）由（1）

an?bn?(2n?1)?2n,Tn?1?21?3?22?5?23?7?24?????(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n,2Tn?1?2?3?2?5?2?7?2?????(2n?3)?2?(2n?1)?2兩式相減，得

2345nn?1,

41

-Tn?1?21?2(22?23?24?????2n)?(2n?1)?2n?122(1?2n?1)?1?2?2??(2n?1)?2n?1?-6?(3?2n)2n?1

1?21?Tn?6??2n?3??2n?1．

（5）數(shù)列綜合

1、B2、C3、C4、Ba1?2，an?1??113?a2??,a3??,a4?2，所以數(shù)列an?132具有周期性，周期為3，?a2023?a2??

5、49506、an=（﹣1）n（2n+1）解：設(shè)此數(shù)列為{an}，其符號為（﹣1）n，

其絕對值為2n+1，可得通項公式an=（﹣1）n（2n+1）．故答案為：an=（﹣1）n（2n+1）．7、∵an?1?an?n?1，

∴a2?a1?2，a3?a2?3，a4?a3?4，?，an?an?1?n，∴an?a1?2?3?4???n?13(n?1)(2?n)(n?1)(2?n)121，∴an?2??n?n?1．

22228、an?2an?1?1?an?1?2?an?1?1??an?1?2,?n?2?，

an?1?1所以數(shù)列

?an?1?是以a1?1?2為首項，2為公比的等比數(shù)列．

所以an?1?2?2n?1?2n，所以an?2n?1．

9、（1）證明：由題設(shè)?an?，得a1?2，．a(chǎn)?4a?3n?1n?1n又n?N*，所以數(shù)列?an?n?是首項為n，且公比為Sn的等比數(shù)列．（2）解：由（1）可知Sn?1≤4Sn，于是數(shù)列?an?的通項公式為an?4n?1?n．

n所以數(shù)列?an?的前n項和Sn?4?1?n(n?1)．

32（3）證明：對任意的an?1?4an?3n?1，

?4n?1n(n?1)???1(3n2?n?4)≤0．4n?1?1(n?1)(n?2)Sn?1?4Sn???4???2322??3所以，不等式Sn?1≤4Sn，對任意an?1?4an?3n?1皆成立．10、（1）由題意，an?11Sn?1（n?N?），∴an?1?Sn?1?1（n?2，n?N?）2242

兩式相減：an?an?1?又a1?1an，即an?2an?1（n?2，n?N?）21S1?1，∴a1?22∴數(shù)列?an?是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an?2n

（2）由（1）可得，bn?log2an?log22n?n∴cn?11111??(?)

bn?bn?2n?(n?2)2nn?2Tn?c1?c2?c3???cn?1?cn1111111111?(1???????????)232435n?1n?1nn?211113111?(1???)??(?)22n?1n?242n?1n?231313∴T1?Tn?，即?Tn?所以，Tn的取值范圍為：[,)

43434（6）不等式（一）

1、B如1+5?2?3,1?2，所以A不成立；ac2?bc2?c2?0,a?b，所以B成立；當(dāng)ad?0時

cb因此C不成立；a?b?a?b,a?b推??ab?cd，

ad不出a?b，所以D不成立．

2、B依題意可得，c?0,a?0．不等式兩邊同乘以一個正數(shù)不等號方向不變，所以選項A正確；b?a?0,c?0,所以c?b?a??0，應(yīng)選項C正確；

a?c?0,ac?0,所以ac?a?c??0，應(yīng)選項D正確；當(dāng)b?0時，選項B錯誤．應(yīng)選B．

3、D4、D當(dāng)a?3時，-4?0恒成立；當(dāng)

?a?3，解得?1?a?3，所以-1?a?3?2???4?a?3??16?a?3??05、[?2?,?)6、-1由已知知a，b異號，所以

abab??0，??1，|a||b||ab|27、(?1,0)?(0,1)原不等式整理為x?0,1?x?0?x???1,0???0,1?8、-1由題意，得出不等式對應(yīng)的方程的兩個實數(shù)根x1,x2；再由根與系數(shù)的關(guān)系，求出m、n的值即可．

