第8相關(guān)與回歸分析

例1:中國婦女生育水平的決定因素是什么?婦女生育水平除了受計劃生育政策影響以外，還可能與社會、經(jīng)濟、文化等多種因素有關(guān)。1.影響中國婦女生育率變動的因素有哪些？2.各種因素對生育率的作用方向和作用程度如何？3.哪些因素是影響婦女生育率的主要決定性因素？4.如何評價計劃生育政策在生育水平變動中的作用？5.計劃生育政策與經(jīng)濟因素比較,什么是影響生育率的決定因素？6.如果某些地區(qū)的計劃生育政策及社會、經(jīng)濟、文化等因素發(fā)生重大變化，預(yù)期對這些地區(qū)的婦女生育水平會產(chǎn)生怎樣的影響？現(xiàn)在是1頁\一共有69頁\編輯于星期四

據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計，全球肥胖癥患者達3億人，其中兒童占2200萬人，11億人體重過重。肥胖癥和體重超常早已不是發(fā)達國家的專利，已遍及五大洲。目前全球因”吃”致病乃至死亡的人數(shù)已高于因饑餓死亡的人數(shù)

（引自《光明日報》劉軍/文）問題:

肥胖癥和體重超常與死亡人數(shù)真有顯著的數(shù)量關(guān)系嗎?

這些類型的問題可以運用相關(guān)分析與回歸分析的方法去解決。實例2:全球吃死的人比餓死的人多?現(xiàn)在是2頁\一共有69頁\編輯于星期四8.1相關(guān)與回歸的基本概念一、變量間的相互關(guān)系二、相關(guān)關(guān)系的類型三、相關(guān)分析與回歸分析現(xiàn)在是3頁\一共有69頁\編輯于星期四

一、變量間的相互關(guān)系確定性的函數(shù)關(guān)系Y=f(X)不確定性的統(tǒng)計關(guān)系—相關(guān)關(guān)系

Y=f(X)+ε=f(X,ε

)(ε為隨機變量)

可支配收入與消費 支出沒有關(guān)系變量間的關(guān)系可用坐標圖(散點圖)描述現(xiàn)在是4頁\一共有69頁\編輯于星期四相關(guān)關(guān)系的類型

從涉及的變量數(shù)量看

簡單相關(guān)、多重相關(guān)（復(fù)相關(guān)）

從變量相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式看

線性相關(guān)(左圖)、非線性相關(guān)(右圖)現(xiàn)在是5頁\一共有69頁\編輯于星期四從變量相關(guān)關(guān)系變化的方向看正相關(guān)——變量同方向變化A

同增同減(A)

負相關(guān)——變量反方向變化一增一減(B)B從變量相關(guān)的程度看

完全相關(guān)(B)

不完全相關(guān)(A)C

不相關(guān)(C)相關(guān)關(guān)系的類型現(xiàn)在是6頁\一共有69頁\編輯于星期四相關(guān)分析與回歸分析回歸的古典意義：

高爾頓遺傳學(xué)的回歸概念

父母身高與子女身高的關(guān)系:

無論高個子或低個子的子女都有向人的平均身高回歸的趨勢現(xiàn)在是7頁\一共有69頁\編輯于星期四

回歸的現(xiàn)代意義一個因變量對若干解釋變量依存關(guān)系的研究回歸的目的（實質(zhì)）：

由固定的自變量去估計因變量的平均值自變量取固定值樣本總體估計因變量的平均值現(xiàn)在是8頁\一共有69頁\編輯于星期四

相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系共同的研究對象：都是從數(shù)據(jù)出發(fā)定量地研究變量間的相互聯(lián)系，不能揭示本質(zhì)聯(lián)系相關(guān)分析用一個指標----相關(guān)系數(shù)表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的性質(zhì)和密切程度相關(guān)分析只表明變量間相關(guān)關(guān)系的性質(zhì)和程度;要確定變量間相關(guān)的具體數(shù)學(xué)形式依賴于回歸分析，即相關(guān)分析中相關(guān)系數(shù)的確定建立在回歸分析的基礎(chǔ)上回歸分析研究一個變量對另一個或多個變量依存關(guān)系,尋求變量間聯(lián)系的具體數(shù)學(xué)形式,并依此和自變量的固定值去估計和預(yù)測因變量的值現(xiàn)在是9頁\一共有69頁\編輯于星期四

