中考數學二輪復習專題練習上常用輔助線-旋轉新人教版

3.輔助線之一旋轉已知AE、.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內作直角三角形ABE,/AEB=90。，AC、BD交于O.BE的長分別為3cm、5cm，求三角形A已知AE、解析:顯然/BOA=/BEA=90°,所以/OBA+/OAB=/EBA+/EAB=90°,所以/O^A—/EBA=/EAB—/OAB,所以/OBE=/OAE,則逆時針旋轉AOEA，旋轉90。，則OA與OB重合，E落在BE上的E'處，且/BOE'=/AOE,OE'=OE,BE=EA=4,因為/BOE'+/EOA=90°,所以/OAE+ZAOE'=90°,所以AOEE'是等腰直角三角形.且EE'=5-3=2,作OF±BE，所以OF=1EE'=1.所以S=1x1x5=2.5cm2AOEB2若四邊形ABCD若四邊形ABCD的面.如圖所示，在四邊形ABCD中，/ADC=ZABC=90。，AD=CD,DP1AB于P,積是16，求DP的長.解析:QAD=DC，把VDAP繞D點逆時針旋轉90。,使DC與AD重合，則/PDE=/ADC=90°,Q/DPB=90°,???四邊形DPBE為矩形.QDP旋轉至DE，則DP=DE，??.矩形DPBE為正方形，且S正方形^^^二S四邊形AB-16，??.DP=4.3.如圖，正方形ABCD中，ZFAD=NFAE.求證：BE+DF=AE.A DFBEC答案：見解析解析：

???四邊形ABCD是正方形，??.AB=AD.將VADF繞A點順時針旋轉至VABM,使AD與AB重合.則BM=DF，且ZDAF=ZBAM,ZM=ZAFD.DCPAB,.?.ZAFD=ZFAB.???ZBAF=ZEAF+ZBAE，且ZEAF=ZDAF=ZBAM,??.ZBAF=ZBAM+ZBAE=ZEAM=ZAFD=ZM.故AE=EM=BE+BM=BE+DF.4.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點F在線段CD上運動，AE平分ZBAF交BC邊于點E.求證:AF=DF+BE.答案：見解析解析：二?四邊形ABCD是正方形，??.AB=AD.將VADF繞A點順時針旋轉至VABM,使AD與AB重合.則BM=DF，且Z3=Z4,ZM=ZAFD.二AE平分ZBAF一?.Z1=Z2,

??/3+Z2=/4+Z1,即ZEAD=ZMAE.?:AD//BC,AZMEA=ZEAD,??ZMEA=ZMAE,aAM=ME.即AM=BM+BE.AAF=DF+BE，得證.5.E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，且NEAF=45。，AH1EF,H為垂足，求證：AH=AB.答案：見解析答案：見解析解析：A DGBECFA DGBECF???四邊形繞ABCD為正方形，AAD=AB.將VADF繞A點順時針旋轉至VABG.則Z1=Z2,AF=AG.Z3+Z4=45。,AZ1+Z5=45。.AZ2+Z5=45。，即ZEAG=ZEAF.:AE=AE,aVAGE與AFE(SAS).根據全等三角形的對應高相等(利用三角形全等可證得)，可得AB=AH..如圖所示，在正方形ABCD中，AB=<3,點E、F分別在BC、CD上，且ZBAE=30。，ZDAF=15。

求AAE廠的面積.答案：見解析解析：求AAE廠的面積.答案：見解析解析：如圖所示，將AA。尸繞點A順時針旋轉90。，得到AABG,則G、B、石共線./BAG=ZDAF=15°,AG=AF.而NGAE=15。+30。=45。，且/FAE=90°-15°-30°=45°,故/GA￡=ZFAE,AE=AE,^GAE=NFAE.由此可得EF=EG,ZAEF=ZAEG=90°-30°=60°,AZFEC=180°-60°-60°=60°, ZEFC=90°-60°=30°.在放AA5E中，AB=6,ZBAE=30°,故BE=1,CE=/—1.在RtAEFC中,ZEFC=30°,則石尸=2（途一1）=石G.11=-EGxAB=-x11=-EGxAB=-x2（昌口義小=3~~小..如圖，正方形A6CD的邊長為1,AB、AO上各存一點尸、。，若AAP。的周長為2,求/PC。的度數.解析:把NCDQ繞點c旋轉90。到ACBF的位置，CQ=CF.?/AQ+AP+QP=2,又AQ+QD+AP+PB=2,.?.QD+BP=QP又DQ=BF?PQ=BP+BF=PF, .?AQCP經AFCP?ZQCP=NFCP.又?:NQCF=90°,.?.ZPCQ=45。.8.如圖：正方形ABCD的邊長為6cm,E是AD的中點，點P在AB上，且ZECP=45°.則PE的長是多少cm.VPEC的面積是多少cm2.答案：5；15