∵x不等式mx2?nx?1?0的解集為{x|x?,或x?}，∴m?0，且方程

131211mx2?nx?1?0的解為x1?，x2?32，∴由根與系數(shù)的關(guān)系

43

11n111???，???，?m??6，n?5，?m?n??1.32m32m9、解：（1）由已知1是方程ax2?3x?2?0的根，則a=1，

?a?1∴方程為x?3x?2?0?b?2解得?

b?2?2（2）原不等式為?x?c??x?2??0

c?2時解集為?xx?c或x?2?c?2時解集為?xx?2或x?c?c?2時解集為?xx?2?

10、解：（1）A??x|(x?1)(x?4)?0???1,4?（2）設(shè)f(x)?x2?2ax?a?2，

若B??,則??4a2?4(a?2)?0?a2?a?2?0??1?a?2

???0?1?a?418??18?若B??，則??2?a?綜上所述，a???1,?

7?7??f(1)?0??f(4)?0（7）不等式（二）

1、C2、C3、A4、D由于x?0,y?0，且

21??1，所以xy21x4yx4yx?2y?(x?2y)(?)?4???4?2??8．要使不等式x?2y?m2?2m恒

xyyxyx22?2?m?4．成立，則（x?2y）min?m?2m，所以m?2m?8，解得

5、t??26、由x,y滿足的約束條件畫出其可行域，目標(biāo)函數(shù)表示的是可行域的點與點D?2,?1?的連線的斜率，所以其取值范圍為?kAD,kCD?，所以其范圍為??3,??．

2??1??7、16根據(jù)基本不等式ab?a?4b?24ab?4ab?ab?4?ab?168、易得，A（2，1）則2m+n=1.又因m，n?0，所以

1212n4m?=（?）(2m+n）=4+??4?24?8．mnmnmn

44

9、解析：（Ⅰ）三條直線的交點分別是A(3,1),B(7,9),C(1,3)，Qz?y?(?2)，表示點

x?(?1)35QKNA?,KNC?N(?1,?2)到A,C兩點斜率的取值范圍．42,?Z?35?,??42??的取值范圍是

（Ⅱ）QZ表示到可行域中的點的距離的平方最小值，Q(0,5)到直線x?y?2?0的

9距離的平方為2是最小的．

10、解析：（1）由題意得倉庫的總造價為：t?40x?45?2y?20xy

（2）倉庫底面面積S?xy?100m2時，t?40x?45?2y?20xy?40x?90y?2000

≥240x?90y?2000?1200?2000?32023分當(dāng)且僅當(dāng)40x?90y時，等號成立，

又∵xy?100，∴x?15(m)．

答：倉庫底面面積S?100m2時，倉庫的總造價最少是3200元，此時正面的長應(yīng)設(shè)計為

15m．

（8）簡易規(guī)律

1、D解：原命題的條件是““若x2＜1〞，結(jié)論為“﹣1＜x＜1〞，

則其逆否命題是：若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1.2、B由已知，p：?2?x?10，

q：1?m?x?1?m．由于p是q的充分不必要條件，則

?1?m??2??2,10???1?m,1?m?，即??1?m?10?m?9，應(yīng)選B．

?m?0?3、D對于命題p：若sinx?sin于是令x?y，

?3,y?2???6，則x?y，

所以命題p為假命題；對于命題q：由重要不等式可知x2?y2?2xy是正確的，即命題

q為真命題．由命題間的規(guī)律連接詞可知，p或q為真命題，?p為真命題，p且q為假命題，故應(yīng)選D．4、C解：對于A，否命題是“若x2≠1，則x≠1〞，∴A錯誤；