相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系只有當變量間存在相關(guān)關(guān)系時，用回歸分析去尋求相關(guān)的具體數(shù)學(xué)形式才有實際意義。相關(guān)分析中變量是對稱的隨機變量，不存在因果關(guān)系；回歸分析中區(qū)分因變量和自變量，變量間具有因果關(guān)系。通常假定自變量是在重復(fù)抽樣中取固定值的非隨機變量，因變量是具有一定概率分布的隨機變量。進行相關(guān)（回歸）分析時，要定性、定量相結(jié)合。因為僅憑數(shù)據(jù)，可能會是一種偽相關(guān)（偽回歸）?，F(xiàn)在是10頁\一共有69頁\編輯于星期四8.2簡單線性相關(guān)與回歸分析一、簡單線性相關(guān)系數(shù)及檢驗二、總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)三、回歸系數(shù)的估計四、簡單線性回歸模型的檢驗五、簡單線性回歸模型預(yù)測現(xiàn)在是11頁\一共有69頁\編輯于星期四一、簡單線性相關(guān)系數(shù)及檢驗總體相關(guān)系數(shù)

對于所研究的總體，表示兩個相互聯(lián)系的變量相關(guān)程度的總體相關(guān)系數(shù)為：

總體相關(guān)系數(shù)反映兩個變量X和Y的線性相關(guān)程度。特點：對于特定的總體來說，X和Y的數(shù)值是既定的,

總體相關(guān)系數(shù)是客觀存在的特定數(shù)值?，F(xiàn)在是12頁\一共有69頁\編輯于星期四樣本相關(guān)系數(shù)通過X和Y

的樣本觀測值去估計樣本相關(guān)系數(shù)變量X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)通常用表示簡單線性相關(guān)系數(shù)及檢驗(續(xù))現(xiàn)在是13頁\一共有69頁\編輯于星期四特點：樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)從總體中抽取的隨機樣本的觀測值計算出來的，是對總體相關(guān)系數(shù)的一致估計，它是個隨機變量。

相關(guān)系數(shù)的Excel計算：工具--數(shù)據(jù)分析--相關(guān)系數(shù)

--輸入?yún)^(qū)域：數(shù)據(jù)范圍

--分組方式：逐列（逐行）

--輸出區(qū)域：相關(guān)系數(shù)的輸出位置簡單線性相關(guān)系數(shù)及檢驗(續(xù))現(xiàn)在是14頁\一共有69頁\編輯于星期四

相關(guān)系數(shù)的特點：

相關(guān)系數(shù)的取值在-1與1之間。當r=0時，表明X與Y沒有線性相關(guān)關(guān)系。當時，表明X與Y存在一定的線性相關(guān)關(guān)系:

若表明X與Y為正相關(guān);

若表明X與Y為負相關(guān)。當時，表明X與Y完全線性相關(guān):

若r=1，稱X與Y完全正相關(guān)；若r=-1，稱X與Y完全負相關(guān)。現(xiàn)在是15頁\一共有69頁\編輯于星期四使用相關(guān)系數(shù)的注意事項：X和Y

都是相互對稱的隨機變量，所以相關(guān)系數(shù)只反映變量間的線性相關(guān)程度，不能說明非線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)不能確定變量的因果關(guān)系，也不能說明相關(guān)關(guān)系具體接近于哪條直線。現(xiàn)在是16頁\一共有69頁\編輯于星期四

相關(guān)系數(shù)的檢驗

為什么要檢驗？

樣本相關(guān)系數(shù)是隨抽樣而變動的隨機變量,只是對總體相關(guān)系數(shù)的估計，其統(tǒng)計顯著性還有待檢驗。檢驗的依據(jù)（最常用的檢驗）：

若X和Y都服從正態(tài)分布，在總體相關(guān)系數(shù)的假設(shè)下，與樣本相關(guān)系數(shù)r

有關(guān)的t統(tǒng)計量服從自由度為n–2的t分布：現(xiàn)在是17頁\一共有69頁\編輯于星期四

相關(guān)系數(shù)的檢驗方法給定顯著性水平，查自由度為n-2的臨界值若，表明相關(guān)系數(shù)r

在統(tǒng)計上是顯著的，應(yīng)否定而接受的假設(shè)；反之，若，不能拒絕的假設(shè)。另一類種檢驗：總體相關(guān)系數(shù)是否等于某一不等于0的特定常數(shù)值。現(xiàn)在是18頁\一共有69頁\編輯于星期四

