2012年全國數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀選

15級，系可表現(xiàn)為位移-t的參數(shù)方程。其中，一個沖程中示功圖是一個封閉的曲②如圖5（）由計算機(jī)自動判別某泵功圖數(shù)據(jù)是否屬于泵內(nèi)有氣體的情況。并對附件中對應(yīng)的泵功圖進(jìn)行計算機(jī)診斷，看其是否屬于泵內(nèi)充氣的情況。Gibbs模型進(jìn)行原理分析，發(fā)現(xiàn)它的不足。在合理的假設(shè)下，重新建立抽油 2 ②Gibbs模型在數(shù)學(xué)上可簡化“波動方程

x2c

ac的推導(dǎo)過程。DE：t=0D，AB，E；D上頂點(diǎn)（2）時，E0（即一個沖程AOBAOBCDφ

1井下泵供圖的轉(zhuǎn)化是非常重要的。1966年，Gibbs給出了懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)化為 2由于石油是在一定地質(zhì)構(gòu)造中的油氣體混合物所以在抽油過程中總有或定閥打開之后，從而增載變慢。泵的余隙越大，殘余的氣體越多，泵口壓力也就越低，（C分析，假設(shè)以懸點(diǎn)為原點(diǎn)，沿井深方向為位移方向，沿桿柱縱向截取一點(diǎn)x和另一點(diǎn)xx，其間有一段長度為L的接箍。抽油桿柱密度均勻為，截面積恒為A，F(xiàn)d為微元在x處的張力，F(xiàn)t為微元在xx處的張力，根據(jù) 第二定律（Fma）有：FbFtFdALtxxx

FbFtFdALt

xxxFbxxAFtxA

Eu| Eu x x x|xxx|xxx2|xFcmucAL

2 代入后可得出波動方程

x2c

3（1）（2）（3）r:曲柄半徑；l:連桿長度；b:曲柄轉(zhuǎn)角t:時間rkgm3rrAm3rDt:油管直徑，mDr:抽油桿直徑Dm

1：光桿懸點(diǎn)做簡諧運(yùn)動C（1）BtLBLBr*(1cos)r*(1

EALALaLa*r*(1

AdLAa**r

AdVAa*2*r

2：實際抽油機(jī)的rl值是不可以忽略的，特別在沖程長度較大時，如果忽略會引起很大誤差。因此，取r與l0<rll4G4 MFBHND Q4=180時，B在N處，距離曲柄最近，相應(yīng)于懸點(diǎn)E的上死點(diǎn)（1）BtLBL=MN=r[(1cos)1

ALLar[(1cos)1(112sin2)]

B AEELE

r[(1cos)1

b

EALA

12sin2112sin212sin212

ALr(1cossin2)

EVVdLAr(sinsin2)

EdVAA

2r(coscos2)b

中進(jìn)行比較。按簡諧運(yùn)動計算的位移函數(shù)為S_jx(t1.6430(1cos(0.7959tV_jx(t)1.3076sin(0.7959tW_jx(t)1.0407cos(0.7959t)函數(shù)為V_qb1.3076(sin(0.7959t0.1293

W_qb1.0407(cos(0.7959t)0.2585cos(1.5918t)4給所示）,速度函數(shù)（1-2，加速度函數(shù)（1-33.21-11-21-3Gibbst

t

c

u(x,t)xta為應(yīng)力波在抽油桿柱中的速度c

0

n

U(t)

(vncosnnsin22

D(t和U(t144，等時采樣，令tT2dt

12D() n=0,1,2,…，

考慮到

kD(2p)

Dcos[n*20Dcos[]n

n

n1[{

2

D2 2

合 cos[nk1)(2

2

k2[D0cos0Dcos[2n*1

cos[2n*2]...Dkcos(2n)]

D0Dkcos0cos2nnp2knpk

cos[2npk

n=0,1,2,…,np2knpkv2

kcos[2np

n=1,2,…,npk np

n=0,1,2,…,np2knpk

k

n=1,2,…,以上式子中：Tk2144；p0kD(t和U(ta2T

CT'(t)a2T

X''(x)X

nnnnT'' CT'

a22

n X''n

2Xx（1nn式中n和n

11(C a

1

1(C a n=000，方程組（3.17）T''(t)CT'(t)

X''(x) T(t)X(x)方程（3.17）(x)nsinnxncosn綜上各式：可求出(3.16)

U(x,t)(x)(sin

x

GibbsU(x,t)

nnxv0(Q(x)cosntP(x)sinnwtnn

Qn(x)(kncoshnxnsinhnx)sinnx(nsinhnxvncoshnx)cosnPn(x)(knsinhnxncoshnx)cosnx(ncoshnxvnsinhnx)sinnknnnn EA(2 nnn EA(22 定律，抽油桿柱任意深度x斷面上的動載荷隨時間的變化為F(x,t)

