三重積分、重積分習(xí)題

三重積分、重積分習(xí)題三重積分1．將I=分別表示成直角坐標(biāo)，柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的三次積分，并選擇其中一種計算出結(jié)果．其中是由曲面z=及z=x+y所圍成的閉區(qū)域.分析為計算該三重積分，我們先把積分區(qū)域投影到某坐標(biāo)平面上，由于是由兩張曲面及，而由這兩個方程所組成的方程組極易消去z，我們把它投影到 :于是有I=.(2)柱面坐標(biāo)下首先把的表面方程用柱面坐標(biāo)表示，這時z=x+y表示為z=，z=表示為z=．再由投影區(qū)域D為x+y1．故01，0θ2．于是可表示為：將所給三重積分中的體積元素用=去替換，有I===.(3)球面坐標(biāo)下用球面坐標(biāo)代換兩曲面的方程，得曲面z=x+y變?yōu)?；曲面z=變?yōu)?．由在xoy平面上的投影為x+y1知02，下邊找的變化范圍．正z軸在內(nèi)，即內(nèi)有點P，使與夾角為零，即的下界為零．又曲面z=x+y與xoy平面相切，故的上界為，于是0再找的變化范圍．原點在的表面上，故取到最小值為零．為找的上界，從原點出發(fā)作射線穿過，由于的表面由兩張曲面所組成，因而的上界隨相應(yīng)的的不同而不同．為此在兩曲面的交線上取一點A(0，1，1)，故A所對應(yīng)的．當(dāng)時，r的上界由曲面r=所給，故這時r．即r的變化范圍為0因此I=．由的特點(在xoy平面上的投影為圓域，而本身不是球或球錐)，故采用柱面坐標(biāo)計算比較簡單，這時I===2=．小結(jié)(1)計算三重積分時，欲用何種坐標(biāo)，就要首先把積分區(qū)域的表面方程化成用該坐標(biāo)表示，同時把被積函數(shù)中的變量與體積元素替換為該坐標(biāo)下的形式．(2)不要認(rèn)為當(dāng)積分區(qū)域為球體的一部分就應(yīng)采用球面坐標(biāo)．球面坐標(biāo)所適用的積分區(qū)域一般為球，兩球面所圍的區(qū)域，或這兩種區(qū)域被圓錐所截得的部分．本題是由旋轉(zhuǎn)拋物面與球面所圍成的區(qū)域，一般是不宜用球面坐標(biāo)的．（3）還應(yīng)注意面積元在不同坐標(biāo)下的不同形式；并且在直角坐標(biāo)系中，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)會使用對稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；2．計算三重積分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所圍成的區(qū)域．分析為球面和圓錐面所圍成的區(qū)域．故從積分區(qū)域的特點看，它適宜用球面坐標(biāo)．同時，被積函數(shù)中含有因式x+y+z，故從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面來看，應(yīng)選用球面坐標(biāo)．解在球面坐標(biāo)下，球面x+y+z=1的方程為r=1，錐面z=的方程為tan=，即，又z軸的正向穿過故的下界為零，因此0．將投影到xoy面，由方程組消去z得x+y=．因此0．該錐體的頂點在原點，故r下界為零，由穿線法可知r故0r1.于是===2．小結(jié)當(dāng)積分區(qū)域為由球面與錐角所圍成的球錐體時．若錐題的頂點為原點，且 Z軸正向穿過積分區(qū)域，則有0，且r的下界為零，上界由球面的方程所給出．3．計算其中是由xoy平面上的曲線=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區(qū)域分析：投影區(qū)域為圓域，再由于積分區(qū)域與球體無關(guān)，故采用柱面坐標(biāo)，這時要注意把y,z用極坐標(biāo)代換．還應(yīng)注意積分區(qū)域關(guān)于平面y=0,z=0皆對稱，且被積函數(shù)關(guān)于y,z皆為偶函數(shù)．因此還應(yīng)利用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性與被積函數(shù)關(guān)于某相應(yīng)變量的奇偶性先進(jìn)行化簡．解曲線=2x或x=繞x軸旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為x=(),故由拋物面x=()與z=0所圍成．