45

對于B，命題p的否定￢p：?x∈R，x﹣2x﹣1≤0，∴B錯誤；

對于C，命題“若x=y，則sinx=siny〞是真命題，∴它的逆否命題是真命題，∴C正確；

2

對于D，“x=﹣1〞時，“x﹣5x﹣6=0〞，∴是充分條件，∴D錯誤；5、（2）（4）（5）形如y?xa的函數(shù)叫冪函數(shù)，假使a?0，則y?x0x(?0)，（1）錯；x?1時一定有x?2，但x?2時，不一定有x?1，故（2）正確；x?1(x?2)?0的解集是{x|x?2或x?1}，（3）錯；正切函數(shù)y?tanx的對稱中心是(2

k?,0)(k?Z)，2（4）正確；命題“若x?y，則sinx?siny〞是真命題，因此其逆否命題也是真命題，（5）正確，所以填空（2）（4）（5）．6、

解：∵p：

，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，

∴q：x＜a，或x＞a+1∴？q：a≤x≤a+1又∵p是？q的充分不必要條件，∴則實數(shù)a的取值范圍是

解得：

7、“p或q〞，“非p〞∵命題p是假命題，命題q是真命題，∴“p且q〞為假，“p或q〞為真，“p〞為真.8、?22?a?22原命題為假命題，則其否定“?x?R，使得

2x2?3ax?9?0成立為真命題???0??22?a?229、∵p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，∴x2≥a．∴a≤1．

∵q：?x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0．∴a≤－2或a≥1．∵“p∧q〞是真命題，∴p和q都是真命題．∴p和q的解集取交集得a≤－2或a＝1．10、?y??x2?2x?8???x?1??9??0,3?，∴命題P：0?a?3．令f(x）=x２＋x?a，由題知f(1)?0，∴a?2，∴命題q:a?2．

又由于命題“p且q〞為假命題，“p或q〞為真命題，所以p與q有且只有一個真命題．當(dāng)p真q假時有0?a?2；當(dāng)p假q真時有a?3；∴a的取值范圍為?0,2???3,???

2（9）橢圓

1、A2、A3、B由題意m?218?，解得m?．

32m4、D可以證明，焦點三角形中，當(dāng)點P在橢圓短軸端點時，?F1PF2最大．在該橢圓中，可計算最大時仍為銳角，即直角三角形的頂點只可能是焦點，所以點?到x軸

46

的距離為點P的縱坐標(biāo)y的絕對值y．將x?c(或?c)代入橢圓方程得，y??y?9．應(yīng)選D．49,所以412?a?2c?7、2由已知?b?3，解得a?2．

?a2?b2?c2?5、406、(?2,?)

x2y2??1的左右焦點分別為F1、F2，過焦點F1的直線交8、根據(jù)題意，由于設(shè)橢圓

167橢圓于A、B兩點，若?ABF2的內(nèi)切圓的面積為?，則內(nèi)切圓的半徑為1，設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則利用內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，|y1?y2|值為

83x2y29、設(shè)橢圓方程為2?2?1(a?b?0)，則a2?b2?5，將點的坐標(biāo)帶入方程有：

ba25x2y215224??1??1,b?20,a?252025b2b2?5

10、解：（I）依題意橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點都圓x2+y2=1上，

可得b=1，c=1所以a2=2，所以橢圓C的方程；；

（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為：y=k（x﹣2），

由消去y得：（1+2k）x﹣8kx+8k﹣2=0，

2222

所以，

由于OA⊥OB，所以而

，即x1x2+y1y2=0，

，所以

，

所以解得：

，

，此時△＞0，所以

．

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（10）雙曲線

b4b251、D2、C3、A由漸近線方程得，?e?1?2?．應(yīng)選A．

a3a34、C不妨設(shè)PF1?PF2，由雙曲線的定義得，?F1-?F2?2a．又因

?F1F2最小，由余弦定1F2?2c,顯然?PF1=4a,?F2?2a,而F1??F2?6a，所以?F22理得，4a2?16a2?4c2?2?4a?2c?cos3