放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸的題目中地應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸的題目中地應(yīng)用實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案

恰當(dāng)采用放縮法巧證導(dǎo)數(shù)不等式

鄭州市第四十四中學(xué)蘇敞亮

放縮法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別在證明不等式中經(jīng)常用到．由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應(yīng)用重點(diǎn)也逐漸從證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)壓軸題中，特別是在導(dǎo)數(shù)不等式證明中更是大放異彩.下面試舉幾例，以供大家參考．一、利用基本不等式放縮，化曲為直

例1（2023年高考遼寧卷理科第21題（Ⅱ））設(shè)f(x)?ln(x?1)?x?1?1.證明：當(dāng)

0?x?2時(shí)，f(x)?9x.x?6x?1.2證明：由基本不等式，當(dāng)x?0時(shí)，2(x?1)?1?x?2，故x?1??f(x)?ln(x?1)?x?1?1?ln(x?1)?記h(x)?ln(x?1)?x2x9x?，2x?61154x(x2?15x?36)則h'(x)?.???x?12(x?6)22(x?1)(x?6)2當(dāng)0?x?2時(shí)，h'(x)?0，所以h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù).故又由h(x)?h(0)?0，

x9x9x?，即ln(x?1)?x?1?1?，2x?6x?69x故當(dāng)0?x?2時(shí)，f(x)?.

x?69x評(píng)注：此題第(Ⅱ)問(wèn)若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)?f(x)?，對(duì)h(x)進(jìn)行求導(dǎo)，由于

x?6所以ln(x?1)?h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x)的零點(diǎn)及相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)很難確定，而通過(guò)對(duì)

x?1進(jìn)行放縮處理，使問(wèn)題得到解決.上面的解法中，難點(diǎn)在用基本不等式證明

x?1?xx?1，亦即是將拋物線弧y?x?1放大化簡(jiǎn)為直線段y??1，而該線段正是22拋物線弧y?x?1在左端點(diǎn)(0,1)處的切線，這種“化曲為直〞的方法是我們用放縮法處

理函數(shù)問(wèn)題的常用方法.二、利用單調(diào)性放縮，化動(dòng)為靜

例2（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷第21題（Ⅱ））已知函數(shù)f(x)?e?ln(x?m).當(dāng)m?2時(shí)，證明f(x)?0.

x精彩文檔

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案

1(x?m)ex?1?證法1：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??m,??)，則f'(x)?e?.x?mx?mx設(shè)g(x)?(x?m)ex?1，由于g'(x)?(x?m?1)ex?0，所以g(x)在(?m,??)上單調(diào)遞增.

又g(?m)??1?0，g(2?m)?2e2?m?1?2?1?1?0，故g(x)?0在(?m,??)上有唯一實(shí)根x0.

當(dāng)x?(?m,x0)時(shí)，g(x)?0，f'(x)?0；當(dāng)x?(x0,??)時(shí)，g(x)?0，f'(x)?0，從而當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)取得最小值為f(x0).

由方程g(x)?0的根為x0，得ex0?1，ln(x0?m)??x0，

x0?m故f(x0)?11，?x0??(x0?m)?m?2?m（當(dāng)且僅當(dāng)x0?m?1取等號(hào)）

x0?mx0?m又由于m?2時(shí)，所以f(x0)?0.取等號(hào)的f(x0)?0條件是x0?m?1，e的，所以f(x0)?0，故f(x)?0.

證法2：因y?lnx在定義域上是增函數(shù)，而m?2，所以ln(x?2)?ln(x?m)，故只需證明當(dāng)m?2時(shí)，f(x)?0即可.

當(dāng)m?2時(shí)，f'(x)?e?xx0?1及m?2同時(shí)成立，這是不可能

x0?m1在(?2,??)上單調(diào)遞增.x?2又f'(?1)?0,f'(0)?0，故f'(x)?0在(?2,??)上有唯一實(shí)根x0，且x0?(?1,0).當(dāng)x?(?2,x0)時(shí)，f'(x)?0；當(dāng)x?(x0,??)時(shí)，f'(x)?0，從而當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)取得最小值.

由f'(x)?0得ex0?1，ln(x0?2)??x0，x0?2(x0?1)21故f(x)?f(x0)??x0??0.

x0?2x0?2精彩文檔

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案

綜上，當(dāng)m?2時(shí)，f(x)?0.

評(píng)注：借助導(dǎo)數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法.證法1直接求導(dǎo)證明，由于其含有參數(shù)m，因而在判斷g(x)的零點(diǎn)和求f(x)取得最小值f(x0)顯得較為麻煩；證法2利用對(duì)數(shù)函數(shù)y?lnx的單調(diào)性化動(dòng)為靜，證法顯得簡(jiǎn)單明白.此外，此題也是處理函數(shù)隱零點(diǎn)問(wèn)題的一個(gè)經(jīng)典范例.三、活用函數(shù)不等式放縮，化繁為簡(jiǎn)

兩個(gè)常用的函數(shù)不等式：e?x?1(x?R)

xlnx?x?1(x?0)

兩個(gè)常用的函數(shù)不等式源于高中教材（人教A版選修2-2，P32）的一組習(xí)題，曾屢屢出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問(wèn)題寫過(guò)專題文章.

