初中數(shù)學中考復習 專題15 函數(shù)與行程問題【考點精講】（解析版）

專題15函數(shù)與行程問題專題15函數(shù)與行程問題題型精講題型精講【例1】（2021·山東）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒時兩車相距最近，最近距離是2米【分析】（1）根據(jù)圖像分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出當v=10m/s時，兩車之間距離最小，代入計算即可．【詳解】解：（1）由圖可知：二次函數(shù)圖像經(jīng)過原點，設二次函數(shù)表達式為，一次函數(shù)表達式為，∵一次函數(shù)經(jīng)過（0，16），（8，8），則，解得：，∴一次函數(shù)表達式為，令v=9，則t=7，∴當t=7時，速度為9m/s，∵二次函數(shù)經(jīng)過（2，30），（4，56），則，解得：，∴二次函數(shù)表達式為，令t=7，則s==87.5，∴當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是87.5m；（2）∵當t=0時，甲車的速度為16m/s，∴當10＜v＜16時，兩車之間的距離逐漸變小，當0＜v＜10時，兩車之間的距離逐漸變大，∴當v=10m/s時，兩車之間距離最小，將v=10代入中，得t=6，將t=6代入中，得，此時兩車之間的距離為：10×6+20-78=2m，∴6秒時兩車相距最近，最近距離是2米．【例2】（2021·浙江麗水市）李師傅將容量為60升的貨車油箱加滿后，從工廠出發(fā)運送一批物資到某地．行駛過程中，貨車離目的地的路程s（千米）與行駛時間t（小時）的關系如圖所示（中途休息、加油的時間不計．當油箱中剩余油量為10升時，貨車會自動顯示加油提醒．設貨車平均耗油量為0.1升/千米，請根據(jù)圖象解答下列問題：（1）直接寫出工廠離目的地的路程；（2）求s關于t的函數(shù)表達式；（3）當貨車顯示加油提醒后，問行駛時間t在怎樣的范圍內(nèi)貨車應進站加油？【答案】（1）工廠離目的地的路程為880千米；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)圖象直接得出結論即可；（2）根據(jù)圖象，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式即可；再求出油量為（3）分別求出余油量為10升和0升時行駛的路程，根據(jù)函數(shù)表達式求出此時的t值，即可求得t的范圍．【詳解】解：（1）由圖象，得時，，答：工廠離目的地的路程為880千米．（2）設，將和分別代入表達式，得，解得，∴s關于t的函數(shù)表達式為．（3）當油箱中剩余油量為10升時，（千米），，解得（小時）．當油箱中剩余油量為0升時，（千米），，解得（小時）．隨t的增大而減小，的取值范圍是．【例3】（2021·天津）在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境．已知學校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學校，陳列館離學校．李華從學校出發(fā)，勻速騎行到達書店；在書店停留后，勻速騎行到達陳列館；在陳列館參觀學習一段時間，然后回學校；回學校途中，勻速騎行后減速，繼續(xù)勻速騎行回到學校．給出的圖象反映了這個過程中李華離學校的距離與離開學校的時間之間的對應關系．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（Ⅰ）填表離開學校的時間/離學校的距離/（Ⅱ）填空：①書店到陳列館的距離為________；②李華在陳列館參觀學的時間為_______h；③李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為______；④當李華離學校的距離為時，他離開學校的時間為_______h．（Ⅲ）當時，請直接寫出y關于x的函數(shù)解析式．【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）當時，；當時，；當時，．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法，分段寫出函數(shù)解析式，根據(jù)表格中x，代入相應的解析式，得到y(tǒng)；（Ⅱ）①根據(jù)圖象進行分析即可；②根據(jù)圖象進行分析即可；③根據(jù)時的函數(shù)解析式可求；④分和兩種情況討論，將距離為4km代入相應的解析式求出時間x；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法，分段寫出函數(shù)解析式即可．【詳解】對函數(shù)圖象進行分析：①當時，設函數(shù)關系式為，由圖象可知，當x=0.6時，y=12，則，解得∴當時，設函數(shù)關系式為②由圖象可知，當時，③當時，設函數(shù)關系式為，由圖象可知，當x=1時，y=12；當x=1.5時，y=20，則，解得∴當時，設函數(shù)關系式為④由圖象可知，當時，⑤當時，設函數(shù)關系式為，由圖象可知，當x=4.5時，y=20；當x=5時，y=6，則，解得∴當時，設函數(shù)關系式為⑥當時，設函數(shù)關系式為，由圖象可知，當x=5時，y=6；當x=5.5時，y=0，則，解得∴當時，設函數(shù)關系式為（Ⅰ）∵當時，函數(shù)關系式為∴當x=0.5時，．故第一空為10．當時，．故第二空為12．當時，．故第二空為20．