解析:①求PE解析:①求PE的長：???四邊形ABCD為正方形，??.BC=DC.將VEDC繞C點逆時針旋轉90。至VBCM處，使DC與BC重合，則EC=CM,N1=N2.MB=ED=-AD=3.2:Z1+Z3=90。—45。=45。，?，?/2+Z3=45。，則/PCM=/PCE,:PC=PC，,VPCM=VPCE，,PM=PE.設PB=x，則Upm=x+3=PE,AP=AB—BP=6—x.??.在RtVAPE中，有AP2+AE2=PE2.???(6-x>+32=(x+3),解得x=2.???PE=x+3=5.②求VPEC的面積：:VPEC=VPCE,...S=S =-BC-PM=-BC-(BP+BM)=-x6x(2+3)=15VPEC VPCM2 2 29.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD),/B=90。，AB=BC=12,E是AB上一點，且/DCE/DCE=45。BE=4，求DE的長.解析:過C作CG±AD，交AD延長線于G.??四邊形ABCD是正方形，??.BC=CG.將VBEC繞C點順時針旋轉90。，至VCGF,使BC與CG重合.則有Z1=N2，CE=CF，GF=BE=4.「/ECD=45。，.?.Z1+Z3=90。—45。=45。.??/2+Z3=45。.「CD=CD,??.VCED=VCFD,故DE=DF.設DG=x，則DF=x+4=DE,AD=AG—DG=12—x,在RtVAED中，AE2+AD2=ED2.即82+(12—x)=(x+4〉.解這個方程，得：x=6.DE=x+4=10.10.如圖，在AABC中，/ACB=90。，AC=BC,P是\ABC內的一點，且PB=1，PC=2,PA=3,求/BPC的度數.解析:如圖，將AAPC如圖，將AAPC繞點C旋轉，使CA與CB重合，即AAPC且ABEC,PC=CE,Z1=N2,??/2+/PCB=90。，.?.Z1+/PCB=90°.?.APCE為等腰直角三角形，??/CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又?.?PB2=1,BE2=9,??.PE2+PB2=BE2則/BPE=90°..?./BPC=/CPE+/BPE=45°+90°=135°.11.如圖，P是等邊AABC內一點，若AP=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數.解析:C解析:C如圖，將ABPC沿點B逆時針旋轉60°，則BP=BP,連接P'P,:/P'BP=60°,BP=BP=4,??.VBPP為等邊三角形，/.PP=4,/P'PB=60°.???AP2+PP2=AP'2,???/APP'=90°,丁?/APB=/P'PB+/APP'=150°.P為等邊AABC內一點，/APB=113°,/APC=123°，求證：以AP、BP、CP為邊可以構成一個三角形，并確定所構成的三角形的各內角的度數.答案：見解析解析：要判斷AP、BP、CP三條線段可以構成一個三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構成的三角形各內角的度數時又會束手無策如果以C為中心，將AAPC逆時針旋轉60。，則A點變到B點，線段CA變到CB，P點變到P點，此時，CP=CP］，并且/PCP=600，/BPC=ZAPC=123o.APCP1為等邊三角形，所以PP1=CP，ACPP^ACP^P=60o.這時，ABPP1就是以BP、AP(=BP)、CP(二PP)為三邊構成的三角形.易知/BPP=/BPC—ZCPP=ZAPC—60o=123o—60o=63o而ZBPC=36偉-113o-123o=124所以/BPP]=/BPC-/CPP]=124o-60o=64o因此/PBP=180o-63o-64o=53o1.如圖，P為正方形ABCD內一點，PA=LPD=2，PC=3.求NAPD的度數.解析:??四邊形ABCD為正方形，??.AD=DC.將APDA繞著D點按順時針旋轉90。到AMDC的位置（如圖），連接PM.則PD=DM=2,/PDM=90。?.APDM是等腰直角三角形.??PM=2+2/PMD=45。:PM2=8,MC2=PA2=1,PC2=9?.PM2+MC2=PC2?.APMC為直角三角形.??/PMC=90。，.??/APD=/DMC=/PMD+/PMC=135。.13.如圖所示，P是等邊AABC中的一點，PA=2,PB=2<3,PC=4，試求AABC的邊長.B A答案：2<7解析:由于有等邊三角形，故可考慮將APBA繞點B旋轉60。，使PA、pb、PC出現在一個三角形中，從而構造出個直角三角形.解：將APBA繞點B逆時針旋轉60。，則BA與BC重合，A點轉至C點，P點轉至P點，連接PP，如圖所示，有PC=PA=2，PB=PB=2<3，/PBP=60。.TOC\o"1-5"\h\z11 11 1故APBP］為等邊三角形，Pp=BP=2后，在APCP中，PC2=42=22+(2<3)2=PC2+PP2，\o"CurrentDocument"1 1 1故/ppc=90。，PC=1PC,1 12從而有/CPP1=30。，故/BPC=/BPP1+/PPC=60。+30。=90。所以，在RtAPBC中，BC2=PB2+PC2=42+(2<3)2=28，BC=2<7.

