晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)習(xí)題集

本文格式為Word版，下載可任意編輯——晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)習(xí)題集第三章晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)

1.什么是簡諧近似？

解：當(dāng)原子在平衡位置附近作微小振動時，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡諧振動。這個近似即稱為簡諧近似。

2.試定性給出一維單原子鏈中振動格波的相速度和群速度對波矢的關(guān)系曲線，并簡要說明其意義。

解：由一維單原子鏈的色散關(guān)系??2的相速度為

?msinqa，可求得一維單原子鏈中振動格波2qa2………………（1）qa2vp?而其群速度為vg??q?a?msind??qa?acos………………（2）dqm2由（1）式和（2）式可做出一維單原子鏈中振動格波的相速度和群速度對波矢的關(guān)系曲線如下圖3.1所示：vA2-4B-3B-2B-BB2B3B4B1q圖3.1上圖中A?a?m，B??a。曲線1代表vp??q?a?msinqa2，曲線2代表qa2vg?d??qa?acos。dqm2由（1）式及結(jié)合上圖3.1中可以看出，由于原子的不連續(xù)性，相速度不再是常數(shù)。但當(dāng)q?0時，vp?a

?m為一常數(shù)。這是由于當(dāng)波長很長時，一個波長范圍含有若干個原

1

子，相鄰原子的位相差很小，原子的不連續(xù)效應(yīng)很小，格波接近與連續(xù)媒質(zhì)中的彈性波。

由（2）式及結(jié)合上圖3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但當(dāng)q?0，

vg?vp?a2a?m，表達(dá)出彈性波的特征，當(dāng)q處于第一布區(qū)邊界上，即q??a時，vg?0，

而vp??m?，這說明波矢位于第一布里淵區(qū)邊界上的格波不能在晶體中傳播，實(shí)際上

它是一種駐波。

3.周期性邊界條件的物理含義是什么？引入這個條件后導(dǎo)致什么結(jié)果？假使晶體是無限大，q的取值將會怎樣？

解：由于實(shí)際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環(huán)境與體內(nèi)原子的不同，從而造成邊界處原子的振動狀態(tài)應(yīng)當(dāng)和內(nèi)部原子有所區(qū)別。考慮到邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設(shè)想在一長為Na的有限晶體邊界之外，依舊有無窮多個一致的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運(yùn)動狀況一樣，即第j個原子和第tN?j個原子的運(yùn)動狀況一樣，其中t＝1，2，3…。

引入這個條件后，導(dǎo)致描寫晶格振動狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的不同值。假使晶體是無限大，波矢q的取值將趨于連續(xù)。

4.什么叫聲子？對于一給定的晶體，它是否擁有一定種類和一定數(shù)目的聲子？

解：聲子就是晶格振動中的簡諧振子的能量量子，它是一種玻色子，聽從玻色－愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，即具有能量為?wj(q)的聲子平均數(shù)為

nj(q)?1e?wj(q)/(kBT)?1

對于一給定的晶體，它所對應(yīng)的聲子種類和數(shù)目不是固定不變的，而是在一定的條件下發(fā)生變化。

5.試比較格波的量子聲子與黑體輻射的量子光子；“聲子氣體〞與真實(shí)理想氣體有何一致之處和不同之處？

解：格波的量子聲子與黑體輻射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和動量，但是聲子在與其它粒子相互作用時，總能量守恒，但總動量卻不一定守恒；而光子與其它粒子相互作用時，總能量和總動量卻都是守恒的?！奥曌託怏w〞與真實(shí)理想氣體的一致之處是粒子之間都無相互作用，而不同之處是“聲子氣體〞的粒子數(shù)目不守恒，但真實(shí)理想氣體的粒子數(shù)目卻是守恒的。

6.晶格比熱容的愛因斯坦模型和德拜模型采用了什么簡化假設(shè)？各取得了什么成就？各有什么局限性？為什么德拜模型在極低溫度下能給出確切結(jié)果？

解：我們知道晶體比熱容的一般公式為

m?E??2e??/(kBT)?(?)d?cV?()V??kB()??/(kBT)2?TkT(e?1)B0?由上式可以看出，在用量子理論求晶體比熱容時，問題的關(guān)鍵在于如何求角頻率的分布函數(shù)?(?)。但是對于具體的晶體來講，?(?)的計(jì)算十分繁雜。為此，在愛因斯坦模型中，