（Ⅱ）①李華從學校出發(fā)，勻速騎行到達書店；在書店停留后，勻速騎行到達陳列館．由圖象可知書店到陳列館的距離；②李華在陳列館參觀學習一段時間，然后回學校．由圖象可知李華在陳列館參觀學的時間；③當時，設函數(shù)關系式為，所以李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為28；④當李華離學校的距離為時，或由上對圖象的分析可知：當時，設函數(shù)關系式為令，解得當時，設函數(shù)關系式為令，解得∴當李華離學校的距離為時，他離開學校的時間為或．（Ⅲ）由上對圖象的分析可知：當時，；當時，；當時，．提分提分訓練1．（2021·陜西）在一次機器“貓”抓機器“鼠”的展演測試中，“鼠”先從起點出發(fā)，1min后，“貓”從同一起點出發(fā)去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“貓”抓著“鼠”沿原路返回“鼠”、“貓”距起點的距離與時間之間的關系如圖所示．（1）在“貓”追“鼠”的過程中，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是______；（2）求的函數(shù)表達式；（3）求“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間．

【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)圖象得到“貓”追上“鼠”時的路程與它們的用時，再求平均速度差即可；（2）找出A點和B點坐標，運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；（3）令，求出的值，再減去1即可得解．【詳解】解：（1）從圖象可以看出“貓”追上“鼠”時，行駛距離為30米，“鼠”用時6min，“貓”用時（6-1）=5min，所以，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是故答案為：1；（2）由圖象知，A（7，30），B（10，18）設的表達式，把點A、B代入解析式得，解得，∴．（3）令，則．∴．14.5-1=13.5(min)∴“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間為．2．（2021·甘肅武威市）如圖1，小剛家，學校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速從學校到圖書館，到達圖書館還完書后，再以相同的速度原路返回家中（上、下車時間忽略不計）．小剛離家的距離與他所用的時間的函數(shù)關系如圖2所示．（1）小剛家與學校的距離為___________，小剛騎自行車的速度為________；（2）求小剛從圖書館返回家的過程中，與的函數(shù)表達式；（3）小剛出發(fā)35分鐘時，他離家有多遠?【答案】（1）3000，200；（2）；（3）【分析】（1）從起點處為學校出發(fā)去處為圖書館，可求小剛家與學校的距離為3000m，小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m可求騎自行車的速度即可；（2）求出從圖書館出發(fā)時的時間與路程和回到家是的時間與路程，利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）小剛出發(fā)35分鐘，在返回家的時間內(nèi)，利用函數(shù)解析式求出當時，函數(shù)值即可．【詳解】解：（1）小剛騎自行車勻速從學校到圖書館，從起點3000m處為學校出發(fā)去5000m處為圖書館，∴小剛家與學校的距離為3000m，小剛騎自行車勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m，行駛的路程為5000-3000=2000m，騎自行車的速度為2000÷10=200m/min，故答案為：3000，200；（2）小剛從圖書館返回家的時間：．總時間：．設返回時與的函數(shù)表達式為，把代入得：，解得，，．（3）小剛出發(fā)35分鐘，即當時，，答：此時他離家．3．（2020?黑龍江）為抗擊疫情，支持武漢，某物流公司的快遞車和貨車每天往返于物流公司、武漢兩地，快遞車比貨車多往返一趟，如圖表示兩車離物流公司的距離y（單位：千米）與快遞車所用時間x（單位：時）的函數(shù)圖象，已知貨車比快遞車早1小時出發(fā)，到達武漢后用2小時裝卸貨物，按原速、原路返回，貨車比快遞車最后一次返回物流公司晚1小時．（1）求ME的函數(shù)解析式；（2）求快遞車第二次往返過程中，與貨車相遇的時間．（3）求兩車最后一次相遇時離武漢的距離．（直接寫出答案）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）利用待定系數(shù)法分別求出BC與FG的解析式，再聯(lián)立解答即可；（3）根據(jù)題意列式計算即可．【解析】（1）設ME的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），由ME經(jīng)過（0，50），（3，200）可得：b=503k∴ME的解析式為y＝50x+50；（2）設BC的函數(shù)解析式為y＝mx+n，由BC經(jīng)過（4，0），（6，200）可得：4m+n∴BC的函數(shù)解析式為y＝100x﹣400；設FG的函數(shù)解析式為y＝px+q，由FG經(jīng)過（5，200），（9，0）可得：5p+q∴FG的函數(shù)解析式為y＝﹣50x+450，解方程組y=100x-同理可得x＝7h，答：貨車返回時與快遞車圖中相遇的時間173h，7h（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：兩車最后一次相遇時離武漢的距離為100km．