U 即F(x,t) (Qn(x)cosnt

Q'(n)[nsinh

x(v)coshx]sin

n n [ncosh

x(v)sinhx]cos

n n P'(n)[ncosh

x(v)sinhx]cos

n n [nsinhx(v)coshx]sin n n 上述中：EAr C2

4

1)[B

r asinLcos mDt B12lnm1；B2式中：

1

(m2L——抽油桿長度，m2-1懸點(diǎn)功圖及泵功圖位移（載荷）2-2的泵功圖數(shù)據(jù)，繪制出對應(yīng)于該油井的泵功圖（2-5。2-3（載荷）2-4（載荷）2-51：利用“有效沖程”建模集點(diǎn)Pi(xi,Fi)的曲率Ki，即利用泵功圖上任意一離散點(diǎn)Pi(xi,Fi)及其前一Pi1(xi1,Fi1)和后一點(diǎn)Pi1(xi1,Fi1)3點(diǎn)之間的幾何關(guān)系計算出Pi(xi,Fi)點(diǎn)的曲率Ki，2SPK I1ii

LLii1PPPI1ii

根據(jù)泵功圖上任意一離散點(diǎn)Pi(xi,Fi)的曲率Ki及其后一點(diǎn)Pi1(xi1,Fi1)的曲Ki1Pi(xiFi)的曲率變化率KiKiKi1Ki。消除或降低點(diǎn)的曲率變化量KiKi與曲率變化量Ki14根據(jù)液量計算Q

kgm3f pqSpSp

(3-ql/dScm2 Scm2ql/d APqp按式(3-25)q1440πD2snγ

(3-式中，smn/minγ0.93AB>CDAABCD圖5（C）選取其中四個變化最大的點(diǎn)（3-2，即可求得有效沖程。3-22.4191Q

4

Spen101.6109方法二：有效面積法求的qp=131.7164,q1440πD2snγ pqSpSpS=泵功圖面積/理論示功圖100.9494選取其中四個變化最大的點(diǎn)（3-4，即可求得有效沖程。3-33.4624Q

4

Spen29.9879方法二：有效面積法求的qp=35.6444q1440πD2snγ pqSpSpS=泵功圖面積/理論示功圖27.692612，1122根據(jù)我們前面提到的第一種判別方法，對于附件1泵功圖，得到上沖程位移1．修正的方波動方程【4新模型中抽油桿的截取示意圖如圖5所示，根 第二定律（Fma）有5

FbFtFdFcFdFlFgFeAxt2 PcSxP ， 0.2MpaFeoilAgFPoilSx FgAgS

—泵內(nèi)混合液體的密度，大小為0.988103kgm3應(yīng) 定律 經(jīng)過變換得到修正的Gibbs波動方程 2 t2

x2c

10.5983

u(x,t)|x0

FP(tpF(x,t)|xtF(tp

u(x,t)|(0xt,t0)u(x,t) (0xt,l修正的方程是一個二階非齊次偏微分方程，必須結(jié)合邊界條件和初始條件才對于多級桿柱結(jié)構(gòu)，兩桿連接處的載荷與位移連續(xù)條件多年來一直沿用由J.F.LeaFd(t)Frr rud(t)u

r式中Fd(t)、sd(ttr 最后構(gòu)成的完整的抽油桿的模型[5] 2 t2

x2c

10.5983

pu(x,t)|x0 F(x,t)|xtF(tpu(x,t)

u(x,t) (0xt,t

(0xt,lFd(t)Frr ud(t)u

r r修正波動方程的求Gibbs設(shè)u(x,t)X(x)T(t，X(x)T(t)xt

CT'(t)

X''qX

Gibbs

CT'(t)X''

X波動方程上邊界條件 級數(shù)形式如下Dwt

n0n

n

U(t)2

n(vncosnwtnsinnwtn

X(x)T(t)分別求為：X(x)nsinnxncosnT(t)Gibbs U(x,t) x

(Qn(x)cosntPn(x)sinnwt22

F(x,t) (Qn(x)cosnt

Q(n、Q'(nP(nPn 將求的的X(x)、T(t)帶到修正 方程，得到 x

2'

sin()x

整理以后得到的U(xt的形式如下，在原U(xtqqx(2L 16qL2U(x,t)

cos(2n1)atsin(2n1)x

2a

3a

n0(2n

16qL2

n

n

a

2

3 3

2．根據(jù)示功圖計算估計阻尼系數(shù)的計 過程[6]如下對Gibbs方程

2u(x,t)

2u(x,t)

c

沿著x方向從0到L進(jìn)行數(shù)值積分 2u(x,t)

u(x,t)

,t) dx{EiAi[ 0 0

i

F(xn,t)F(x0,t)FP(t)F00T1，下沖程時間從T1到T

T1

T1次序得到[Fp(t)F0(t)]dtAc dtdx

整理得到阻尼系數(shù)計 如下 Sr(1 ncT[(1Sr(1 nFrd(t)Fpu(tFpd(t 1

FruT

F

T

1t

1 1 FpuT

Fpu

FpdT

Fpd1

1這 4.440- 6Gibbs7數(shù)的，得到的阻尼系數(shù)是0.256，更接近于實際的阻尼系數(shù)。75E12卸載線的變化來判別。對Gibbs元體進(jìn)行受力分析來對現(xiàn)有的模型進(jìn)行了改進(jìn)，并給出了懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)換為泵功圖的詳細(xì)計算過