.如圖所示，P為正方形ABCD內一點，若PA=aPB=2aPB=2a,PC=3a(a>0).答案：（1）135。；（2）AB=<5+2<2a解析：A DA D（1）將AAPB繞點B順時針旋轉90。，得到ACQB.連接PQ，因為/PBQ=90。，PB=QB=2a，所以ZPQB=/QPB=45。，PQ=2&a.在APQC中，pc=3a，CQ=a，PQ=2<2a，則PC2=CQ2+PQ2，所以ZPQC=90。，故ZAPB=ZCQB=90。+45。=135。.(2)因ZAPB+ZBPQ=135。+45。=180。，則A、P、Q三點共線，故AQ=2<2a+a=(1+2V2)a，QC=a，在RtMQC中，根據勾股定理得AC=aa2+[(1+2<2)a]2=<10+4<2a所以AB=AC-sin45。=^2AC=『5+2c2a.

.在AABC中，AB=AC,P是AABC內任意一點，已知/APC>ZAPB，求證：PB〉PC.答案：見解析解析：因為AB=AC，所以可將AABP繞點A旋轉至IJAACD的位置，連結PD、AD、CD，則AP=AD,PB=DC,/ADC=ZAPB因為/APC>/APB，所以/APC>/ADC由AD=AP，可得ZAPD=NADP,則/DPC>/PDC.DC>PC，即PB>PC..如圖，P是等邊AABC外的一點，PA=3,PB=4,PC=5，求NAPB的度數.答案：30解析：AB=AC,?,.將VAPC繞AAB=AC,?,.將VAPC繞A點逆時針旋轉60。至VA5M,使A。與AB重合,則AM=八尸=3,ZPAB=60°,BM=PC=5,/BAM=ZPAC=ZPAB+ABAC=120°.ZPAM=/BAM-ZPAB=120°-60°=60°,V4BM為等邊三角形，則PM=AM=3,ZAPM=ZPAM=60°,在VPMB中，?:BM2=PM?+PB2,.??VM尸B為直角三角形，即尸M=90。./.ZBPA=ABPM-ZAPM=90°-60°=30°.17.如圖，正方形ABC。內一點P,ZPAD=ZPDA=15°,連結PB、PC,請問:為什么？APBC是等邊三角形嗎？答案：見解析解析:P'將A4PD繞點d逆時針旋轉90。，得ADP，C,再作ADP'C關于DC的軸對稱圖形ADQC,得VAPD二VCQD=CPD.所以PD=QD,ZQDC=ZDCQ=NPAD=PDA=15。，ZPDQ=90?！?5?！?5。=60。，?.APDQ為等邊三角形，即ZPQD=600.又ZDQC=ZAPD=180。—15?！?5。=150。，.?.ZPQC=360o—60?！?50。=150。=ZDQC.:ZPAD=PDA=15。，AP=PD,則有DQ=QC.:PQ=QD.??PQ=CQ,.?.ZPCQ=ZQCP=15。.?.ZPCD=30。，.?.ZPCB=ZDCB—ZPCD=90?！?0。=60。.同理可得ZPBC=60。.?.APBC為等邊三角形..VABC中，ZC=90。，四邊形CDEF是VABC的內接正方形，AE=30cm,BE=24cm,求SVADE+SVE的值.