2

假設(shè)晶體中所有的原子都以一致的頻率振動，而在德拜模型中，則以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波以求出?(?)的表達(dá)式。

愛因斯坦模型取得的最大成就在于給出了當(dāng)溫度趨近于零時，比熱容cV亦趨近于零的結(jié)果，這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果。其局限性在于模型給出的是比熱容cV以指數(shù)形式趨近于零，快于試驗(yàn)給出的以T3趨近于零的結(jié)果。德拜模型取得的最大成就在于它給出了在極低溫度下，比熱和溫度T3成比例，與試驗(yàn)結(jié)果相吻合。其局限性在于模型給出的德拜溫度?D應(yīng)視為恒定值，適用于全部溫度區(qū)間，但實(shí)際上在不同溫度下，德拜溫度?D是不同的。

在極低溫度下，并不是所有的格波都能被激發(fā)，而只有長聲學(xué)波被激發(fā)，對比熱容產(chǎn)生影響。而對于長聲學(xué)波，晶格可以視為連續(xù)介質(zhì)，長聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)，因而德拜的模型的假設(shè)基本符合事實(shí)，所以能得出確切結(jié)果。

7.聲子碰撞時的準(zhǔn)動量守恒為什么不同于普通粒子碰撞時的動量守恒？U過程物理圖像是什么？它違背了普遍的動量守恒定律嗎？

解：聲子碰撞時，其前后的總動量不一定守恒，而是滿足以下的關(guān)系式

?q1??q2??q3??Gn

其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。

對于Gn?0的狀況，即有?q1??q2??q3，在碰撞過程中聲子的動量沒有發(fā)生變化，這種狀況稱為正規(guī)過程，或N過程，N過程只是改變了動量的分布，而不影響熱流的方向，它對熱阻是沒有貢獻(xiàn)的。對于Gn?0的狀況，稱為翻轉(zhuǎn)過程或U過程，其物理圖像可由下圖3.2來描述：q2q1q1+q2q1+q2+Gn圖3.2U過程物理示意圖3

在上圖3.2中，q1?q2是向“右〞的，碰撞后q3是向“左〞的，從而破壞了熱流的方向，所以U過程對熱阻是有貢獻(xiàn)的。U過程沒有違背普遍的動量守恒定律，由于聲子不是實(shí)物量子，所以其滿足的是準(zhǔn)動量守恒關(guān)系。

8.簡要說明簡諧近似下晶體不會發(fā)生熱膨脹的物理原因；勢能的非簡諧項(xiàng)起了哪些作用？

解：由于在簡諧近似下，原子間相互作用能在平衡位置附近是對稱的，隨著溫度升高，原子的總能量增高，但原子間的距離的平均值不會增大，因此，簡諧近似不能解釋熱膨脹現(xiàn)象。

勢能的非簡諧項(xiàng)在晶體的熱傳導(dǎo)和熱膨脹中起了至關(guān)重要的作用。9.已知由N個一致原子組成的一維單原子晶格格波的態(tài)密度可表示為

?(?)?2N?2(?m??2)?12。

式中?m是格波的最高頻率。求證它的振動?？倲?shù)恰好等于N。

解：由題意可知該晶格的振動?？倲?shù)為

?m?m12N???(?)d???0022N(?m??2)???md?

?arcsin???m2N?02N?(?0)?N?22210.若格波的色散關(guān)系為??cq和???0?cq，試導(dǎo)出它們的狀態(tài)密度表達(dá)式。

解：根據(jù)狀態(tài)密度的定義式可知

?n……（1）

???0??其中?n表示在??????間隔內(nèi)晶格振動模式的數(shù)目。

?(?)?lim假使在q空間中，根據(jù)?(q)?const作出等頻率面，那么在等頻率面?和????之間的振動模式的數(shù)目就是?n。由于晶格振動模在q空間分布是均勻的，密度為V/(2?)（V為晶體體積），因此有

?n?3V?（頻率為?和?＋??的等頻率面間的體積）3(2?)????V?(2?)3dSdq……（2）??將（2）式代入（1）式可得到狀態(tài)密度的一般表達(dá)式為

?(?)?V(2?)3?dS……（3）

?q?(q)（3）式中?q?(q)表示沿法線方向頻率的改變率。

4

當(dāng)??cq時，將之代入（3）式可得

2?(?)?V1V1V11/22?dS??4?q???3323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c2當(dāng)???0?cq，將之代入（3）式可得