二、總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)

若干基本概念Y的條件分布:Y在X取某固定值條件下的分布。對于X的每一個取值，都有Y的條件期望與之對應(yīng),在坐標圖上Y的條件期望的點隨X而變化的軌跡所形成的直線或曲線，稱為回歸線。如果把Y的條件期望表示為X的某種函數(shù):,這個函數(shù)稱為回歸函數(shù)。如果其函數(shù)形式是只有一個自變量的線性函數(shù),如,稱為簡單線性回歸函數(shù)?，F(xiàn)在是19頁\一共有69頁\編輯于星期四

總體回歸函數(shù)（PRF）

概念：將總體因變量Y的條件均值表現(xiàn)為自變量X的某種函數(shù)，這個函數(shù)稱為總體回歸函數(shù).表現(xiàn)形式：（1）條件均值表現(xiàn)形式（2）個別值表現(xiàn)形式（隨機設(shè)定形式）現(xiàn)在是20頁\一共有69頁\編輯于星期四

樣本回歸函數(shù)（SRF）概念：

Y的樣本觀測值的條件均值隨自變量X而變動的軌跡，稱為樣本回歸線。若把因變量Y的樣本條件均值表示為自變量X的某種函數(shù)，這個函數(shù)稱為樣本回歸函數(shù).表現(xiàn)形式：線性樣本回歸函數(shù)可表示為現(xiàn)在是21頁\一共有69頁\編輯于星期四樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互聯(lián)系

樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式一致。和是對總體回歸函數(shù)參數(shù)的估計。是對總體條件期望的估計殘差e

在概念上類似總體回歸函數(shù)中的隨機誤差u

。回歸分析的目的：用樣本回歸函數(shù)去估計總體回歸函數(shù)?，F(xiàn)在是22頁\一共有69頁\編輯于星期四樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互區(qū)別

總體回歸函數(shù)雖然未知，但它是確定的；樣本回歸線隨抽樣波動而變化，可以有許多條。樣本回歸線還不是總體回歸線，至多只是未知總體回歸線的近似表現(xiàn)?？傮w回歸函數(shù)的參數(shù)雖未知，但是確定的常數(shù)；樣本回歸函數(shù)的參數(shù)可估計，但是隨抽樣而變化的隨機變量?？傮w回歸函數(shù)中的是不可直接觀測的；而樣本回歸函數(shù)中的是只要估計出樣本回歸的參數(shù)就可以計算的數(shù)值。現(xiàn)在是23頁\一共有69頁\編輯于星期四

三、回歸系數(shù)的估計回歸系數(shù)估計的思想：為什么只能對未知參數(shù)作估計?

參數(shù)是未知的、不可直接觀測的、不能精確計算，能夠得到的只是變量的樣本觀測值。結(jié)論:只能通過變量樣本觀測值選擇適當方法去近似地估計回歸系數(shù)。前提:u是隨機變量，其分布性質(zhì)不確定，必須作某些假定，其估計才有良好性質(zhì)，其檢驗才可進行。原則:使參數(shù)估計值“盡可能地接近”總體參數(shù)真實值現(xiàn)在是24頁\一共有69頁\編輯于星期四

簡單線性回歸的基本假定假定1：零均值假定假定2：同方差假定

假定3：無自相關(guān)假定

假定4：隨機擾動與自變量不相關(guān)假定5：正態(tài)性假定現(xiàn)在是25頁\一共有69頁\編輯于星期四

回歸系數(shù)的最小二乘估計基本思想:

估計值偏離實際觀測值的殘差平方和作為衡量與偏離程度的標準—最小二乘準則?，F(xiàn)在是26頁\一共有69頁\編輯于星期四

最小二乘估計的性質(zhì)

——高斯—馬爾可夫定理

前提：在基本假定滿足時最小二乘估計是因變量的線性函數(shù)最小二乘估計是無偏估計，即

在所有的線性無偏估計中，回歸系數(shù)的最小二乘估計的方差最小。結(jié)論：回歸系數(shù)的最小二乘估計是最佳線性無偏估計(BLUE)—高斯-馬爾可夫定理現(xiàn)在是27頁\一共有69頁\編輯于星期四

