上海市控江高中2021-2022高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷+答案

控江中學(xué)2021年度第二學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號(hào).2.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題滿分54分，共有12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1.若扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為______.2.函數(shù)的最小正周期為________3.已知且，則________.4.已知，則________.5.函數(shù)的奇偶性為________函數(shù).（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）6.已知，，則________.7.在△中，、、分別為、、的對(duì)邊.已知，，，則△外接圓的半徑是________.8若，，則_________9.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的一個(gè)可能的值為________.10.已知是邊長(zhǎng)為1正六邊形的邊上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是________.11.函數(shù)y＝sin2x＋2cosx在區(qū)間[－，a]上的值域?yàn)閇－，2]，則a的取值范圍是__.12.若是正整數(shù)，且，則滿足方程的有________個(gè).二、選擇題（本大題滿分20分，共有4題，每題5分）13.將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到的圖象的函數(shù)解析式是A. B.C. D.14.函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)（）A. B. C. D.15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足++=，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為()A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.PAB邊所在直線上D.P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)16.已知，有以下兩個(gè)結(jié)論：①存在在第一象限，在第二象限；②存在在第一象限，在第四象限；則（）A.①②均正確 B.①②均錯(cuò)誤 C.①錯(cuò)②對(duì) D.①對(duì)②錯(cuò)三、解答題（本大題滿分76分，共有5題）17.已知.（1）求的值；（2）求的值.18.已知兩個(gè)平面向量與的夾角為，且記.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求與的夾角.19.如圖，某城市有一矩形街心廣場(chǎng)，如圖.其中百米，百米.現(xiàn)將在其內(nèi)部挖掘一個(gè)三角形水池種植荷花，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，要求.（1）若百米，判斷是否符合要求，并說明理由；（2）設(shè)，寫出面積的關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值.20.已知函數(shù)，是周期為周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求值；（2）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（3）設(shè)，求方程的解集.21.對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“同比不減函數(shù)”？并說明理由；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

控江中學(xué)2021年度第二學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號(hào).2.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題滿分54分，共有12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1.若扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為______.答案：解：由題意,扇形的面積為.故答案為:.2.函數(shù)的最小正周期為________答案：解：試題分析：因?yàn)?，所以其最小正周期是考點(diǎn)：三角函數(shù)周期3.已知且，則________.答案：解：由于且，所以是第四象限角，所以，.故答案為：4已知，則________.答案：解：將兩邊同時(shí)平方得，即，故答案為：.5.函數(shù)的奇偶性為________函數(shù).（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）答案：偶函數(shù)解：由已知條件得，且函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，故函數(shù)為偶函數(shù)；故答案為：偶函數(shù).6.已知，，則________.答案：解：.故答案為：7.在△中，、、分別為、、的對(duì)邊.已知，，，則△外接圓的半徑是________.答案：解：由余弦定理得，即，由正弦定理得，則，故答案為：.8.若，，則_________答案：解：試題分析：由可知，所以，則，由變形得：．考點(diǎn)：三角恒等變換．9.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的一個(gè)可能的值為________.答案：（答案不唯一）解：依題意，，故可取.故答案為：（答案不唯一）10.已知是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的邊上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是________.答案：解：如圖，正六邊形，，，，，，點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC(不含點(diǎn)B)上時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD(不含點(diǎn)C)上時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)P在線段DE(不含點(diǎn)D)上時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF(不含點(diǎn)E)上時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)P在線段AF(不含點(diǎn)A)上時(shí)，，，所以的取值范圍是.故答案為：11.函數(shù)y＝sin2x＋2cosx在區(qū)間[－，a]上的值域?yàn)閇－，2]，則a的取值范圍是__.答案：[0，]解：解：由已知得y＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx﹣1）2+2，令t＝cosx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，顯然當(dāng)t＝cos（）時(shí)，y，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝2，又由x∈[，a]可知cosx∈[，1]，可使函數(shù)的值域?yàn)閇，2]，所以有a≥0，且a，從而可得a的取值范圍是：0≤a．故答案為[0，]．12.若是正整數(shù)，且，則滿足方程的有________個(gè).答案：解：當(dāng)時(shí)，方程顯然成立.當(dāng)時(shí)，由三角函數(shù)的單調(diào)性和值域可知，當(dāng)時(shí)，，即不符合題意，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小正周期，所以方程兩邊均為時(shí)成立，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可知：，共10個(gè)綜上所述，的可能取值有個(gè).故答案為：二、選擇題（本大題滿分20分，共有4題，每題5分）13.將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到的圖象的函數(shù)解析式是A. B.C. D.答案：A解：試題分析：將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)，再把所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得．故選A．考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象變換．14.函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)（）A. B. C. D.答案：B解：，，所以函數(shù)在上遞增，令，得.故選：B15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足++=，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為()A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在AB邊所在直線上D.P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)答案：D解：因?yàn)?+=，所以++=-，所以=-2=2，所以P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn).選D.16.已知，有以下兩個(gè)結(jié)論：①存在在第一象限，在第二象限；②存在在第一象限，在第四象限；則（）A.①②均正確 B.①②均錯(cuò)誤 C.①錯(cuò)②對(duì) D.①對(duì)②錯(cuò)答案：C解：①，第一象限，在第二象限，，所以，①錯(cuò)誤.②，當(dāng)時(shí)，成立，②正確.故選：C三、解答題（本大題滿分76分，共有5題）17.已知.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）-3；（2）解：（1）；（2）18.已知兩個(gè)平面向量與的夾角為，且記.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求與的夾角.答案：（1）；（2）；解：（1）由得，即：，解得：，所以當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以，所以與的夾角為19.如圖，某城市有一矩形街心廣場(chǎng)，如圖.其中百米，百米.現(xiàn)將在其內(nèi)部挖掘一個(gè)三角形水池種植荷花，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，要求.（1）若百米，判斷是否符合要求，并說明理由；（2）設(shè)，寫出面積的關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值.答案：（1）不符合要求，理由詳見解析；（2），最小值為.解：解：（1）由題意，，，所以所以，不符合要求（2），，所以，，所以，的最小值為.20.已知函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（3）設(shè)，求方程的解集.答案：（1）（2）（3）或（1）.（2），當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，，所以.（3）依題意，①當(dāng)時(shí)，，由,.②當(dāng)時(shí)，，由，，所以是周期為的周期函數(shù)，所以方程解集為或.21.對(duì)于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“同比不減函數(shù)”？并說明理由；（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.答案：（1）不是，理由見解析（2）