控制工程基礎

本文格式為Word版，下載可任意編輯——控制工程基礎第三章系統(tǒng)數(shù)學模型建立

第一節(jié)數(shù)學模型

一、數(shù)學模型的概念

用來描述系統(tǒng)動態(tài)特性的一組數(shù)學表達式形式包括微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性二、數(shù)學模型的建立方法

1、微分方程是基本的數(shù)學模型，第一步即建立系統(tǒng)的微分方程。

2、對于實際的系統(tǒng)，或多或少含有非線性因素，假使非線性因素對系統(tǒng)輸出影響很小，可忽略不計，這樣，可簡化系統(tǒng)的微分方程，以利于對系統(tǒng)的求解、分析。但是，若非線性因素對系統(tǒng)的輸出有一定影響，忽略非線性因素的結果，造成對系統(tǒng)的分析結果不能反映系統(tǒng)的實際狀況，這樣分析就變得無意義，這種狀況下，條件容許可采用線性性化的方法，或計算機輔助分析和用非線性理論來分析。

其次節(jié)系統(tǒng)微分方程的建立

一步驟

1、分析系統(tǒng)的組成，系統(tǒng)及環(huán)節(jié)的輸入、輸出。2、建立每個環(huán)節(jié)輸入、輸出的函數(shù)關系。3、對非線性方程線性化。

4、消除中間變量，建立只含有系統(tǒng)輸入、輸出及系統(tǒng)結構性能參數(shù)的微分方程。微分方程的一般表達式寫作

any(t)?an?1y(m)二、機械系統(tǒng)

(n)(n?1)(t)???a1y?(t)?a0y(t)(t)???b1x?(t)?b0x(t)

?bmx(t)?bm?1x(m?1)1、典型元件：

質(zhì)量元件阻尼元件彈性元件xicmx0x(t)d(xi?x0)2cdx(t)mdt2dt

?iJcθkx(t)kx(t)?(t)k??J??0????)c(?i0k?

2、機械平移系統(tǒng)

例1：系統(tǒng)如圖示，建立系統(tǒng)的微分方程。解：

?F??0F1?F2?F3?F4?0f(t)?md2x(t)dt2?cdx(t)dt?kx(t)?0d2mx(t)dt2?cdx(t)dt?kx(t)?f(t)

例2：系統(tǒng)如圖示，建立系統(tǒng)的微分方程。

解：設中間變量為x(t)，其力平衡方程為

??k1(xi?x0)?c(dx0?dx)?dt??c(dx0dxdtdt?dt)?k2x

3、機械回轉系統(tǒng)例3：

解：由圖示系統(tǒng)，可得系統(tǒng)微分方程為

kf(t)F1mcx(t)F1F2F3xik1cx0k2xkJcθT2Jd?d?dt2?cdt?k??T

三、電氣系統(tǒng)1、常用元件

電阻電容電感

Rc

uu

u=iR1u?c?idt

2舉例

例1，建立R-C電路的微分方程。解：R-C電路如圖，設電路電流為i

ui?iR?u0u?1du00c?idt?i?cdt代入得:Rcdu0

dt?u0?ui

例2：建立R-L-C電路的微分方程。解：R-L-C電路如圖，設電路電流為i

Luu?LdidtRuicu0RLuicu0diui?iR?L?u0dtdu01u0??idt?i?ccdt2du0du0代入得:Lc2?Rc?u0?uidtdt

例3：建立圖示有源網(wǎng)絡的微分方程。解：

圖2-3所示為電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)(v)為輸入量，電動機轉速ωm(t)(rad/s)為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動機軸上的總負載轉距。激磁磁通為常值。

＋-La＋UaiaifRaWmEaSM負載Jm,fm-圖2-3電樞控制直流電動機原理圖解：電樞控制直流電動機的工作實質(zhì)是將輸入的電能轉換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。?電樞回路電壓平衡方程?電磁轉距方程?電動機軸上的轉距平衡方程電樞回路電壓平衡方程：

dia(t)Ua(t)?La?Raia(t)?EadtEa是電樞反電勢，它是當電樞旋轉時產(chǎn)生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即

Ea=Ceωm(t)

Ce－反電勢系數(shù)(v/rad/s)電磁轉距方程：

電動機軸上的轉距平衡方程：

Mm(t)?Cmia(t)消去中間變量得

d?m(t)Jm?fm?m(t)?Mm(t)?Mc(t)d2?mdt(t)d?m(t)LaJm?(Lafm?RaJm)?(Rafm?CmCe)?m(t)2dtdtdMc(t)?CmUa(t)?La?RaMc(t)dt

第三節(jié)非線性微分方程的線性化

一、線性化的概念

1、線性與非線性略去高于一次導數(shù)項二、舉例

例：建立圖示水箱水位系統(tǒng)的微分方程。輸入Qi，輸出h

QihsQ0解：

(Qi?Q0)dt?sdhdhs?Q0?QidtQ0??hdhs??dt將線性化

h?Qih?h0?12h0?h

代入原方程，把變量表示為額定點與增量和的形式。

d(h0??h)1s??(h0??h)?Qi0??Qidt2h0d?h?s??h0??h?Qi0??Qidt2h0由靜態(tài)方程?h0?Qi0d?h?dh??s??h??Qi或寫為s?h?Qidtdt2h02h0

解：

(Qi?Q0)dt?sdhdhs?Q0?QidtQ0??hdhs??dt將線性化

h?Qih?h0?12h0?