最小二乘估計的概率分布性質(zhì)

和都是服從正態(tài)分布的隨機變量，其期望為方差和標準差為結(jié)論：現(xiàn)在是28頁\一共有69頁\編輯于星期四

的無偏估計

為什么要估計？

確定所估計參數(shù)的方差需要由于不能直接觀測，也是未知的。對的數(shù)值只能通過樣本信息去估計。怎樣估計？可以證明的無偏估計為：現(xiàn)在是29頁\一共有69頁\編輯于星期四

擬合優(yōu)度的度量

基本思想：樣本回歸直線是對樣本數(shù)據(jù)的一種擬合，不同估計方法可擬合出不同的回歸線。樣本回歸擬合優(yōu)度的度量建立在對因變量總離差平方和分解的基礎(chǔ)上

總離差平方和TSS

回歸平方和ESS殘差平方和RSS

可決系數(shù)：現(xiàn)在是30頁\一共有69頁\編輯于星期四

對可決系數(shù)的理解現(xiàn)在是31頁\一共有69頁\編輯于星期四

可決系數(shù)的特點

可決系數(shù)是非負的統(tǒng)計量；可決系數(shù)取值范圍：；可決系數(shù)是樣本觀測值的函數(shù)，可決系數(shù)是隨抽樣而變動的隨機變量；在一元線性回歸中，可決系數(shù)在數(shù)值上是簡單線性相關(guān)系數(shù)的平方：現(xiàn)在是32頁\一共有69頁\編輯于星期四

回歸系數(shù)顯著性的t檢驗?zāi)康模焊鶕?jù)樣本回歸估計的結(jié)果對總體回歸函數(shù)的有關(guān)假設(shè)進行檢驗，以檢驗總體回歸系數(shù)是否等于某個特定的數(shù)值。思想：

是未知的，而且不一定能獲得大樣本，這時可用的無偏估計代替去估計參數(shù)的標準誤差：現(xiàn)在是33頁\一共有69頁\編輯于星期四回歸系數(shù)顯著性的t

檢驗(續(xù))用估計的參數(shù)標準誤差對估計的參數(shù)作標準化變換，所得的t統(tǒng)計量將不再服從正態(tài)分布，而是服從t分布，可利用t分布作有關(guān)的假設(shè)檢驗?，F(xiàn)在是34頁\一共有69頁\編輯于星期四

回歸系數(shù)顯著性t

檢驗的方法(1)提出假設(shè)

一般假設(shè):

常用假設(shè):(2)計算統(tǒng)計量(3)給定顯著性水平α，確定臨界值

(4)檢驗結(jié)果判斷

若,則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)若,則接受原假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)現(xiàn)在是35頁\一共有69頁\編輯于星期四回歸系數(shù)顯著性的P值檢驗

——P值的意義P值的意義:

在既定原假設(shè)下計算回歸系數(shù)的t統(tǒng)計量，可求得統(tǒng)計量大于的概率：這里的是

t統(tǒng)計量大于值的概率，是尚不能拒絕原假設(shè)的最大顯著水平，稱為所估計的回歸系數(shù)的P

值?，F(xiàn)在是36頁\一共有69頁\編輯于星期四回歸系數(shù)顯著性的P值檢驗

——檢驗方法回歸系數(shù)顯著性的P

值檢驗方法:

將所取顯著性水平與P值對比所取的顯著性水平(例如取0.05)若比P值更大，就可在顯著性水平下拒絕原假設(shè)。

所取的若小于P值，就應(yīng)在顯著性水平下接受原假設(shè)。

一元線性回歸模型的Excel估計：現(xiàn)在是37頁\一共有69頁\編輯于星期四五、簡單線性回歸模型預(yù)測對平均值的點預(yù)測值：

Y的個別值置信度為1-α的預(yù)測區(qū)間：

現(xiàn)在是38頁\一共有69頁\編輯于星期四

Y的總體條件均值的置信度為1-α的預(yù)測區(qū)間：

現(xiàn)在是39頁\一共有69頁\編輯于星期四因變量的區(qū)間預(yù)測的特點

（1）個別值的預(yù)測區(qū)間大于平均值的預(yù)測區(qū)間:

