2023屆二輪復(fù)習(xí) 解題方法專題-極值法 學(xué)案

極值法利用數(shù)學(xué)方法求極值（2022·云南省歷年真題）如圖所示，學(xué)校門口水平地面上有一質(zhì)量為m的石墩，石墩與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動(dòng)石墩時(shí)，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說(shuō)法正確的是（）A．輕繩的合拉力大小為B．輕繩的合拉力大小為C．減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小D．輕繩的合拉力最小時(shí)，地面對(duì)石墩的摩擦力也最小關(guān)鍵信息：勻速移動(dòng)→受力平衡求解繩子拉力、地面對(duì)石墩的摩擦力→選石墩為研究對(duì)象輕繩的合拉力最小→極值問(wèn)題解題思路：石墩受五個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài)，多力平衡問(wèn)題通常采用正交分解，再列平衡方程進(jìn)行解答。求輕繩的合拉力最小值時(shí)，利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)關(guān)系式求解。AB．設(shè)輕繩的合拉力大小為T，對(duì)石墩受力分析：由平衡條件，在水平方向上有：Tcosθ＝f豎直方向上有：Tsinθ＋N＝mg根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式得：f＝μN(yùn)聯(lián)立解得：T＝，故A錯(cuò)誤，B正確；C．輕繩的合拉力的大小為：T＝＝，其中tanφ＝，可知當(dāng)θ＋φ＝90°時(shí)，輕繩的合拉力有最小值，即減小夾角θ，輕繩的合拉力不一定減小，故C錯(cuò)誤；D．摩擦力大小為：f＝Tcosθ＝＝可知增大夾角θ，摩擦力一直減小，當(dāng)趨近于90°時(shí)，摩擦力最小，故輕繩的合拉力最小時(shí)，地面對(duì)石墩的摩擦力不是最小，故D錯(cuò)誤；故選B。（2022湖北歷年真題）打樁機(jī)是基建常用工具。某種簡(jiǎn)易打樁機(jī)模型如圖所示，重物A、B和C通過(guò)不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)長(zhǎng)繩跨過(guò)兩個(gè)光滑的等高小定滑輪連接，C與滑輪等高（圖中實(shí)線位置）時(shí)，C到兩定滑輪的距離均為L(zhǎng)。重物A和B的質(zhì)量均為m，系統(tǒng)可以在如圖虛線位置保持靜止，此時(shí)連接C的繩與水平方向的夾角為60°。某次打樁時(shí)，用外力將C拉到圖中實(shí)線位置，然后由靜止釋放。設(shè)C的下落速度為時(shí)，與正下方質(zhì)量為2m的靜止樁D正碰，碰撞時(shí)間極短，碰撞后C的速度為零，D豎直向下運(yùn)動(dòng)距離后靜止（不考慮C、D再次相碰）。A、B、C、D均可視為質(zhì)點(diǎn)。（1）求C的質(zhì)量；（2）若D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力F可視為恒力，求F的大小；（3）撤掉樁D，將C再次拉到圖中實(shí)線位置，然后由靜止釋放，求A、B、C的總動(dòng)能最大時(shí)C的動(dòng)能。（1）系統(tǒng)在如圖虛線位置保持靜止，以C為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件：mCg＝2mgcos30°解得mC＝（2）C、D碰后C的速度為零，設(shè)碰撞后D的速度為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律：＝×0＋2mv解得：v＝C、D碰撞后D向下運(yùn)動(dòng)距離后停止，根據(jù)動(dòng)能定理：0－×2mv2＝2mg－F解得：F＝6.5mg（3）設(shè)某時(shí)刻C向下運(yùn)動(dòng)的速度為v′，此時(shí)輕質(zhì)長(zhǎng)繩與豎直方向的夾角為α，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，AB向上運(yùn)動(dòng)的速度為v″＝v′cosα，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：＝令y＝對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)可得：＝當(dāng)＝0時(shí)，y取最大值，即此時(shí)A、B、C的總動(dòng)能最大解得：cosα＝即α＝30°，此時(shí)有y＝＝mgL于是有：mCv′2＋2×m(v′cosα)2＝mgL解得：v′2＝此時(shí)C的動(dòng)能為：Ekm＝mCv′2＝(4－)mgL所謂利用數(shù)學(xué)方法求極值，即根據(jù)物理現(xiàn)象，建立物理模型，利用物理公式寫出需求量與自變量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)關(guān)系式討論出現(xiàn)極值的條件和極值的大小，常見(jiàn)的利用函數(shù)求極值的方法有：1．三角函數(shù)法：①y＝asinθ＋bcosθ＝sin(φ＋θ)，當(dāng)φ＋θ＝90°時(shí)，函數(shù)有最大值。最大值ymax＝，此時(shí)θ＝90°－arctan；②y＝asinθcosθ＝asin2θ，當(dāng)θ＝45°時(shí)，有最大值ymax＝；2．二次函數(shù)法：y＝ax2＋bx＋c，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)有極小值ymin＝；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有極大值ymax＝；3．不等式法：y＝（a＞0、b＞0），當(dāng)ab＝x2時(shí)，有最小值ymin＝；4．導(dǎo)數(shù)法：對(duì)相應(yīng)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為零時(shí)，函數(shù)出現(xiàn)極值。利用臨界條件求極值（2022·北京模擬題）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離0.1m處有一質(zhì)量為m＝1kg的小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.8（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），盤面與水平面的夾角為37°（已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。