由于被積函數(shù)分別是y和z的偶函數(shù)，而積分區(qū)域關(guān)于平面y=0及z=0都對稱，因此=4，其中為在第一卦限內(nèi)的部分由知，在yoz平面上的投影為．在yoz平面上的投影為yoz平面上第一象限內(nèi)的１／４個圓，因此有：于是44==2=.小結(jié)(1)當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于某坐標(biāo)平面對稱，同時被積函數(shù)是相應(yīng)變量的奇或偶函數(shù)時，應(yīng)首先將所給積分化簡，其原則為關(guān)于平面Z=0對稱，f(x,y,z)關(guān)于z是奇函數(shù)時，積分為零;f(x,y,z)關(guān)于z是偶函數(shù)時，所求積分為2，其中為被z=0所分的上半個子區(qū)域，其余類同．(2)對柱面坐標(biāo)，清楚這是把積分區(qū)域投影到哪個平面時就做的相應(yīng)的柱面坐標(biāo)變換，如本題，由于我們把投影到y(tǒng)oz平面,就有y=cos,z=sin,x=x．類似地，對球面坐標(biāo)也應(yīng)做相應(yīng)理解，即穿過的坐標(biāo)軸如果不是z軸而是x軸或y軸．球面坐標(biāo)公式x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos，也應(yīng)做相應(yīng)變化．4．證明當(dāng)f(z)連續(xù)時，=并用此公式計算的值，其中：x分析積分區(qū)域見圖3，題目要求把三重積分化成只剩下對z的定積分，我們可以把它看作對該三重積分先計算一個關(guān)于x,y的二重積分再計算對z的定積分．顯然這種計算方法和我們前邊的計算方法是不同的，前邊的計算方法(如例1，2)是先將投影到坐標(biāo)平面xoy上得投影區(qū)域D，計算時先對z積分再計算在D上的二重積分，比如練習(xí)題1在直角坐標(biāo)下可看作I=，即采用“穿線法”，本題欲先計算一個二重積分再計算定積分，應(yīng)采用為“先二后一”法．亦稱“切片法”，即先將投影到z軸上得線段[-1，1]．在(-1，1)上任意點z作一垂直于z軸的平面截得一平面區(qū)域，在每個上作對x,y的二重積分，然后再把這些積分值累加起來，既再對z從-1到1積分．解由的表面方程為知，z，既在軸上的投影為線段，在內(nèi)任取一點z，過z作垂直于z軸的平面截得一平面區(qū)域：．于是的面積為．因此,當(dāng)f(z)=z時，有=.小結(jié)“切片法”適用于被積函數(shù)為某變量的一元函數(shù)，而垂直于相應(yīng)坐標(biāo)軸的平面截所得截面面積易求出時的情形．一般的，若被積函數(shù)為x的一元函數(shù)時，作垂直于x軸的平面；被積函數(shù)為時，作垂直于y軸的截面；被積函數(shù)為時，作垂直于z軸的截面．5．求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面x及x所圍立體的表面積.分析該兩圓柱面直交時所圍立體處在八個卦限內(nèi)．其表面為8個面積相等的曲面，我們只經(jīng)計算其中一個曲面面積即可．要注意計算曲面面積時，要找其在坐標(biāo)面內(nèi)的投影區(qū)域．要注意向哪個坐標(biāo)面作投影要依據(jù)曲面方程而定解為計算該住體的表面積．我們只須計算圖4陰影部分的面積S再乘以16即可．該曲面的方程為z=．它在xoy面上的投影為D=．,于是S==,故S=16S=16R.確定選用何種坐標(biāo)，一般要從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面考慮，通?？蓞㈤喯卤?/p>

采用坐標(biāo)積分區(qū)域的特點被積函數(shù)的特點球面坐標(biāo)球，或球被圓錐面所截得的球錐體(特殊情況下為半球體)，或兩同心球面所圍的立體及被圓錐面所截得的主體．f(x)或被積函數(shù)含有因式x柱面坐標(biāo)不適用球面坐標(biāo)，但積分區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影適用于極坐標(biāo)者f(x)，f(x)或被積函數(shù)含因式x直角坐標(biāo)其他情形

6．設(shè)均勻柱體密度為，占有閉區(qū)域．求它對于位于點M(0，0，a)(a)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力分析用公式求引力時，要注意利用當(dāng)常數(shù)時．以及立體對坐標(biāo)面的對稱性，來簡化計算．解是一位于xoy面上方的圓柱體，它關(guān)于xoz面yoz面都是對稱的，因此