六同第一講 還原法解題

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教學(xué)目標(biāo)：1、初步了解“還原法〞，加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力

2、把握“還原法〞的解題步驟，并運(yùn)用于解決實(shí)際問題3、培養(yǎng)獨(dú)立思考、自主探究的能力教學(xué)重難點(diǎn)：熟練的應(yīng)用還原法解允許用題教學(xué)方法：講練法教學(xué)用具：講義教學(xué)過程一、導(dǎo)入

清朝書畫家鄭板橋在山東濰縣當(dāng)縣官時(shí)，有一年春天，他提著一壺酒在街上邊走邊飲，又是吟詩，又是畫畫，正好遇上老朋友計(jì)山，計(jì)山說：“光你一個(gè)人喝酒，也不說請(qǐng)我喝呀？〞鄭板橋說：“請(qǐng)倒是想請(qǐng)，只是你來晚了，我的酒已經(jīng)喝完了。〞計(jì)山問道：“你一個(gè)人喝了多少酒呀？〞鄭板橋“哈哈〞一笑，吟出一首詩來：“我有一壺酒，提著街上走，吟詩添一倍，畫畫喝一斗。三作詩和畫，喝光壺中酒。你說我壺中，原有多少酒？〞計(jì)山眨著眼想了半天，說：“我算出來了，你的壺中原來一共有7/8斗酒。〞鄭板橋說：“對(duì)，你很聰明。〞同學(xué)們，你們知道計(jì)山是怎樣算出來的嗎？

其實(shí)，計(jì)山在計(jì)算的過程中用到了我們今天要學(xué)習(xí)的方法還原法。等學(xué)完之后，大家確定會(huì)比鄭板橋的好朋友更加聰明的。二、新課學(xué)習(xí)

例1、將一個(gè)數(shù)擴(kuò)大7倍后，減去5，再除以5，最終加上最大的一位數(shù)，得22。這個(gè)數(shù)是多少？

解析：由已知我們知道，一個(gè)數(shù)經(jīng)過了多步變化后變成了22，順著推確定我們沒方法解決，那就只能倒著推了怎么來的怎么回去。這里呢我們采用方框法先把題目中的變化過程表示出來：

在上圖中，第一個(gè)方框表示原來的數(shù)，最終一個(gè)方框表示多步變化之后的新數(shù)。中間的每一個(gè)方框表示，每一步變化之后得到的中間結(jié)果。我們要求的是第一個(gè)方框里面的數(shù)，從最終一個(gè)方框一步一步往前推即可，要注意的是倒退的時(shí)候采用的是逆運(yùn)算：

〔（22-9）×5+5〕÷7=（13×5+5）÷7=70÷7=10

小結(jié)：這種數(shù)學(xué)運(yùn)算題是用還原法解題的經(jīng)典類型之一，我們采用了倒推法，即為還原法解題的精華從最終結(jié)果一步一步倒著推理，回到已知條件。每一步運(yùn)算為原來的逆運(yùn)算，變加為減，變減為加，便乘為除，變除為乘。而且，做這類題目時(shí)采用方框法，簡單明白。下面大家照著這個(gè)思路，計(jì)算鄭板橋原來有多少酒，看看計(jì)山有沒有算錯(cuò)。

練習(xí)：“我有一壺酒，提著街上走，吟詩添一倍，畫畫喝一斗。三作詩和畫，喝光壺中酒。你說我壺中，原有多少酒〞解析：同樣的我們先畫方框圖

〔（1÷2+1）÷2+1〕÷2=（1.5÷2+1）÷2=1.75÷2=0.875（斗）

所以，計(jì)山算的是正確的。

例2、一筐魚連筐重100千克，先賣出一半的魚，又賣出剩下魚的一半，這時(shí)連筐還重28千克，原來筐重多少千克？

解析：這一例與方才的例子稍有區(qū)別，雖然都是一半的關(guān)系。但是筐子的重量并沒有發(fā)生變化，只是魚的重量存在一半的關(guān)系。

從圖中，可以發(fā)現(xiàn)原來的魚最終被分成了4份，我們假設(shè)最終剩下的魚為一份，那么原來的就為4份，一共賣出去3份魚。而筐子不變，所以我們可以求出沒份魚的重量，然后再計(jì)算筐子的重量。