?(?)?V1V1V121/2?dS??4?q??(???)03323/2?(2?)?q?(q)(2?)2cq(2?)c11.試求質(zhì)量為m，原子間距為a/2，力常數(shù)交織為?1，?2的一維原子鏈振動的色散關(guān)系。當(dāng)?2?10?1時，求在q?0和q??a處的?(q)，并粗略畫卓越散關(guān)系。

解：下圖3.3給出了該一維原子鏈的示意圖m?2β1?2β1?2

a2x2n-2x2n+1x2nx2n+1x2n+2x2n+3圖3.3

在最近鄰近似和簡諧近似下，第2n和第（2n+1）個原子的運(yùn)動方程為

?d2x2nm??2(x2n?1?x2n)??1(x2n?x2n?1)??dt2?……………（1）2dx2n?1?m??1(x2n?2?x2n?1)??2(x2n?1?x2n)2?dt?當(dāng)?2?10?1時，上述方程組（1）可變?yōu)?/p>

?d2x2nm?10?1(x2n?1?x2n)??1(x2n?x2n?1)??dt2?……………（2）2dx2n?1?m??1(x2n?2?x2n?1)?10?1(x2n?1?x2n)2?dt?為求格波解，令

qai[(2n)??t]?2?x2n?Ae?……………（3）qai[(2n?1)??t]2?x?2n?1?Be將（3）式代入（2）式，可導(dǎo)出線性方程組為

?1?11?12iqa/2?iqa/2(??)A?(10e?e)B?0?mm?……………（4）?1iqa/211?1??(e?10e?iqa/2)A?(??2)B?0m?m

5

令

?1m2，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得??02224iqa/2?e?iqa/2)(eiqa/2?10e?iqa/2)?0……（5）(11?0??)??0(10e

2由（5）式可解出?2??0(11?20cosqa?101)

當(dāng)q?0時，cosqa?1，???當(dāng)q?22?0，???020?0，???2?0

ω?a時，cosqa??1，???其色散關(guān)系曲線如下圖3.4所示：22?0??20?02?0??πaOπaq圖3.4原子間的力常數(shù)不相等的雙原子鏈的晶格振動色散關(guān)系曲線12.如有一維布喇菲格子，第2n個原子與第2n?1個原子之間的力常數(shù)為?；而第2n個原子與第2n?1個原子的力常數(shù)為?'。（1）寫出這個格子振動的動力學(xué)方程；（2）說明這種狀況也有聲學(xué)波和光學(xué)波；（3）求q?0時，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率；（4）求q???2a（a為晶格常數(shù)）時，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率。

解：（1）此題與（11）題基本相像，在最近鄰近似和簡諧近似下，同樣可以寫出第2n和第2n?1個原子的動力學(xué)方程為

6

?d2x2nm??(x2n?1?x2n)??'(x2n?x2n?1)??dt2……………（1）?2dx2n?1?m??'(x2n?2?x2n?1)??(x2n?1?x2n)2?dt?（2）為求出方程組（1）的格波解，可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?……………（2）i[(2n?1)qa??t]x?Be?2n?1于是將（2）式代入（1）式，可導(dǎo)出線性方程組為

?iqa?'?iqa????'2(??)A?(e?e)B?0?mmm?……………（3）?'iqa??iqa???'2??(e?e)A?(??)B?0mm?m???'??'222令，??1，??2從A、B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可??0mmm得

2224422(?0??)?(?1??2?2?1?2cos2qa)?0……………（4）

由（4）式可解出

242（5）?2??0??14??2?2?12?2cos2qa……………

由此可知，?的取值也有??和??之分，即存在聲學(xué)波和光學(xué)波（3）由（5）式可知

當(dāng)q?0時，cos2qa?1，有聲學(xué)波頻率???2222?0?(?12??2)，光學(xué)波頻率????0?(?12??2)

（4）同樣由（5）式可知當(dāng)q???2a時，cos2qa??1，有

222222聲學(xué)波頻率????0??1??2，光學(xué)波頻率????0??1??213.在一維雙原子鏈中，如M/m??1，

（1）求證：

?1?2?sinqa；M2?m(1?cos2qa)2。mM1?2?（2）畫出?與q的關(guān)系圖（設(shè)M/m?10）。

7

解：（1）在一維雙原子鏈中，其第2n個原子與第2n?1個原子的運(yùn)動方程為

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?…2dx2n?1?M??(x2n?x2n?2?2x2n?1)2?dt?（1）