Y平均值的預(yù)測值與真實平均值有誤差，主要是受抽樣波動的影響;Y個別值的預(yù)測值與真實個別值的差異不僅受抽樣波動影響，而且還受隨機擾動項的影響.（2）對預(yù)測區(qū)間隨變化而變化:

時，，此時預(yù)測區(qū)間最窄；越是遠離，越大，預(yù)測區(qū)間越寬?，F(xiàn)在是40頁\一共有69頁\編輯于星期四

因變量的區(qū)間預(yù)測的特點(續(xù))（3）預(yù)測區(qū)間與樣本容量有關(guān)：樣本容量n越大，越大，預(yù)測誤差的方差越小，預(yù)測區(qū)間也越窄。（4）當樣本容量趨于無窮大（即n→∞）時,不存在抽樣誤差，平均值預(yù)測誤差趨于0，此時個別值的預(yù)測誤差只決定于隨機擾動的方差。現(xiàn)在是41頁\一共有69頁\編輯于星期四8.3多元線性相關(guān)與回歸分析一、多元線性回歸模型及假定二、多元線性回歸模型的估計三、多元線性回歸模型的檢驗四、多元線性回歸模型的預(yù)測五、復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)現(xiàn)在是42頁\一共有69頁\編輯于星期四一、多元線性回歸模型及假定多元總體線性回歸函數(shù)一般形式條件均值形式多元線性樣本回歸函數(shù)：一般形式因為預(yù)測值和真實值之間有偏差，也可表示成現(xiàn)在是43頁\一共有69頁\編輯于星期四多元線性回歸模型的矩陣表示多元總體線性回歸模型的矩陣表示:Y=Xβ+U

多元線性樣本回歸函數(shù)的矩陣表示:偏回歸系數(shù):多元線性回歸模型中,回歸系數(shù)表示當控制其它自變量不變的條件下,第j個自變量的單位變動對因變量均值的影響,這樣的回歸系數(shù)稱為偏回歸系數(shù).現(xiàn)在是44頁\一共有69頁\編輯于星期四

二、多元線性回歸模型的估計多元回歸模型的假定相同的假定:

零均值、同方差、無自相關(guān)、隨機擾動項與自變量不相關(guān)、U正態(tài)性增加的假定：各自變量之間不存在線性關(guān)系(多重共線)

在此條件下,自變量觀測值矩陣X列滿秩

r(X)=k;方陣滿秩r()=k。意義：可逆，存在。現(xiàn)在是45頁\一共有69頁\編輯于星期四多元回歸參數(shù)的最小二乘估計使殘差平方和達到最小，其充分必要條件整理成正規(guī)方程組

現(xiàn)在是46頁\一共有69頁\編輯于星期四多元線性回歸的最小二乘估計式正規(guī)方程組可簡記為矩陣形式存在，則參數(shù)向量β的最小二乘估計為參數(shù)最小二乘估計量的性質(zhì)：

可以證明：多元線性回歸的最小二乘估計也是最佳線性無偏估計?，F(xiàn)在是47頁\一共有69頁\編輯于星期四隨機誤差項方差的估計方差未知，需要利用樣本回歸的殘差平方和去估計?？梢宰C明是隨機擾動項方差的無偏估計。多元線性回歸模型的Excel估計現(xiàn)在是48頁\一共有69頁\編輯于星期四三、多元線性回歸模型的檢驗擬合優(yōu)度檢驗多元線性回歸離差平方和的分解式變差

TSS=RSS+ESS(總離差平方和)(殘差平方和)(回歸平方和)

自由度n-1=n-k+k-1

多重可決系數(shù)現(xiàn)在是49頁\一共有69頁\編輯于星期四修正的可決系數(shù)為什么要修正可決系數(shù)？可決系數(shù)是自變量個數(shù)的不減函數(shù)，比較因變量相同而自變量個數(shù)不同的兩個模型的擬合程度時，不能簡單地對比多重可決系數(shù)，需要用自由度去修正多重可決系數(shù)中的殘差平方和與回歸平方和。