（100-28）÷（2×2-1）=24（千克）28-24=4（千克）

例3、貝貝的阿姨給貝貝送來一筐蘋果，貝貝將其中的一半分給弟弟，又將剩下的一半分給哥哥，最終將其次次剩下的一半留給爸爸和媽媽，自己拿了剩下的4個(gè)蘋果。問阿姨一開始送來了多少個(gè)蘋果？

解析：在這一例中都是“一半〞的關(guān)系，我們依舊可以采用方框圖法來分析

4×2×2×2=32（個(gè)）小結(jié)：一半問題是還原法解題中的一大類型，在這兩例中，關(guān)系比較簡單，大家很簡單理解。但好多時(shí)候，并不能恰好為一半，譬如說“一半多幾個(gè)〞“一半少幾個(gè)〞??對(duì)于這樣的問題，我們怎么解決呢？下面看例3

過渡：學(xué)習(xí)了“一半還多〞的類型，那么“一半要少〞該怎么解決呢？下面看例4

例4、倉庫里有一批大米。第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12噸。其次天售出的重量比剩下的一半少12噸，結(jié)果還剩下49噸。這個(gè)倉庫原有大米多少噸？

解析：已知賣出了一半少12噸，也就是剩下的要比一半多12噸，看方框圖

（49-12）×2=74（噸）（74-12）×2=124（噸）

小結(jié)：解決這一類一半問題時(shí)，要充分理解“多減少加〞的思想。下面大家看練習(xí)題5，試試看！

練習(xí)：三位同學(xué)共同買了一些鉛筆，甲分得的比總數(shù)的一半少1支，乙分得的是余下的一半多一支，丙分得8支。問一共買了多少支鉛筆？解析：這一題里面既有“一半多〞，也有“一半少〞，那么根據(jù)我們前面學(xué)的，畫方框圖

（8+1）×2=18（支）(18-1)×2=34(支)

過渡：到目前為止，我們學(xué)習(xí)的都是一個(gè)量在變化的過程，那么假使最開始有兩個(gè)量、三個(gè)量相互發(fā)生變化，我們能不能用還原法解決呢？答案是確定的，我們看例題5

例5、爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多一個(gè)，其次天吃了剩下的一半多一個(gè)，第三天又吃了剩下的一半多一個(gè)，還剩下一個(gè)。問爸爸買了多少個(gè)橘子？

解析：這一例相對(duì)于上一例來說，要繁雜一些，由于不是恰好一半了。而是“一半多一個(gè)〞，也就是剩下的為“一半少一個(gè)〞，運(yùn)算時(shí)要在一半的基礎(chǔ)上再減去一個(gè)?？捶娇驁D：

（1+1）×2=4（個(gè)）（4+1）×2=10（個(gè)）（10+1）×2=22（個(gè)）

小結(jié)：這一例屬于典型的一半問題，“一半多一個(gè)〞，計(jì)算時(shí)需要減一，即多減少加的思想。大家在做這一類題目時(shí)，一定要分析明白，否則倒推的時(shí)候就會(huì)出錯(cuò)！下面大家看練習(xí)題2，先自己試試。

練習(xí)：商場出售洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10臺(tái)，下午售出剩下的一半多20臺(tái)，還剩95臺(tái)，這個(gè)商場原來有洗衣機(jī)多少臺(tái)？解析：

（95+20）×2=230（臺(tái)）（230+10）×2=480（臺(tái)）

例6、甲、乙、丙、丁四個(gè)小朋友有彩色玻璃球共100顆，甲給乙13顆，

乙給丙18顆，丙給丁16顆，丁給甲2顆后四人的個(gè)數(shù)相等。他們原來各有玻璃球多少顆？解析：這一例就比我們方才學(xué)習(xí)的要繁雜一些，由于有四個(gè)人，他們的玻璃球數(shù)都在不停的變化。由已知我們可以求出，他們變化到最終擁有的玻璃球數(shù)：