為解方程組（1）可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?…（2）i[(2n?1)qa??t]?x2n?1?Be將（2）式代入（1）式可得出

2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?…（3）2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M?M從A、B有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得

可解出得

??(2?4?2(?M??m)?2?4??Mm?sin2qa?0

?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa……………（4）

當(dāng)（4）式中取“－〞號時，有?1?2?(M?m)?mM1?4Mm22sinqa)?……………（5）?1?(1?2(M?m)??∵M(jìn)/m??1，∴（5）式中有

?(M?m)Mm??MMm??m，

4Mm4Mm4m222sinqa?sinqa?sinqa??1

M(M?m)2M2那么（5）式可簡化為

1???4m214m2?2????1?(1?sinqa)2???1?(1??sinqa)??sin2qa

m?M2M?M?m?21??∴?1?2?sinqaM12當(dāng)（4）式中取“＋〞號時，有

2?2??(M?m)Mm??(M?m)?Mm?4Mm2（6）1?cosqa??……………2(M?m)??8

∵M(jìn)/m??1，∴（6）式中有

?(M?m)Mm??MMm??m，

?(M?m)Mm??MMm??m

4Mm4Mm4m22cosqa?cosqa?cos2qa??122M(M?m)M那么（6）式可簡化為

4m??14m2?m222?(1?cosqa)2??(1??cosqa)?(1?cosqa)??mmMmm2MmM22??1∴?2?2?m(1?cos2qa)2mM1（2）當(dāng)M/m?10時，則（4）式可化為11?121?22?22????sinqa2210m100m5m2此時，?與q的關(guān)系圖，即色散關(guān)系圖如下圖3.5所示：ω11?/5m2?/m?/5m?/5m??a??2aO?2a?aq圖3.5一維雙原子鏈振動的色散關(guān)系曲線14.在一維復(fù)式格子中，假使m?5?1.67?10?24g，M/m?4，??1.5N/m。求：(1)光學(xué)波頻率的最大值、最小值及聲學(xué)波頻率的最大值；(2)相應(yīng)的聲子能量是多少eV?

(3)這3種聲子在300K時各有多少個？

(4)假使用電磁波激發(fā)光頻振動，要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長在什么波段？

解：(1)由于光學(xué)波頻率的最大值和最小值的計(jì)算公式分別為：

??max?2??

9

mMm5?1.67?10?24???6.68?10?24g為約化質(zhì)量上式中??m?Mm/M?11/4?1??min?所以有：

2?m??max?2?1.5?2.12?1013Hz?24?36.68?10?102?1.513?1.90?10Hz?24?35?1.67?10?10??min?而聲學(xué)波頻率的最大值的計(jì)算公式為：

??max?2??M2?

M?mm所以有：

??max?(2)相應(yīng)的聲子能量為：

2?1.512?9.50?10Hz?24?34?5?1.67?10?10??max????max6.625?10?34??2.12?1013?2.236?10?21J?1.40?10?2eV

2?3.146.625?10?34??1.90?1013?2.004?10?21J?1.25?10?2eV

2?3.146.625?10?34??9.50?1012?1.002?10?21J?0.625?10?2eV

2?3.14??min????min??max????max(3)由于聲子屬于玻色子，聽從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，則有

n?max?1e???max/(kBT)?1?1e2.236?10?21/(1.38?10?23?300)?1?1.40?1

n?min?1e???min/(kBT)?11e???max/(kBT)?1e2.004?10?21/(1.38?10?23?300)?1?1.61?2

n?max??1?1e1.002?10?21/(1.38?10?23?300)?1?3.65?4

(4)如用電磁波來激發(fā)光頻振動，則要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長應(yīng)滿足如下關(guān)系式：

10

??2?c??max2?3.14?2.998?108?5??8.88?10m132.12?1015.在一維雙原子晶格振動的狀況下，證明在布里淵區(qū)邊界q???2a處，聲學(xué)支格波中所有

輕原子m靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫出這時原子振動的圖像。

解：設(shè)第2n個原子為輕原子，其質(zhì)量為m，第2n?1個原子為重原子，其質(zhì)量為M，則它們的運(yùn)動方程為

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2?…（1）2dx2n?1?M??(x2n?x2n?2?2x2n?1)2?dt?為解方程組（1）可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t]?…（2）i[(2n?1)qa??t]?x2n?1?Be將（2）式代入（1）式可得出

2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm?…（3）2?2?2??(cosqa)A?(??)B?0M?M從A、B有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得

