中考中的最值問題選講

中考中的］:值問題選講武漢六中上智中學(xué)程松青結(jié)論1:直徑是圓中最大的弦.〖例1〗如圖，AB是。O的一條弦，點C是。O上一動點，且NACB=30°,點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與。O交于G、H兩點.若。O的半徑為7,則GE+FH的最大值為簡答：由點E、F分別是AC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=1AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5 ,所以當(dāng)GH取最大值時，GE+FH有最大值.而直徑是圓中最長的弦，故當(dāng)GH為。O的直徑時，GE+FH有最大值14-3.5=10.5.結(jié)論2：過圓內(nèi)一點的弦中，與過該點的直徑垂直的弦最短.〖例2〗在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A(13,0),直線y=kx-3k+4與。O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為簡答:y=kx-3k+4過定點D(3,4),連接OD,過點D作弦CBLOD,則CB為最短的弦，因為OB=13,OD=5,所以BD=12,所以BC=24結(jié)論3：弓形上的點到弦的距離中，最大距離是該弧的中點到弦的距離(或者過圓心的一條垂線段)〖例3〗如圖，已知。。的半徑為2,弦BC的長為2T3，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(B,C兩點除外).(1)求NBAC的度數(shù)；(2)求^ABC面積的最大值.1〖例4〗如圖，直線y=-x+2與兩坐標軸交于A、B兩點，以AB為直徑作。M,結(jié)論4：如圖，若點P不在。O上，射線OP交。O于M,射線OP的反向延長線交。。于N,則點P到圓上各點中，PM的長最小，PN的長最大.〖例5〗如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=8,BC=6,點D是平面內(nèi)的一個動點，且TOC\o"1-5"\h\zAD=4,M為BD的中點，在D點運動過程中，線段CM長度的最大值是 .A D\o"CurrentDocument"C0 BP C〖例6〗在矩形ABCD中，BC=8,AC=10，點P為邊BC上一動點，連接AP,點E為AP上一點，且AE,AP的長為一元二次方程1ax2+(a+1)x+18a=0(a中0)的兩個根，則CE的最小值為

A〖例7〗等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDP中，AC=BC=<5,CD=CP,A〖例7〗等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDP中，AC=BC=<5,CD=CP,且CBBAPB=J2，則BD的最大值是,BD的最小值是 CDD/z%〖例8〗如圖，。。的直徑為4,C為。O上一個定點，NABC=30°,動點P從A點出發(fā)沿半圓AB向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于點D.則AD的最大值為 〖例9〗如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,點D是BC的中點.作正方形DEFG,連接AE,若BC=DE=2,在正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時，求AF的值.簡答如圖：AF=<13

結(jié)論5:如圖，直線1與。O相離，線段OP，L,垂足為P,交。O于點M,PO的延長線交。O于點N,則。O上各點到直線L的相離中，最小距離是PM的長，最大距離是PN的長.〖例10〗在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6）,動點C在以半徑為3的。O上，當(dāng)點C在。O上運動到什么位置時，4ABC的面積最大？并求出4ABC的面積的最大值.簡答：由4OAB為等腰直角三角形得AB=Y20A=6<2,根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點C到AB的距離最大時，4ABC的面積最大，過O點作OEXAB于E,OE的反向延長線交。。于C,此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE,然后計算4ABC的面積為9<2+18；〖例11〗如圖，點P為半圓上任意點，E為BP的中點，AB=8,AD=6,則四邊形ADCE面積的最小值為

結(jié)論6：直線1與半徑為r的圓相離，圓心0到直線1的距離為d,點P為直線1上任意一點，PA與。。相切于點A,則PA的最小值是4d2r2，此時NOPA最大.〖例12〗如圖，在Rt^AOB中，0A=0B=31：2,。。的半徑為1,點P是AB邊上的動點，過點P作。0的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為2V2.OA-OB.??0P==3,OA-OB.??0P==3,簡答:首先連接OP、0Q,根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,可得當(dāng)OPLAB時，線段0P最短，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案解：連接OP、0Q.?「PQ是。0的切線，AOQXPQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-0Q2,?,.當(dāng)POLAB時，線段PQ最短,「在RtAAOB中，OA=OB=3'.''2,.??AB=；20A=6,故答案為：2.;2.〖例13〗如圖，點C是線段AB上的點，且AB=3AC,NCEB=90°,F是AE的中點，設(shè)NABF=a則當(dāng)a最大時,sina=〖例14〗如圖，在矩形ABCD中，CD是。O的直徑，E是BC中點，P是直線AE上任意一點，AB=4,BC=6,PM,PN是。O的切線，M,N是切點，當(dāng)NMPN最大時，PM的長為.結(jié)論7：弦與弦心距的關(guān)系：弦心距越大，弦越小；弦心距越小，弦越大.弓形的弦與所對的圓周角的關(guān)系：圓周角越大，所對的弦越大.〖例15〗0A經(jīng)過。O的圓心O,M、N分別在。O和。A上，且MN，NO,已知兩圓的半徑分別是3、1.則MN的長的最小值 .〖例16〗如圖，點C是。O上一點，。。的半徑為2J2,D、E分別是弦AC、BC上一動點,且OD=OE=J2,則AB的最大值為結(jié)論8：取水問題、軸對稱問題〖例17〗已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值為CA上，則4DEFCA上，則4DEF的周長的最小值為（5<6）.〖例19〗如圖，在菱形ABCD中，設(shè)AELBC于點E,cosB:|,EC=2,點〖例19〗如圖，在菱形ABCD中，設(shè)AELBC于點E,cosB:|,EC=2,點P為邊AB上一動點，〖例20〗如圖，兩同心圓半徑分別為％3、3,點A、B分別為同心圓上的動點，以AB為邊作正方形ABCD,則OD長的最大值為〖例21〗4ABC中，NABC=90°,AB=BC,O為AC的中點，4ABE是等邊三角形，M為OB上結(jié)論10：垂線段最短.〖例22〗如圖，在Rt^ABC中,AC=3,BC=4,點D為斜邊AB上一點，DE，BC,DF，AC,垂足分別為E、F.當(dāng)線段EF最小時，cosNEFD二兩個同心圓的半徑分別為1,4,則矩形ABCD的面積最大值為

結(jié)論11:二次函數(shù)型〖例24〗如圖，已知A8為。O的直徑，CD平分NACB,與。O交于點D,AB與CD交于點E.若AC+BC=14，則CE的最大值為.簡答:設(shè)AC=x,則BC=14-x.過點E作EG±AC,EH±BC,垂足分別為G、H.則EG=EH,CE=、：2EG.xv-，日「尸<2ACgBC22.x(14-x) <2(通7、5由S=S+S，得CE= =