4．（2020?天津）在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境．已知小亮所在學校的宿舍、食堂、圖書館依次在同一條直線上，食堂離宿舍0.7km，圖書館離宿舍1km．周末，小亮從宿舍出發(fā)，勻速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，勻速走了5min到圖書館；在圖書館停留30min借書后，勻速走了10min返回宿舍．給出的圖象反映了這個過程中小亮離宿舍的距離ykm與離開宿舍的時間xmin之間的對應關系．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（Ⅰ）填表：離開宿舍的時間/min25202330離宿舍的距離/km0.20.7（Ⅱ）填空：①食堂到圖書館的距離為km；②小亮從食堂到圖書館的速度為km/min；③小亮從圖書館返回宿舍的速度為km/min；④當小亮離宿舍的距離為0.6km時，他離開宿舍的時間為min．（Ⅲ）當0≤x≤28時，請直接寫出y關于x的函數(shù)解析式．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以將表格補充完整；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以將各個小題中的空補充完整；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結果和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫出當0≤x≤28時，y關于x的函數(shù)解析式．【解析】（Ⅰ）由圖象可得，在前7分鐘的速度為0.7÷7＝0.1（km/min），故當x＝2時，離宿舍的距離為0.1×2＝0.2（km），在7≤x≤23時，距離不變，都是0.7km，故當x＝23時，離宿舍的距離為0.7km，在28≤x≤58時，距離不變，都是1km，故當x＝30時，離宿舍的距離為1km，故答案為：0.2，0.7，1；（Ⅱ）由圖象可得，①食堂到圖書館的距離為1﹣0.7＝0.3（km），故答案為：0.3；②小亮從食堂到圖書館的速度為：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），故答案為：0.06；③小亮從圖書館返回宿舍的速度為：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），故答案為：0.1；④當0≤x≤7時，小亮離宿舍的距離為0.6km時，他離開宿舍的時間為0.6÷0.1＝6（min），當58≤x≤68時，小亮離宿舍的距離為0.6km時，他離開宿舍的時間為（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），故答案為：6或62；（Ⅲ）由圖象可得，當0≤x≤7時，y＝0.1x；當7＜x≤23時，y＝0.7；當23＜x≤28時，設y＝kx+b，23k+b即當23＜x≤28時，y＝0.06x﹣0.68；由上可得，當0≤x≤28時，y關于x的函數(shù)解析式是y=0.15．（2020?淮安）甲、乙兩地的路程為290千米，一輛汽車早上8：00從甲地出發(fā)，勻速向乙地行駛，途中休息一段時間后．按原速繼續(xù)前進，當離甲地路程為240千米時接到通知，要求中午12：00準時到達乙地．設汽車出發(fā)x小時后離甲地的路程為y千米，圖中折線OCDE表示接到通知前y與x之間的函數(shù)關系．（1）根據(jù)圖象可知，休息前汽車行駛的速度為千米/小時；（2）求線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達式；（3）接到通知后，汽車仍按原速行駛能否準時到達？請說明理由．【分析】（1）觀察圖象即可得出休息前汽車行駛的速度；（2）根據(jù)題意求出點E的橫坐標，再利用待定系數(shù)法解答即可；（3）求出到達乙地所行駛的時間即可解答．【解析】（1）由圖象可知，休息前汽車行駛的速度為80千米/小時；故答案為：80；（2）休息后按原速繼續(xù)前進行駛的時間為：（240﹣80）÷80＝（小時），∴點E的坐標為（3.5，240），設線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達式為y＝kx+b，則：1.5k+b∴線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達式為80x﹣40；（3）接到通知后，汽車仍按原速行駛，則全程所需時間為：290÷80+0.5＝4.125（小時），12：00﹣8：00＝4（小時），4.125＞4，所以接到通知后，汽車仍按原速行駛不能準時到達．6．（2020?齊齊哈爾）團結奮戰(zhàn)，眾志成城，齊齊哈爾市組織援助醫(yī)療隊，分別乘甲、乙兩車同時出發(fā)，沿同一路線趕往綏芬河．齊齊哈爾距綏芬河的路程為800km，在行駛過程中乙車速度始終保持80km/h，甲車先以一定速度行駛了500km，用時5h，然后再以乙車的速度行駛，直至到達綏芬河（加油、休息時間忽略不計）．甲、乙兩車離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時間x（h）的關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：（1）甲車