B解析:如圖，???四邊形石尸。。是正方形，.??石尸=石。，將V5E產繞點石逆時針旋轉90。至VGED，使EF與ED重合.則有V5E尸=VGED./FED=90°,ZBEF+ZAED=90°.ZBEF=AGED,AGED+ZAED=90°.故S+S=S+S=S =-GEEA=-BE-EA=2rlNADENBEFNADENGEDNAEG2 2.梯形A5CD中，ADPBC,ZB=90°,AB=1,AD=3,BC=5,。石_L且OE=。。，求AE的長和VAD￡面積.解析:B GC??DE=DC,?,.將VADE繞D點順時針旋轉90。，至VFDC處，使DE與DC重合.則DC=DE,DF=AD=3,AE=FC,延長FD交BC于點G,??旋轉角是90。，,/FDA=90。,：ADPBG, /FGB=90°,??四邊形ABGD是矩形，BG=AD=3,「BC=5，??.GC=BC—BG=5—3=2,DG=AB=1,在RtVFGC中，根據勾股定理有FG2+GC2=FC2,即（3+11+22=FC2，解得FC=2<5.S=S=S-S =1FG-GC-1DG-GC=3VADE VFDC VFGCVDGC2 220.在梯形ABCD中，ADPBC,/D=90°,BC=CD=12,/ABE=45°，若AE=10，求CE的長。答案：6或4解析:???ADPBC,ZD=90。，.??/C=90。,過點B作BM1DA,交DA延長線與點M，故四邊形DMBC是矩形，?「BC=DC=12，二矩形DMBC是正方形，則BM=DC=BC=12,將VBCE繞B點順時針90。，至VBMN處，則VBCE紗BMN,??.ZMBN=ZEBC,,「ZABE=45。，,ZEBC+ZABM=45。，,ZMBN+ZABM=45。=ZABE,BE=BN,：.VABE0VABN，.：AN=AE=10,設EC=x，則MN=x,AM=AN—MN=10—x,：.DA=DM-AM=12-(10-x)=2+x,?「DE=DC-EC=12-x，：.在RtVADE中，(x+2)2+(12-x)2=102,解得x=6或x=4，即EC的長為6或4.21.如圖，P等邊三角形ABC內一點，且ZAPC=117。，ZBPC=130。，求以AP、BP、CP為邊的三角形各內角的度數。答案：見解析解析:要判斷AP.BP、CP三條線段可以構成一個三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構成的三角形各內角的度數時又會束手無策如果以C為中心，將AAPC逆時針旋轉60。，則A點變到B點，線段CA變到CB，P點變到D點，此時，CP=CD，并且/PCD=600，/BDC=ZAPC=1170.APCD為等邊三角形，所以PD=CP，/CPD=ZCDP=60。.這時，ABPD就是以BP、AP(=BD)、CP(=PD)為三邊構成的三角形.易知/BDP=ZBDC-ZCDP=ZAPC—60。=117。―60。=57。而ZBPC=360o-117o-130o=113。所以ZBPD=ZBPC-ZCPD=130。-60。=70。因此匕ZPBD=180o-57o-70o=53。22.如圖，AABC中，AB=AC，ZBAC=90。，D是BC中點，ED1FD，ED與AB交于E，FD與AC交于F.求證：BE=AF,AE=CF.答案：見解析解析:連結AD連結AD.「AB=AC,/BAC=90。，二/B=ZC=/45°「D是BC中點，??./BAD=45