（1）若ω＝1rad/s，求當(dāng)小物體通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力的大小；（2）若ω＝1rad/s，求當(dāng)小物體通過(guò)與圓心等高處時(shí)所受摩擦力的大?。唬ūＡ魞晌挥行?shù)字）（3）求符合條件的ω的最大值．關(guān)鍵信息：傾斜的勻質(zhì)圓盤→斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)圓盤以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)→圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止→小物體與圓盤之間的摩擦力為靜摩擦符合條件的ω的最大值→極值問(wèn)題解題思路：已知角速度時(shí)，由牛頓第二定律可得物體所受的合力，進(jìn)而求得摩擦力；由小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止的臨界條件求解ω的最大值。（1）在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsinθ－Ff1＝mω2r解得：Ff1＝5.9N（2）小物體通過(guò)與圓心等高處時(shí)，重力沿斜面向下的分力和靜摩擦力的合力提供向心力：＝mω2r解得：Ff2≈6.0N（3）由小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止的臨界條件是靜摩擦力達(dá)到最大值，即Ff3＝μmgcosθ圓盤轉(zhuǎn)速相同時(shí)，小物體在最低點(diǎn)所受的摩擦力最大，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得：Ff3－mgsinθ＝mω2r聯(lián)立解得小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止的角速度最大值為：ω＝2rad/s（智學(xué)精選）汽車在晴天干燥瀝青路面上以108km/h的速度勻速行駛時(shí)，剎車距離為50m；貨車在晴天干燥瀝青路面上以72km/h的速度行駛時(shí)，剎車距離為40m。若雨天時(shí)在瀝青路面上汽車與貨車所受阻力均為晴天時(shí)的0.8倍，則其他條件不變的情況下，雨天時(shí)汽車與前方貨車在瀝青路面上同時(shí)剎車的最小安全距離約為（）A．12m B．16m C．20m D．24m晴天時(shí)，對(duì)汽車有＝2a1x1，其中v1＝108km/h＝30m/s，x1＝50m，對(duì)貨車有＝2a2x2，v2＝72km/h＝20m/s，x2＝40m，解得a1＝9m/s2，a2＝5m/s2。雨天時(shí)兩車不相撞的臨界條件為v1－0.8a1t＝v2－0.8a2t，解得t＝3.125s。則v共＝v1－0.8a1t＝7.5m/s雨天時(shí)汽車與前方貨車在瀝青路面上同時(shí)剎車的最小安全距離為x＝＝15.625m，B正確。故選B。使用臨界條件求極值的問(wèn)題很多：①追及問(wèn)題中，兩車相距最近（或最遠(yuǎn)）的臨界條件是速度相等；②圓盤上的物體剛要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)的臨界條件是靜摩擦力達(dá)到最大值，可以求出此時(shí)圓盤的最大角速度；③滑塊滑板問(wèn)題中，滑塊剛好不滑離木板的臨界條件是滑到木板邊緣時(shí)，剛好共速，往往可以求木板的最小長(zhǎng)度；④有界磁場(chǎng)中，不出磁場(chǎng)的臨界往往是軌跡與磁場(chǎng)邊界相切，可以求半徑的最大值；⑤物體做斜拋或類斜拋這類勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度最小值的臨界條件是物體所受合力與速度方向垂直，據(jù)此條件可求解相關(guān)問(wèn)題。利用圖像求極值（2022·江蘇模擬）如圖所示，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線拴住放在光滑斜面上，斜面足夠長(zhǎng)，傾角為α的斜面體置于光滑水平面上，用水平力F推斜面體使斜面體緩慢地向左移動(dòng)，小球沿斜面緩慢升高。當(dāng)線拉力最小時(shí)，推力F等于（）A．mgsinα B．mgsinα C．mgsin2α D．mgsin2α關(guān)鍵信息：光滑斜面→小球無(wú)摩擦光滑水平面→地面無(wú)摩擦斜面體緩慢向左移動(dòng)、小球沿斜面緩慢升高→動(dòng)態(tài)平衡線拉力最小→極值問(wèn)題解題思路：斜面體緩慢地向左移動(dòng)過(guò)程中，小球緩慢上升，則屬于動(dòng)態(tài)平衡的問(wèn)題。運(yùn)用圖解法得到拉力最小的條件和最小值，進(jìn)而可得推力的值。以小球?yàn)檠芯繉?duì)象。小球受到重力mg、斜面的支持力N和細(xì)線的拉力T，在小球緩慢上升過(guò)程中，小球的合力為零，則N與T的合力與重力大小相等、方向相反，根據(jù)平行四邊形定則作出三個(gè)位置力的合成圖如下，則得當(dāng)T與N垂直，即線與斜面平行時(shí)T最小，則得線的拉力最小值為Tmin＝mgsinα。再以小球和斜面體組成的整體為研究對(duì)象，由平衡條件可知：F＝Tmincosα＝(mgsinα)cosα＝mgsin2α。故選D。（2022·福建省月考）如圖所示，質(zhì)量M＝kg的木塊套在水平桿上，并用輕繩將木塊與質(zhì)量m＝kg的小球相連。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝N拉著球帶動(dòng)木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中M、m相對(duì)位置保持不變，取g＝10m/s2。求：（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輕繩與水平方向夾角θ的度數(shù)；（2）木塊與水平桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)；（3）改變?chǔ)?，使球和木塊一起向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力最小，求α的正切值。（1）對(duì)小球體進(jìn)行分析，如下，水平方向：Fcos30°＝Tcosθ豎直方向：Fsin30°＋Tsinθ＝mg解得θ＝30°（2）對(duì)木塊與小球體整體分析如下，豎直方向