相互關(guān)系：現(xiàn)在是50頁\一共有69頁\編輯于星期四修正的可決系數(shù)(續(xù))在樣本容量一定的條件下，雖然可決系數(shù)是關(guān)于自變量個數(shù)的不減函數(shù)，但并不是變量個數(shù)越多越好（增加調(diào)查取樣的樣本，損失自由度）。人們希望（修正）可決系數(shù)越大越好，但它們只是對模型擬合優(yōu)度的度量，只能說明解釋變量對因變量的聯(lián)合影響程度越大，并不能說明單個變量的影響程度大。因此在選擇模型時，不能單純地憑多重（修正）可決系數(shù)的大小來斷定模型的優(yōu)劣（如經(jīng)濟學(xué)意義）?，F(xiàn)在是51頁\一共有69頁\編輯于星期四回歸參數(shù)的顯著性檢驗----t檢驗

在多元回歸中可以證明其中是矩陣第

j行第j列的元素。因為未知，故也未知。用代替構(gòu)造統(tǒng)計量對原假設(shè)分別作t檢驗.：現(xiàn)在是52頁\一共有69頁\編輯于星期四

回歸方程的顯著性檢驗

——F

檢驗?zāi)康?檢驗多個變量聯(lián)合對因變量是否有顯著影響方法:在方差分析的基礎(chǔ)上利用F檢驗進行假定:

方差分析表離差來源平方和自由度方差源于回歸源于殘差k-1n–kESS/(k-1)RSS/(n-k)總離差n-1現(xiàn)在是53頁\一共有69頁\編輯于星期四

F檢驗的方法F檢驗：在成立的條件下，統(tǒng)計量給定顯著性水平，在分布表中查出對應(yīng)自由度的臨界值若，則拒絕,說明回歸方程中所有自變量聯(lián)合起來對因變量有顯著影響。若，則不能拒絕，說明回歸方程中所有自變量聯(lián)合起來對因變量影響不顯?，F(xiàn)在是54頁\一共有69頁\編輯于星期四F

檢驗與t檢驗、擬合優(yōu)度檢驗的關(guān)系在一元線性回歸中，由于解釋變量只有一個，不用做F

檢驗，且可以證明，即二者是等價的。F

檢驗與擬合優(yōu)度檢驗都是在將總離差平方和TSS分解為回歸平方和ESS與殘差平方和RSS的基礎(chǔ)上構(gòu)造統(tǒng)計量進行的檢驗，但前者考慮了自由度，后者沒有考慮；一般情況下，模型對觀測值的擬合程度越高，模型總體線性關(guān)系的顯著性越強。F

檢驗可以在給定的顯著性水平下，給出F數(shù)值達到多少后可以通過檢驗，但（修正）可決系數(shù)沒有給出?，F(xiàn)在是55頁\一共有69頁\編輯于星期四四、多元線性回歸模型的預(yù)測點預(yù)測值預(yù)測的殘差可證明用代替，則構(gòu)造t

統(tǒng)計量給定顯著性水平,可得臨界值，則置信為的預(yù)測區(qū)間為

-

現(xiàn)在是56頁\一共有69頁\編輯于星期四

五、復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)：

度量一個變量與其他若干個變量聯(lián)合線性相關(guān)程度在數(shù)值上:多重可決系數(shù)的平方根等于復(fù)相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù):

對于相互聯(lián)系的多個變量，當控制其他變量保持不變的條件下，度量因變量和某一個自變量之間線性相關(guān)程度的指標稱為偏相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)在是57頁\一共有69頁\編輯于星期四偏相關(guān)系數(shù)與簡單相關(guān)系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系

以三個變量為例，可以證明：現(xiàn)在是58頁\一共有69頁\編輯于星期四8.4非線性相關(guān)與

非線性回歸分析一、非線性回歸的函數(shù)形式與估計方法二、非線性相關(guān)指數(shù)現(xiàn)在是59頁\一共有69頁\編輯于星期四一、非線性回歸的函數(shù)形式與估計方法

常用的可以轉(zhuǎn)換為線性的非線性函數(shù)形式冪函數(shù)其中的參數(shù)度量了變量Y對變量X的彈性，即X的單位百分比變動引起Y變動的百分比（半）對數(shù)函數(shù)其中的參數(shù)b說明當變量X每變動一個百分點，引起因變量Y絕對量的變動量（半）對數(shù)函數(shù)變量X

每變動一個單位，引起