100÷4=25顆，然后我們和前面一樣，用方框圖把每一個(gè)人的玻璃球數(shù)變化過程表示出來：

甲：

乙：

丙：

丁：

100÷4=25（顆）

甲：25-2+13=36（顆）乙：25+18-13=30（顆）丙：25+16-18=23（顆）?。?5-2-16=11（顆）

小結(jié)：在這一例中，是多個(gè)量之間發(fā)生相互變化，在把每一個(gè)量從后往前倒推的時(shí)候一定要考慮到這個(gè)量發(fā)生關(guān)系的所有變化，不能有遺漏。下面大家自己做練習(xí)題4

練習(xí)：甲乙丙三組共有圖書90本，假使乙組借給甲組3本后，又送給丙5本，結(jié)果三個(gè)組所有圖書剛好相等，甲乙丙三個(gè)組原有圖書各多少本？

解析：甲

乙

丙

90÷3=30（本）甲30-3=27（本）乙30+5+3=38（本）丙30-5=25（本）

例7、有甲乙丙三個(gè)油桶，各盛油若干千克，先將甲桐油倒入乙、丙兩桶，使他們各增加原有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使他們的油各增加一倍；最終按同樣規(guī)律將丙桶油倒入甲、乙兩桶。這時(shí)各桶油都是16千克。求甲乙丙原有油多少千克？

解析：這一例是還原法解題的經(jīng)典類型，稱為“同樣多〞問題，即變化量和原來一樣，也可以說變?yōu)樵瓉淼?倍，或者增加一倍等。對(duì)于這一類題目，我們尋常采用列表法：第3次倒后第2次倒后第1次倒后原來甲168426乙1682814丙1632168下面大家看練習(xí)題9

練習(xí)：甲乙丙三箱內(nèi)共有384個(gè)皮球，先由甲箱內(nèi)取出若干個(gè)放進(jìn)乙、丙兩箱內(nèi)，所放個(gè)數(shù)分別為乙丙當(dāng)時(shí)所有的球數(shù)；再由乙箱取出若干放進(jìn)甲丙兩箱；最終由丙箱取出若干放進(jìn)甲乙兩箱，放法都同前，結(jié)果三個(gè)箱子內(nèi)的皮球數(shù)彼此相等。問甲乙丙各箱內(nèi)開始分別有多少個(gè)球？

解析：這一題和我們的例題十分相像似，只是題目的說法變了。我們可以抓住“三箱內(nèi)球數(shù)彼此相等〞這句話一步步往前推，列表如下：384÷3=128（個(gè)）第3次變化后第2次變化后第1次變化后原來甲1286432208乙12864224112丙12825612864例8、兩只猴子拿26個(gè)桃，甲猴眼疾手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個(gè)，這時(shí)乙猴比甲猴多2個(gè)(改一下)。問甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？

解析：從最終一步開始考慮，兩只猴子拿桃的總和是沒有變的，這時(shí)乙猴比甲猴多2個(gè)，則可以得到甲猴：（26-2）÷2=12個(gè)，乙猴：12+2=14個(gè)。乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個(gè)，則此時(shí)甲猴有：12+5=17個(gè)，乙猴有14-5=9個(gè)；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半，則此時(shí)甲猴有：17-9=8個(gè)乙猴有：9×2=18個(gè)；乙看甲猴拿得太多，就搶去一半，則此時(shí)甲猴有：8×2=16個(gè)，乙猴有18-8=10個(gè)。由上可知，甲猴最初準(zhǔn)備拿16個(gè)。

三、課堂總結(jié)：這一講我們學(xué)習(xí)了還原法解應(yīng)用題，對(duì)于一個(gè)量的變化過程我們一般采用方框