量子力學(xué)習(xí)題集

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量子力學(xué)習(xí)題

第一章緒論

1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)?m與溫度T成反比，即?mT=b(常量）；

并近似計(jì)算b的數(shù)值，確鑿到二位有效數(shù)字。

1.2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。1.3氦原子的動(dòng)能是E=3kT/2（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。

1.4利用玻爾－索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；

（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。

已知外磁場(chǎng)H=10特斯拉，玻爾磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，試計(jì)算動(dòng)能的量子化間隔?E，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。

1.5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)。假使兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？

其次章波函數(shù)和薛定諤方程

2.1由以下兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1)?1=eikr/r,(2)?2=e-ikr/r.

從所得結(jié)果說(shuō)明?1表示向外傳播的球面波，?2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。

2.2一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)

??,?U(x)??0,??,?x?00?x?ax?a

中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

2.3求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。2.4一粒子在一維勢(shì)阱

?U0?0,U(x)???0,x?ax?a

2中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0V0情形分別探討。2.9質(zhì)量為m的粒子只能沿圓環(huán)（半徑R）運(yùn)動(dòng)，能量算符

???H?22d222mRd?，

?為旋轉(zhuǎn)角。求能級(jí)(En)及歸一化本征波函數(shù)?n(?)，探討各能級(jí)的簡(jiǎn)并度。

第三章基本原理

?(x)??1e??x222i??t23.1一維諧振子處在基態(tài)

U?122?22，求：

(1)勢(shì)能的平均值

??x；

2?；(2)動(dòng)能的平均值

(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。3.2設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為

1T?p2?(x)=A[sin2kx+2coskx]，

求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。

3.3在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，假使粒子的狀態(tài)由波函數(shù)

?(x)=Ax(a-x)

描寫(xiě)，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。

3.4證明：如歸一化的波函數(shù)?(x)是實(shí)函數(shù)，則=i?/2；如?=?(r)（與

??，?無(wú)關(guān)），則=?3/2。

3.5計(jì)算對(duì)易式[x,Ly]，[pz,Lx]，并寫(xiě)出類似的下標(biāo)輪換式(x?y,y?z,z?x)。3.6證明算符關(guān)系

?????r?L?L?r?2i?r?????p?L?L?p?2i?p

3.7設(shè)F為非厄米算符(F+?F)，證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。

13.8一維諧振子(V1=2kx2)處于基態(tài)。設(shè)勢(shì)場(chǎng)突然變成V2=kx2，即彈性力增大一倍。求粒子在V2場(chǎng)中的能級(jí)以及此粒子在新勢(shì)場(chǎng)的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。3.9有線性算符L、M、K，[L,M]=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為?n、?n(n=1,2,...)。證明：如函數(shù)M?n及L?n存在，則它們也是K的本征函數(shù)，本征值為(?n?1)。3.10證明：如H=

?2?p/2m+V(r)，則對(duì)于任何束縛態(tài)=0。

?2p/2m-q?x。設(shè)

?p3.11粒子在均勻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，已知H=求x(t)，px(t)。3.12

?B粒子在均勻磁場(chǎng)?pt=0時(shí)x=0，px=p0，

=(0,0,B)中運(yùn)動(dòng)，已知H=

?p時(shí)=(p0,0,0)，求t>0

?>。

3.13粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)，V與粒子質(zhì)量m無(wú)關(guān)。證明：如m增大，則束縛態(tài)能級(jí)下降。

第四章中心力場(chǎng)

4.1證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是

Jer=Je?=0,

e?mJe?=??rsin??nlm2。

4.2由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由大量圓周電流組成的。(1)求一圓周電流的磁矩。

(2)證明氫原子磁矩為

??????????me?2?me?(SI)(CGS)M?Mz2?c

原子磁矩與角動(dòng)量之比為

e????2???e????2?c

MLzz(SI)(CGS)

這個(gè)比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率。

4.3設(shè)氫原子處于狀態(tài)

?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?),

求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。

4.4利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量。

4.5對(duì)于類氫離子的基態(tài)?100，求概然半徑（最可幾半徑）及r,r2。4.6對(duì)于類氫離子的?nlm態(tài)，證明

1=?2=?En。

4.7對(duì)于類氫離子的基態(tài)?100，計(jì)算?x,?px，驗(yàn)證不確定關(guān)系

?x??px??2。

4.8單價(jià)原子中價(jià)電子（最外層電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子）的庫(kù)侖作用勢(shì)可以近似表示成

V(r)??e2r??ea0r22,0????1

試求價(jià)電子能級(jí)。與氫原子能級(jí)比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。[提醒：