[1]

bex?1例3（2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科第21題）設(shè)函數(shù)f(x)?aelnx?，曲線

xxy?f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?e(x?1)?2.

（I）求a,b

（II）證明：f(x)?1.

分析：此題以曲線的切線為背景，考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第（I）問(wèn)較簡(jiǎn)單，一般學(xué)生都能做出來(lái)，只需求出函數(shù)

f(x)的導(dǎo)數(shù)，易得a?1,b?2.第（II）問(wèn)難度較大，主要考察考生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不

等式的能力及運(yùn)算求解能力，是近年來(lái)高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)問(wèn)題.此題第（II）問(wèn)證法較多，下面筆者利用函數(shù)不等式來(lái)進(jìn)行證明.

證明：由e?x?1，得e故

xx?1?x，即ex?ex，

1?e?x（當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取等號(hào)）①ex11?11?x1x?1?x，得?e，故eex?ex，兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln(ex)?1?，又由exex即lnx?11?0（當(dāng)且僅當(dāng)x?時(shí)取等號(hào)）②exe精彩文檔

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案

由于①、②式等號(hào)不能同時(shí)成立，兩式相加得lnx?2x?e?x，兩邊同乘以e，得f(x)?1.ex評(píng)注：此題證明中利用函數(shù)不等式e?x?1，并進(jìn)行適當(dāng)變形，結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，從而避免了繁雜的計(jì)算，過(guò)程簡(jiǎn)單自然，易于理解.

例4（2023年高考山東卷理科第20題（Ⅱ））已知f(x)?a?x?lnx??當(dāng)a?1時(shí)，證明f(x)?f?(x)?x2x?1,a?R.x23對(duì)于任意的x??1,2?成立.2a22(ax2?2)(x?1)a?1時(shí)，證明：f(x)的定義域?yàn)?0,??)，f'(x)?a??2?3?，3xxxxf(x)?f'(x)?x?lnx?2x?1122?(1???)x2xx2x3312?x?lnx??2?3?1，x?[1,2]，

xxx312312?2?3?1??2?3x?[1,2].xxxxxx，

由②lnx?x?1得f(x)?f'(x)?x?lnx?即只需證

3123?2?3?x?[1,2]xxx2，

?3x2?2x?6312令h(x)??2?3，x?[1,2]，則h'(x)?.4xxxx

設(shè)?(x)??3x?2x?6，則?(x)在x?[1,2]單調(diào)遞減，由于?(1)?1,?(2)??10，

所以在[1,2]上存在x0使得x?(1,x0)時(shí)，?(x)?0,x?(x0,2)時(shí)，?(x)?0，所以函數(shù)h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,2)上單調(diào)遞減，

233h(2)?，，因此當(dāng)x?[1,2]時(shí)，h(x)…當(dāng)且僅當(dāng)x?2時(shí)取得等號(hào)，

223所以f(x)?f'(x)?h(2)?，

23即f(x)?f'(x)?對(duì)于任意的x?[1,2]恒成立.

23123評(píng)注：要證明f(x)?f'(x)?x?lnx??2?3?1?，比較麻煩的是式子中有

xxx2lnx，假使能讓它消失，問(wèn)題勢(shì)必會(huì)簡(jiǎn)單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式lnx?x?1進(jìn)行放縮，方法自然，水到渠成.

由于h(1)?2,h(2)?精彩文檔

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案

上述兩個(gè)常用函數(shù)不等式的變式：e?x?1?x(x?R)

1(x??1)x?111ln??1(x?0)xxlnx?x?1(x?0)xe?x?四、巧用已證不等式放縮，借水行舟

例5（2023年高考新課標(biāo)Ⅲ卷文科21題）設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?x?1.

（I）證明當(dāng)x?(1,??)時(shí)，1?x?1?x；lnxx（II）設(shè)c?1，證明當(dāng)x?(0,1)時(shí)，1?(c?1)x?c.

證明：（I）易證當(dāng)x??1,???時(shí)，lnx?x?1，ln（II）由題設(shè)c?1，設(shè)g(x)?1??c?1?x?cx11x?1??1，即1??x.xxlnx，，則g，(x)?c?1?cxlnx，令，g?x??0，

c?1lnc.當(dāng)x?x時(shí)，g'?x??0，g?x?單調(diào)遞增；解得x0?當(dāng)x?x0時(shí)，g'?x??0，g?x?0lncln單調(diào)遞減.由（I）知，1?c?1?c，故0?x0?1，又g(0)?g(1)?0，故當(dāng)0?x?1時(shí)，lncg?x??0.所以當(dāng)x??0,1?時(shí)，1??c?1?x?cx．

c?1x?1?x及x0?lnc巧妙評(píng)注：此題第（II）問(wèn)利用第（I）中已證明的不等式1?lnxlncln地求出0?x0?1，

進(jìn)而利用g?x?在0?x?1單調(diào)性及端點(diǎn)值g(0)?g(1)?0證明出

g?x??0．利用已證不等