可解出得

???(2?4?2(?M??m)?2?4??Mm?sin2qa?0

?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa……………（4）

2?m令q???2a，則可求得聲學(xué)支格波頻率為???2?，光學(xué)支格波頻率為???M由方程組（3）可知，在聲學(xué)支中，輕原子m與重原子M的振幅之比為

A2?cosqa/m??0B2?/m?2?/M由此可知，聲學(xué)支格波中所有輕原子m靜止。

而在光學(xué)支中，重原子M與輕原子m的振幅之比為

B2?cosqa/M??0A2?/M?2?/m由此可知，光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。此時原子振動的圖像如下圖3.6所示：

11

(a)輕原子重原子(b)圖3.6（a）聲學(xué)支格波原子振動圖；（b）光學(xué)支格波原子振動圖16.從一維雙原子晶格色散關(guān)系出發(fā)，當(dāng)m逐漸接近M和m?M時，在第一布里淵區(qū)中，晶格振動的色散關(guān)系如何變化？試與一維單原子鏈的色散關(guān)系比較，并對結(jié)果進(jìn)行探討。解：一維雙原子晶格的色散關(guān)系為2???(?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa由此可做出如下圖3.7的一維雙原子鏈振動的色散關(guān)系曲線圖ω??????a??2aO?2a?aq圖3.7一維雙原子鏈振動的色散關(guān)系曲線由上圖可以看出，當(dāng)m逐漸接近M時，在第一布里淵區(qū)邊界，即q???2a處，聲學(xué)波的頻率開始增大，而光學(xué)波的頻率則開始減小，而當(dāng)m?M時，則聲學(xué)波的頻率和光學(xué)波的頻率在q???2a處相等，都等于

2?。M2而在一維單原子鏈中，其色散關(guān)系為??4?qasin2，由此可見，在一維單原子鏈M2中只存在一支格波，其色散關(guān)系曲線與一維雙原子鏈中的聲學(xué)波的色散關(guān)系曲線基本相像，在其布里淵區(qū)邊界，即q??邊界的頻率值的2倍。

?a處，其格波頻率為??2?M，是雙原子鏈的格波在布里淵

12

17.設(shè)晶體由N個原子組成，試用德拜模型證明格波的狀態(tài)密度為

?(?)?式中?m為格波的截止頻率。

9N?3m?2。

解：在德拜模型中，假設(shè)晶體的振動格波是連續(xù)介質(zhì)的彈性波，即有色散關(guān)系

??vpq……（1）

那么格波的狀態(tài)密度為

?(?)?V1??4?q23(2?)d?dqV?2??3……（2）22?vp?m又根據(jù)將（2）式代入（3）式得

??(?)d??3N……（3）

0V?2?（4）?3d??3N……2vp02?3V?m由（4）式可得v?……（5）218?N3p?m把（5）式代入（2）式即可得?(?)?9N?3m?2

1??，試用德拜模型求一維、二維和三維晶體的總零2點(diǎn)振動能。設(shè)原子總數(shù)為N，一維晶格長度為L，二維晶格的面積為S，三維晶格的體積為V。

18.設(shè)晶體中每個振子的零點(diǎn)振動能是解：(1)一維晶體的總零點(diǎn)振動能為：

N1E0??(n(qj)?)??(qj)??n(qj)???(qj)

2qjqjN??(e?j?1?N1j/(kBT)N??j1?)??j????j/(kBT)2?1?1j?1e設(shè)?(?)d?表示角頻率在????d?之間的格波數(shù)，而且

13

??m0?(?)d??N………(1)

上式中：?m是最大的角頻率；N為晶體中的原子數(shù)。則上述的總零點(diǎn)能可以寫成：

E0??(0?m1e??/((kBT)?m1?????(?)d?………(2)02dZdZdq??………(3)d?dqd??m1???)???(?)d????(?)d???/(kBT)02?1e?1考慮到一維晶體中，其狀態(tài)密度為：

?(?)?由于德拜模型考慮的是長聲學(xué)波的影響，而長聲學(xué)波可以看成連續(xù)媒質(zhì)彈性波。對于

彈性波，一個波矢對應(yīng)一個狀態(tài)，則有：Z?2q/?q?2L?

2?/Lx?故

dZL?………(4)dq?對于彈性波，??vPq，則

d??vP………(5)dq將(4)和(5)式代入(2)式，得：?(?)?L……