電動(dòng)力學(xué)答案完整

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1.7.有一內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為ε，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止由電荷?f求1空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；2極化體電荷和極化面電荷分布。?D?ds???dV，（r2>r>r1）

4?即：D?4?r??r?r??

3解（1）

sf2331f??r∴E??3?r13??f3?r3r，（r2>r>r1）

由

?sE?ds?3Qf?0?4?33?r2?r1??f，（r>r2）3?0r，（r>r2）

r?∴E??2?r13??f3?0r3r>r1時(shí)，E?0（2）P??0?eE??0???0E?????0?E?0??r3?r13??????0r13??p????P??????0?????fr????f???r?3r?33?r3?r??????∴（r2>r>???0???0???f?3?0????f3??r1）

?p?P1n?P2n

考慮外球殼時(shí)，r=r2，n從介質(zhì)1指向介質(zhì)2（介質(zhì)指向真空），P2n=0?p?P1n?????0??r3?r13?3?r3?frr?r233??0?r2?r1??1???f3?3r??2考慮內(nèi)球殼時(shí)，r=r1?p??????0??r3?r13?3?r3?frr?r1?0

1.11.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為l1和l2，電容率為ε1和ε，今在兩板接上電動(dòng)勢(shì)為Ε的電池，求（1）電容器兩板上的自由電荷密度ωf（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷密度ωf

若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為σ1和σ2當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩問(wèn)題的結(jié)果如何？解：在一致介質(zhì)中電場(chǎng)是均勻的，并且都有一致指向??l1E1?l2E2?E則???D1n?D2n??1E1??2E2?0(介質(zhì)表面上?f?0)故：E1??2El1?2?l2?1，E2??1El1?2?l2?1又根據(jù)D1n?D2n??f，（n從介質(zhì)1指向介質(zhì)2）在上極板的交面上，D1?D2??f1D2是金屬板，故D2=0即：?f1?D1?而?f2?0?1?2El1?2?l2?1?f?D1??D2???D2?，（D1?是下極板金屬，故D1?=0）3∴?f3???1?2E???fl1?2?l2?11若是漏電，并有穩(wěn)定電流時(shí)，由E?j?可得E1?j1?1，E2?j2?2j2?j1l?l?E2?1?2又??1?j?j?j?j,(穩(wěn)定滾動(dòng))2n12?1n

j1?2E?E???1?l1?2?l2?1E?1得：j1?j2?，即?l1l2?E?j2??1E?2?1?2??2l1?2?l2?1??f?D3?上?1?2E?2?2E?f??D2??l1?2?l2?1l1?29?l2?1下?f?D2?D3?中?2?1??1?2El1?2?l2?11.14、內(nèi)外半徑分別a和b的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電容器，單位長(zhǎng)度電荷為?f，板間填充電導(dǎo)率為?的非磁性物質(zhì)。

（1）證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無(wú)磁場(chǎng)。（2）求?f隨時(shí)間的衰減規(guī)律。

（3）求與軸相距為r的地方的能量功耗功率密度。

（4）求長(zhǎng)度為l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的能減少率。（1）證明：由電流連續(xù)性方程：??J?根據(jù)高斯定理?f???D

??D????J??t?0,即：??J??????f?t?0

?D?0?t?D?D?0，即傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵???(J?)?0，??J??t?t消。

（2）解：由高斯定理得：?D?2?rdl???fdl

?f?fer,E?er?D?2?r2??r又J??D?0，J??E,D??E?t?t?E??0,E?E0e??E???t

?r??t?f?er?e?er2??r2??r0??f??f0e?t??

t?D??f0????f??(e?)??（3）解：J???t?t2?r?2?r?f2?()?能量耗散功率密度=J??J?2??r221（5）解：?jiǎn)挝惑w積dV?l?2?rdr

?f2l??f2bP??()?l2?rdr?In2a2??r2??ab22b1l?f11l?fbD?EdV??dr???In

a22??r222??a靜電能W=?ba2l?f?Wb??fl?f?b??In??In減少率?2?t2??a?t2??a例1.一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（R1