22將V(r)中其次項(xiàng)與離心勢(shì)合并，記成l?(l??1)?/2?r，計(jì)算(l??l)之值，...]。

第五章表象理論

?的本征態(tài)矢，?與5.1設(shè)??n>，??k>是厄米算符H相應(yīng)于不同的本征值。算符F?H對(duì)易。證明=0。

5.2質(zhì)量為?的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)中作一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)能級(jí)是離散的。證明能量表象中求和規(guī)則

?(Enn?Ek)nei?xk2???222?(?為實(shí)數(shù))。

5.3對(duì)于一維諧振子的能量本征態(tài)?n>，利用升、降算符計(jì)算、、?x、?p。

??5.4設(shè)J為角動(dòng)量，n為常矢量，證明

?????[J,n·J]=i?n×J

??2jmJJ5.5對(duì)于角動(dòng)量的態(tài)（,Jz共同本征態(tài)），計(jì)算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平

均值，以及?Jx、?Jy。5.6

?設(shè)n（單位矢量）與

?z軸的夾角為?，對(duì)于角動(dòng)量J的jm態(tài)，計(jì)算

??（即n·J的平均值）。

5.7以

11,10,lm表示

1?1?2L，Lz共同本征態(tài)矢。在l=1子空間中，取基矢為

Lx及Ly的矩陣表示（3階），并

,

?2建立L，Lz表象。試寫(xiě)出

求其本征值及本征態(tài)矢（取?=1）。

*5.8對(duì)于諧振子相干態(tài)?(a?=??,?為實(shí)數(shù))，計(jì)算n，?n，E，?E，

x，?x，p，?p。

第六章微擾理論

6.1假使類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為r0，電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。

6.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場(chǎng)?中，假使電場(chǎng)較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正。

?'的6.3設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)E01及E02，現(xiàn)在受到微擾H

作用。微擾矩陣元為H’12=H’21=a,H’11=H’22=b;a,b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能

量至二級(jí)修正值。

6.4一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場(chǎng)?作用，設(shè)電場(chǎng)沿正x方向：(1)用微擾法求能量至二級(jí)修正；

(2)求能量的確鑿值，并和(1)所得結(jié)果比較。

6.5設(shè)在t=0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場(chǎng)可以近似地表示為?sin?t，?及?均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。6.6基態(tài)氫原子處于平行板電場(chǎng)中，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即

??0,t???????e,?0t?0;t?0???0?

求經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。

6.7計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。6.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。

6.9粒子（質(zhì)量?）在無(wú)限深勢(shì)阱00)中作一維運(yùn)動(dòng)。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)?(?,r)=Aexp(??2r2)。6.12某量子力學(xué)體系處于基態(tài)?1(x)。t>0后受到微擾作用，H’(x,t)=F(x)e?t/?，試證明：長(zhǎng)時(shí)間后(t???)該體系處于激發(fā)態(tài)?n(x)的幾率為

Fn1/[(En?E1)??/?]2222

第七章自旋

???7.1證明?x?y?z?i。

7.2求在自旋態(tài)

?1(sz)2中，Sx和Sy的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：

????Sx?2???Sy?2??0?Sx???12?求

1???0??Sy???0?及2??i??

7.3

?i??0??的本征值和所屬的本征函數(shù)。

7.4求自旋角動(dòng)量在(cos?，cos?，cos?)方向的投影

??S?cos??S?cos??S?cos?Snxyz

的本征值和所屬的本征函數(shù)。

在這些本征態(tài)中，測(cè)量Sz有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？Sz的平均值是多少？7.5設(shè)氫原子的狀態(tài)是

?1?R21(r)Y11(?,?)???。???23??R21(r)Y10(?,?)???2??

??(1)求軌道角動(dòng)量z分量Lz和自旋角動(dòng)量z分量Sz的平均值；(2)求總磁矩

????eL??eSM2??(SI)

??的z分量的平均值（用玻爾磁子表示）。

?27.6求電子的總角動(dòng)量算符J，Jz的共同本征函數(shù)。

7.7在Sz表象中，證明

ei??z?ei????00??i??e?。

???7.8對(duì)于電子的L，S，J,證明（取??1）

???212(2S?L?1)?J?4?????2(??J)(??J?1)?J

7.9電子的總磁矩算符是

???L??S?????e2mec??(L?2S)

對(duì)于電子角動(dòng)量的ljj態(tài)(mj=j)計(jì)算?z的平均值(結(jié)果用量子數(shù)j表示出來(lái))。

第八章多粒子體系

8.1一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？

18.2設(shè)兩電子在彈性輳力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，每個(gè)電子