等差與等比數(shù)列和數(shù)列求和的基本方法和技巧

高考專題復(fù)習(xí)三——等差與等比數(shù)列等差與等比數(shù)列是最重要且應(yīng)用廣泛的有通項(xiàng)公式的數(shù)列，在高考中占有重要地位，成為每年必考的重點(diǎn)內(nèi)容，這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)知識有：等差、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前幾項(xiàng)和公式以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，在解決有關(guān)等差，等比數(shù)列問題時(shí)，要注意運(yùn)用方程的思想和函數(shù)思想以及整體的觀點(diǎn)，培養(yǎng)分析問題與解決問題的能力。考綱要求：掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前幾項(xiàng)和公式并能運(yùn)用知識解決一些問題。一、知識結(jié)構(gòu)與要點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)推廣定義通項(xiàng)—等差中項(xiàng)abc成等差基本概念推廣前n項(xiàng)和等差數(shù)列當(dāng)d>0(<0)時(shí){為遞增（減）數(shù)列當(dāng)d=0時(shí)為常數(shù)基本性質(zhì)與首末兩端等距離的項(xiàng)之和均相等中共成等差則也成等定義:通項(xiàng)等比中項(xiàng)：abc成等比數(shù)列基本概念推廣前n項(xiàng)和等比數(shù)列與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之積相等成等比，若成等差則成等比基本性質(zhì)當(dāng)或時(shí){為遞增數(shù)列當(dāng)或時(shí){為遞減數(shù)列當(dāng)q<0時(shí){為擺動數(shù)列當(dāng)q=1時(shí){為常數(shù)數(shù)列二、典型例題例1．在等差數(shù)列中求解法一那么解法二：由點(diǎn)評：在等差數(shù)列中，由條件不能具體求出和d，但可以求出與d的組合式，而所求的量往往可以用這個(gè)組合式表示，那么用“整體代值”的方法將值求出（2）利用：將所求量化為已知量也是“整體代值”的思想，它比用和d表示更簡捷。例2．等差數(shù)列前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為解法一用方程的思想，由條件知①②①②也成等數(shù)列由②Χ2-①得代入解：在等差數(shù)列中由性質(zhì)知成等差數(shù)列解法三等差數(shù)列中即為以為首項(xiàng)公差為的等差數(shù)列依題意條件知成等差點(diǎn)評：三種解法從不同角度反映等差數(shù)列所具有的特性，運(yùn)用方程的方法、性質(zhì)或構(gòu)造新的等差數(shù)列都是數(shù)列中解決問題的常用方法且有價(jià)值，對解決某些問題極為方便。例3在等比數(shù)列中求分析：在等比數(shù)列中對于五個(gè)量一般“知三求二”其中首項(xiàng)5元比是關(guān)鍵，因此解法一又則解法二:而代入中得故點(diǎn)評：根據(jù)等比數(shù)列定義運(yùn)用方程的方法解決數(shù)列問題常用解法二更為簡捷。例4．在等差數(shù)列中等比數(shù)列中則解：點(diǎn)評：此題也可以把和d看成兩個(gè)未知數(shù)，通過列方程，聯(lián)立解之d=。再求出但計(jì)算較繁，運(yùn)用計(jì)算較為方便。例5．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為已知（1）求公差d的范圍（2）指出中哪一個(gè)值最大，并說明理由解：（1）由題義有由則代入上式有(2d<0所以最小時(shí)最大當(dāng)時(shí)所以當(dāng)n=6時(shí)最小故最大點(diǎn)評：本題解法體現(xiàn)了函數(shù)思想在處理數(shù)列問題中的運(yùn)用，判斷數(shù)列隨N增大而變化規(guī)律的方法與判斷函數(shù)增減性的方法相同。例6已知a>0數(shù)列是首項(xiàng)5元比都為a的等比數(shù)列，(n如果數(shù)列中每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)，求a的取值范圍。解：由已知有所以因此由題意對任意成立即即對任總成立，由知那么由a>0知或即（Ⅰ）或（Ⅱ）由Ⅰ知a>1中Ⅱ?yàn)檫f增的函數(shù)所以故a的取值范圍為或a>1點(diǎn)評：這是道數(shù)列與不等式綜合的題目，既含有字母分類討論又要運(yùn)用極限的思想和函數(shù)最值的觀點(diǎn)來解決問題，同時(shí)還要判斷函數(shù)的單調(diào)性，具有一定的綜合性。高考專題復(fù)習(xí)三——數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、4、5、[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝∴當(dāng)，即n＝8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：………………①解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…….②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)………………①………………②（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得（錯(cuò)位相減）∴三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).[例5]求證：證明：設(shè)………①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序）又由可得……..②①+②得（反序相加）∴[例6]求的值解：設(shè)…①將①式右邊反序得…②（反序）又因?yàn)棰?②得（反序相加）＝89∴S＝44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例7]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）當(dāng)時(shí)，＝[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得Sn＝（分組）＝＝（分組求和）＝五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則（裂項(xiàng)求和）＝＝[例10]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解：∵∴（裂項(xiàng)）∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)求和）＝＝[例11]求證：解：設(shè)由（裂項(xiàng)）∴（裂項(xiàng)求和）＝＝＝＝∴原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]數(shù)列{an}：，求S2002.解：設(shè)S2002＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5[例14]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得（合并求和）＝＝＝10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝[例16]已知數(shù)列{an}：的值.解：∵（找通項(xiàng)及特征）＝（設(shè)制分組）＝（裂項(xiàng)）∴（分組、裂項(xiàng)求和）＝＝高考專題復(fù)習(xí)練習(xí)三——等差與等比數(shù)列1(北京)已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且與的一個(gè)等比中項(xiàng)為，則的值為（）（A）（B）（C）（D）12（黃岡）在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，則a1等于（）（A）－1221（B）－21.5（C）－20.5（D）－203（合肥）數(shù)列滿足若，則（）(A)(B)(C)(D)4（北京）在數(shù)列中，,則此數(shù)列前4項(xiàng)之和為()(A)0(B)1(C)2(D)-25（天津）在等差數(shù)列中，，公差d<0，前n項(xiàng)和是，則有（）（A）（B）（C）（D）6(北京)等差數(shù)列{an}中，已知，a2＋a5=4，an=33，則n為（）A、48B、49C、50D、517、如果數(shù)列滿足是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則_________________。8、已知數(shù)，則的值依次是_________________，=___________________.9、若數(shù)列滿足，且，則的值為______________。10、（天津）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且a2a4+a4a6+a6a2=1，，則a10=____________．11、在等差數(shù)列｛an｝中，a1=,第10項(xiàng)開始比1大，則公差d的取值范圍是___________.12、（本題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=－3x＋3，x∈(1)求f(x)的反函數(shù)y=g(x)；(2)在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=g(a1)，a3=g(a2)，…an=g(an－1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列.(3)解關(guān)于n的不等式：13、本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)（a是常數(shù)），（）．（Ⅰ）是否可能是等差數(shù)列.若可能，求出的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；（Ⅱ）設(shè)，（），為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a、b滿足的條件．高考專題復(fù)習(xí)練習(xí)三——等差與等比數(shù)列答案1.D2.C3.B4.A5.A6.C7.8.19.10210．11.<d《12、(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=－3x＋3，的值域是[0，1]所以f(x)的反函數(shù)為g(x)=，……………3分(2)解：依題意得所以即根據(jù)等比數(shù)列的定義得：數(shù)列是公式為的等比數(shù)列……7分所以所以……………………9分所以………………11分(3)解：顯然當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，此不等式不成立；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，所以原不等式的解為n=1或n=3………………