?1??2?Q?Q1,(R?R3)4??0RQ4??0(11?).(R2?R?R1)RR1

導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為

??0??22Rd??Q1??RR?R1例4導(dǎo)體尖劈帶電勢(shì)V，分析它的尖角附近的電場(chǎng)。

解用柱坐標(biāo)系。取z軸沿尖邊。設(shè)尖劈以外的空間，即電場(chǎng)存在的空間為

0???2???(?為小角)。因?不依懶于z，柱坐標(biāo)下的拉氏方程為

1???1?2?(r)?2?0（1）2r?r?rr??用分開(kāi)變量法解次方程。設(shè)?的特解為??R(r)?(?)則上式分解為兩個(gè)方程

d2RdRr?r??2R,2drdr2

d???2??0.2d?2其中?為某些正實(shí)數(shù)或0.把?的特解疊加得?得通解

?C?0D?)???(A0?B0In)r(0??(?A?r???Br)(???Cco?s???Dsin).各待定常量和?的可能值都由邊界條件確定.

在尖劈??0面上，?=V，與r無(wú)關(guān)，由此

A0C0?V,B?0,0

C??0?(?0).

因r?0時(shí)?有限，得

B0?B??0.在尖劈??2???面上，有??V,與r無(wú)關(guān)，必需

D0?0,sin?(2???)?0,

因此?得可能值為

?n?n?2??,(n?1,2..)考慮這些條件，?可以重寫為

?n?.??V??Anr?nsinn為了確定待定常量An，還必需用某一大曲面包圍著電場(chǎng)存在的區(qū)域，并給定這曲面上的邊界條件。因此，此題所給的條件是不完全的，還不足以確定全空間的電場(chǎng)。但是，我們可以對(duì)尖角附近的電場(chǎng)作出一定的分析。

在尖角附近，r?0，上式的求和的主要貢獻(xiàn)來(lái)自r最低冪次項(xiàng)，即n=1項(xiàng)。因此，

??V?A1r?1sin?1?,電場(chǎng)為

???1?1Er??????1?,1A1rsin?r

1???1?1E???????1?.1A1rcosr??

尖劈兩面上的電荷密度為

??0E?(??0)???0En??

??E(??2???)?0????0?1Ar1?1?1.

1?1若?很小，有?1?,尖角附近的場(chǎng)強(qiáng)和電荷密度都近似地正比于r2.由此可

2見(jiàn)，尖角附近可能存在很強(qiáng)的電場(chǎng)和電荷面密度。相應(yīng)的三維針尖問(wèn)題就是尖端放電現(xiàn)象。2.7在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為?2的液體，使其中流著均勻的電流jf0，今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為?1小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布。探討?1???2及?2???1兩種狀況下電流分布的特點(diǎn)。解：維持電流恒定的電場(chǎng)也是靜電場(chǎng)，可令E????，由電流恒定條件??Jf?0，等兩種介質(zhì)都是線性均勻的，根據(jù)歐姆定律半徑為R0，令導(dǎo)電液中原電流密度Jf0??2E0??2E0ez。問(wèn)題就有z軸對(duì)稱性。全部定解條件為：?2?1?0（R

它包含著這電荷體系所有各級(jí)電多極矩的電勢(shì)，由

2P0(cos?)=1，P1(cos?)=cos?，P2(cos?)=?3cos??1?/2

（6）式的前三項(xiàng)是單極項(xiàng)，偶極項(xiàng)和四極項(xiàng)電勢(shì)：?(0)?Qf4??RQf(1?R0)（7）a?(1)3R0?(a?2)cos?（8）4??R2a5R02?(a?)(3cos??1)（9）328??Ra2?(2)Qf由（8）式和（9）式，可推知這體系的電偶極矩和電四極矩。

以假象的像電荷代替導(dǎo)體球與介質(zhì)分界面真實(shí)的感應(yīng)電荷及極化電荷對(duì)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)，為使所得的解滿足求解區(qū)域即球外的方程（1），像電荷必需置于球內(nèi)。由軸對(duì)稱性，在球內(nèi)z?b處置像電荷Q?，于是球外任一點(diǎn)的電勢(shì)可寫成??Qf4??r?Q?（10）4??r?其中r是Qf到場(chǎng)點(diǎn)的距離，r?是Q?到場(chǎng)點(diǎn)的距離，即

1?r1?r?1R?a?2Racos?1R?b?2Rbcos?2222（11）

由R?R0，?=0的條件，有

?QfQ??Q?r????0，即????rrQfrR?R0??R?R0將r和r?代入上式并兩邊平方，可解出

aQ???QfR，b?R02/a（12）0/??Qf4??r?QfR0/a（13）

4??r?此解與（5）式是一致的，它顯然也滿足R??，??0的條件。

2.9.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R1和R2，在球內(nèi)離球心為a(aR1,于是球腔內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢(shì)為??'(?)（3）4??0rr'1其中r和r’分別為場(chǎng)點(diǎn)到q和q’的距離，即1?r1R?a?2Racos?22，1?r'1R?b?2Rbcos?22(4)由R=R1，??0的條件，解出q'??qR1/a,b?R12/a(5)將（4）,（5）代入（3）得??14??0[qR?a?2Racos?22??qR1/aR?(R/a)?2R(R/a)cos?221221]由于球外??0故感應(yīng)電荷集中在內(nèi)表面并且總電量為q。

2.11.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部，如圖半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為b（b>a）試用電象法求空間電勢(shì)。

解：以z軸為系統(tǒng)的對(duì)稱軸，球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，求解區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體表面上方空間，導(dǎo)體表面的電勢(shì)為零，定解條件為

?2???q?(x,y,z?b)/?0

R?a，以及R?a但z?0處??0R??，??0

要滿足導(dǎo)體表面電勢(shì)為零的條件，需要導(dǎo)體內(nèi)設(shè)置三個(gè)假想的像電荷：在z=-b處置-q，在z?a2/b處置-qa/b，在z??a2/b處置+qa/b。于是導(dǎo)體外任意一點(diǎn)的電勢(shì)為

??14??0[qx?y?(z?b)222??qx?y?(z?b)222??qa/bx?y?(z?a/b)2222?qa/bx?y?(z?a/b)2222]3.13有一個(gè)均勻帶電的薄導(dǎo)體殼，半徑為R0，總電荷為q，今使球殼繞自身某一直徑以角速度?轉(zhuǎn)動(dòng)，求球內(nèi)外的磁場(chǎng)B.

以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸為z軸.球殼電荷面密度?f=q/4?R02，因球殼自轉(zhuǎn)而形成的面電流密度為

αf??fv???e?Re?sin?e?（1）z0R224?R04?R0球內(nèi)外兩區(qū)域均無(wú)傳導(dǎo)電流分布，磁標(biāo)勢(shì)均滿足方程?2??0，邊界條件為

R?0，?1有限；R??，?2?0（2）R?R0處，B2R?B1R，eR?(H2?H1)?αf即

1??21??1q???2??1??sin?（3），??R0??R0??4?R0?R?R由z軸對(duì)稱性，及（2）的兩個(gè)條件，磁標(biāo)勢(shì)方程的解寫為

s?(R?R0)（4）?1??anRnPn?co?n?2??nbnP(co?s)(R?R0)n?1nR（5）

由條件（3），解出

?1??q?mmRco?s，?2??（6）cos??236?R04?R4?RB1??0(???1)??0q?ez（7）6?R0?0?3?mR?m?B2??0(???2)??3?（8）?4??R5R?球內(nèi)為均勻場(chǎng)，球外為磁偶極場(chǎng)，球面電流形成的磁矩為

1m?2q?R02?s?R0eR?αf?dS?3ez（9）

3.14電荷按體均勻分布的剛性小球，總電荷量為q，半徑為R0，它以角速度?繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（1）它的磁矩；

（2）它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動(dòng)量之比。設(shè)小球質(zhì)量M0是均勻分布的。小球的電荷密度與質(zhì)量密度分別為

33?q?3q4?R0，?m?3M04?R0

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸為z軸，則球內(nèi)任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v??ez?r??re?，球內(nèi)電流密度與動(dòng)量密度分別為

J??qv??q?re?，p??mv??m?re?

小球的磁矩m與自轉(zhuǎn)角動(dòng)量L分別為

q?R021m??r?JdV?ez

V252M0?R021L??r?PdV?ez

V25M0于是有m/L?q/2

4.1有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x方向偏振，另一個(gè)沿y方向偏振，但相位比前者超前

?，求合成波的偏振。反之，一個(gè)圓偏2

振可以分解為怎樣的兩個(gè)線偏振？

解：兩個(gè)波德波矢量均為k?kez，設(shè)振幅均為E0，有

E1?E0exei(kz??t)

E2?E0eye于是合成波